2013年高考数学全解全析－江苏卷

1、2013江苏卷样本数据x1，x2，xn的方差s2(xi)2，其中i.棱锥的体积公式：VSh，其中S是锥体的底面积，h为高棱柱的体积公式：VSh，其中S是柱体的底面积，h为高一、填空题1函数y3sin的最小正周期为 _.答案解析2，T.2设z(2i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为_答案5解析z(2i)234i，|z| 5.3双曲线1的两条渐近线的方程为_答案y±x解析双曲线1的渐近线方程为0，即y±x.4集合1,0,1共有_个子集答案8解析CCCC238.5右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是_答案3解析赋值n1a2进入循环体检验a2<20a3×228

2、n2检验a8<20a3×8226n3检验a2620脱离循环体输出n3.6抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_答案2解析甲(8791908993)90乙(8990918892)90S(3212021232)4S(1202122222)27现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_答案解析P.8如图，在三棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F分别是AB，AC

3、，AA1的中点，设三棱锥F­ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1­ABC的体积为V2，则V1V2_.答案124解析设三棱锥FADE的高为h，则9抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_答案解析由yx2得y2x，则y|x12抛物线yx2在x1处的切线方程为y12(x1)，即y2x1，切线y2x1与两坐标轴围成三角形区域D如图所示(阴影部分)由y0得x，知A由x0得y1知B(0，1)因此2x2y10设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实

4、数)，则12的值为_答案解析如图()，则1，2，12.11已知f(x)是定义在R上的奇函数当x>0时，f(x)x24x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为_答案(5,0)(5，)解析由已知f(0)0，当x<0时，f(x)f(x)x24x，因此f(x)不等式f(x)>x等价于或解得：x>5，或5<x<012在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为1(a>b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2d1，则椭圆C的离心率为_答案解析如图F(c,0)，B(0，b)，则直线B

5、F的方程为1，即bxcybc0，d1d2c，由已知条件d2d1即，整理得：b2aba20解得，e .13在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y(x>0)图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为_答案，1解析|PA|2(xa)22x22ax2a2a222a2a222a22由x>0，x2，由已知条件或解得a，或a1.14在正项等比数列an中，a5，a6a73.则满足a1a2an>a1a2an的最大正整数n的值为_答案12解析由已知条件a5，a6a73即qq23，整理得q2q60解得q2，或q3(舍去)ana5qn5×2n

6、52n6a1a2an(2n1)a1a2an2524232n62由a1a2an>a1a2an可知2n>21n12.二、解答题15已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值(1)证明由|ab|，即(cos cos )2(sin sin )22，整理得cos cos sin sin 0即a·b0，因此ab.(2)解由已知条件又0<<<cos cos cos()，则sin sin ()1sin ，或当时，(舍去)当时，.16如图，在三棱锥中SABC

7、中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.证明(1)由ASAB，AFSB知F为SB中点，则EFAB，FGBC，又EFFGF，因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC，且AFSB，知AF平面SBC，则AFBC.又BCAB，AFABA，则BC平面SAB，因此BCSA.17如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C

8、的横坐标a的取值范围解(1)由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在设过A(0,3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2 ，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.1

9、8如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在ABC中，因为cos A，cos

10、C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.由正弦定理，得AB×sin C×1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22×130t×(10050t)×200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BC×sin A&#

11、215;500(m)乙从B出发时，甲已走了50×(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内19设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项的和记bn，nN*，其中c为实数(1)若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差数列，证明：c0.证明由题设，Snnad.(1)由c0，得bnad.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以bb1b4，即2a，化简得d22ad0.

