三角函数应用

1、1.6 三角函数模型的简单应用学习目标1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断.重、难点重点：精确模型的应用由图象求解析式，由解析式研究图象及性质难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型典例讲解例1.(1)如图(1)所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离为h.(1)求h与间关系的函数解析式；(2)设从

2、OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式解 (1)由题意可作图如图(2)所示过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点当>时，BOM.h|OA|0.8|BM|5.64.8sin；当0时，上述解析式也适合综上所述，h5.64.8sin.(2)点A在O上逆时针运动的角速度是，t秒转过的弧度数为t，h4.8sin5.6，t0，)例2交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E220sin来表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间例2解(1)当t0时，E110(伏)，即开始时的

3、电压为110伏(2)T(秒)，即时间间隔为0.02秒(3)电压的最大值为220伏当100t，即t秒时第一次取得最大值例3某港口水深y(米)是时间t (0t24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型yAsin tB的图象(1)试根据数据表和曲线，求出yAsin tB的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若

4、该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)例3解(1)从拟合的曲线可知，函数yAsin tB的一个周期为12小时，因此.又ymin7，ymax13，A(ymaxymin)3，B(ymaxymin)10.函数的解析式为y3sint10 (0t24)(2)由题意，水深y4.57，即y3sint1011.5，t0,24，sint，t，k0,1，t1,5或t13,17，所以，该船在100至500或1300至1700能安全进港若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时变式训练3设yf(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0t24

5、.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数yf(t)的图象可以近似地看成函数ykAsin(t)的图象下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()Ay123sin t，t0,24 By123sin，t0,24Cy123sin t，t0,24 Dy123sin，t0,24当堂达标一、选择题1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A. s B. s C50 s

6、 D100 s2据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()Af(x)2sin7(1x12，xN*)Bf(x)9sin(1x12，xN*)Cf(x)2sinx7(1x12，xN*)Df(x)2sin7(1x12，xN*)3若函数f(x)3sin(x)对任意x都有ff，则f等于()A3或0 B3或0 C0 D3或34.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函

7、数df(l)的图象大致是()二、填空题5函数y2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是_6设某人的血压满足函数式p(t)11525sin(160t)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是_7一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于_三、解答题5.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间(1)将点P距离水面的高度z(m

8、)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？9.如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.10.如图表示电流I与时间t的函数关系式：IAsin(t)在同一周期内的图象(1)据图象写出IAsin(t)的解析式；(2)为使IAsin(t)中t在任意一段的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数的最小值是多少？

9、67;1.6三角函数模型的简单应用参考答案变式训练3A在给定的四个选项A、B、C、D中我们不妨代入t0及t3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.当堂达标1A2.A 3D 4Cdf(l)2sin .526,27,28解析T，又<<8<m<9，且mZ，m26,27,28.680解析T(分)f80(次/分)7.解析T1. 2.l.解(1)如图所示建立直角坐标系，设角是以Ox为始边，OP0为终边的角OP每秒钟内所转过的角为.由OP在时间t(s)内所转过的角为tt.由题意可知水轮逆时针转动，得z4sin2.当t0时，z0，得sin ，即.故所求的函数关系式为z4sin2.(2)令z4sin26，得sin1，令t，得t4，故点P第一次到达最高点大约需要4 s.9.解(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处这时此人所转过的角为 t t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h10 si