12、因为d0，所以d2a.因此，对于所有的mN*，有Smma·2am2a.从而对于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.(2)设数列bn的公差是d1，则bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的nN*，有n3n2cd1nc(d1b1)令Ad1d，Bb1d1ad，Dc(d1b1)，则对于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD.(*)在(*)式中分别取n1,2,3,4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，从而有由，得A0，cd15B，代入方程，得B0，从而cd10.即d1d0，b1d1ad0，cd

13、10.若d10，则由d1d0，得d0，与题设矛盾，所以d10.又因为cd10，所以c0.20设函数f(x)lnxax，g(x)exax，其中a为实数(1)若f(x)在(1，)上是单调减函数，且g(x)在(1，)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(1，)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论解(1)令f(x)a<0，考虑到f(x)的定义域为(0，)，故a>0，进而解得x>a1，即f(x)在(a1，)上是单调减函数同理，f(x)在(0，a1)上是单调增函数由于f(x)在(1，)上是单调减函数，故(1，)(a1，)，从而a11，即a1.令g(x)exa0

14、，得xln a当x<ln a时，g(x)<0；当x>ln a时，g(x)>0.又g(x)在(1，)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.综上，有a(e，)(2)当a0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令g(x)exa>0，解得a<ex，即x>ln a，因为g(x)在(1，)上是单调增函数，类似(1)有ln a1，即0<ae1.结合上述两种情况，有ae1.()当a0时，由f(1)0以及f(x)>0，得f(x)存在唯一的零点；()当a<0时，由于f(ea)aaeaa(1ea)<0，f(1)a>0，且函

15、数f(x)在ea,1上的图象不间断，所以f(x)在(ea,1)上存在零点另外，当x>0时，f(x)a>0，故f(x)在(0，)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点()当0<ae1时，令f(x)a0，解得xa1.当0<x<a1时，f(x)>0，当x>a1时，f(x)<0，所以，xa1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a1)lna1.当lna10，即ae1时，f(x)有一个零点xe.当lna1>0，即0<a<e1时，f(x)有两个零点实际上，对于0<a<e1，由于f(e1)1ae1<0，f(a1)>0，

16、且函数f(x)在e1，a1上的图象不间断，所以f(x)在(e1，a1)上存在零点另外，当x(0，a1)时，f(x)a>0，故f(x)在(0，a1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a1)上只有一个零点下面考虑f(x)在(a1，)上的情况先证f(ea1)a(a2ea1)<0.为此，我们要证明：当x>e时，ex>x2.设h(x)exx2，则h(x)ex2x，再设l(x)h(x)ex2x，则l(x)ex2.当x>1时，l(x)ex2>e2>0，所以l(x)h(x)在(1，)上是单调增函数故当x>2时，h(x)ex2x>h(2)e24>0，

17、从而h(x)在(2，)上是单调增函数进而当x>e时，h(x)exx2>h(e)eee2>0.即当x>e时，ex>x2.当0<a<e1，即a1>e时，f(ea1)a1aea1a(a2ea1)<0，又f(a1)>0，且函数f(x)在a1，ea1上的图象不间断，所以f(x)在(a1，ea1)上存在零点又当x>a1时，f(x)a<0，故f(x)在(a1，)上是单调减函数，所以f(x)在(a1，)上只有一个零点综合()，()，()，当a0或ae1时，f(x)的零点个数为1，当0<a<e1时，f(x)的零点个数为2.21(

18、选做题)本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.求证：AC2AD.B选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A，B，求矩阵A1B.C选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标D选修45：不等式选讲(本小题满分10分)已知ab>

19、;0，求证：2a3b32ab2a2b.A证明连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADOACB90°.又因为AA，所以RtADORtACB.所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.B解设矩阵A的逆矩阵为，则，即故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵为A1，所以A1B.C解因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1得tx1，代入y2t，得到直线l的普通方程为2xy20.同理得到曲线C的普通方程为y22x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.D证明2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab&g

20、t;0，所以ab0，ab>0,2ab>0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.必做题第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0

21、，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n1·0，n1·0，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.23设数列an：1，2，2,3,3,3，4，4，4，4，(1)k1k，(1)k1k，即当<n(kN*)时，an(1)k1k，记Sna1a2an(nN*)对于lN*，定义集合Pln|Sn是an的整数倍，nN*，且1nl(1)求集合P11中元素的个数；(2)求集合P2 000中元素的