极点与系统稳定性

1、本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！极点对系统性能影响一控制系统与极点自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。系统的数学模型一般由系统传递函数表达。传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换 （或 z 变换）与激励（即输入） 量的拉普拉斯变换之比。记作 （ s）=Xo （ s）/Xi （s），其中 Xo （ s）、Xi （ s）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。使传递函数分母等于零即得到系统的特征方程，特征方程的根称

2、为极点。如试S = C （ S-Pi）/ (S-Qi) 中 Q1Q2Q3Qi 即为系统的极点。二极点对系统的影响极点 -确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分别进行分析：连续系统理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式设系统函数为：将 H(S)进行部分分式展开：系统冲激响应 H(S) 的时域特性 h(t) 随时间衰减的信号分量完全由系统函数 H(S) 的极点位置决定。每一个极点将决定 h(t)的一项时间函数。稳定性：由上述得知 Y(S)= C （ S-Pi） /(S-Qi) 可分解为 Y(S)=C1/(S- 1)+ C2/(S- 2)+ C3/(S- 3)+

3、+ Ci/(S- i)+ 则时间响应为y(t) C1est1C 2es2tL Cnesnt由于特征方程的根不止一个， 这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。通过复变函数幅角定理将S 由 G平面映射到 GH平面。如果封闭曲线F内有 Z 个 F(s) 的零点，有P 个 F(s) 的极点，则s 沿 F顺时针转一圈时，在 F(s) 平面上， F(s) 曲线绕原点顺时针转的圈数R 为 z 和 p 之差，即R zp。若 R 为负 , 表示 F(s) 曲线绕原点逆时针转过的圈数。F

4、(s) 的分母是 G0(s) 的分母， 其极点是 G0(s) 的极点； 其分子是 ?(s) 的分母， 即 ?(s) 的特征多项式，其零点是 ?(s) 的极点。取 D 形曲线（ D 围线）如图所示，是整个右半复平面。且设 D 曲线不经过 F(s) 的任一极点或零点。s 沿 D曲线顺时针变化一周，F(s) 顺时针包围原点的周数为：n=z-p=F(s) 在右半复平面的零点数( 闭环传函在右半复平面极点数)-F(s) 在右半复平面的极点数( 开环传函在右半复平面极点数)所以闭环系统稳定的充分必要条件是：n=- p =-开环传函在右半复平面的极点数因此：反馈控制系统在s 右半平面的闭环极点个数Z=P-2

5、N ，式中，P 为s 右半平面开环极点数，N 为开环 Nyquist 曲线逆时针包围(-1 ,j0)点的圈数，且有N=N+ N-其中 N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！其中 N- 为：负穿越与半次负穿越次数的和。正穿越：随着的增大，开环Nyquist 曲线逆时针穿越实轴区间(-, -1)。半次正穿越：逆时针方向离开（或中止于）实轴区间(- , -1)。负穿越：随着的增大，开环Nyquist 曲线顺时针穿越实轴区间(-, -1)。半次负穿越：顺时针方向离开或中止于实轴区间(- ,-1) 。若开环传递函数有积分环节，开环Nyquist 曲线在 =0 时，幅值无

6、穷大，而相角为。判断稳定性要求=0 开始逆时针补半径为无穷大，角度为的虚线圆弧。在计算正、负穿越次数时，应将补上的虚线圆弧作为Nyquist曲线的一部分。(-1,j0)同样其他稳定性的判别由劳斯判据和赫尔维兹判据程推出 S 根没有复实部。总结：波的图判据等原理相同。都是由特征方1.如系统函数2.如系统函数H(s) 的全部极点落于S 域左半平面，则系统稳定。H(s) 有极点落于S 右半平面， 或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不稳定。3.若系统函数H(s) 没有极点落在右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则系统临界稳定。4.系统函数的分子多项式的阶次，不应高于分母多项式的阶次。离散系统离散系统稳

7、定性原理与连续系统一样，由于离散系统本身特征稍有改，离散信号是脉冲序列即时间上离散，离散信号是数字序列即幅值上整量化。因此引入 Z 变换取代拉斯变换只适用与连续函数，离散时间序列x(n) 的 Z 变换定义为G ( z)X(z) x(n)z-n，常用序列的Z 变换中 z e，为实变数，为实变量，j ，所以 z 是一个幅度为 e，相位为的复变量。x(n) 和 X(z) 构成一个*Z变换时 。r (t)r * (t)c(t )c(t )理想的单位脉冲序列：采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号，而单位脉冲串可以作为载波信号，调制过程可以表示为： G(s)则：Z 变换为：定义： z esT则：

8、X ( z) X *(s)X *( T1ln z)x(kT ) z k1由以上定义得知 Z 变换，则如何从sS 平面映射到 Z 平面：Tln zk 0当，则对应在 s 左半平面， 系统稳定映射到Z 平面上z对应在 Z 平面的单位1圆内，脉冲系统稳定；当 >，则对应在 s 右半平面，系统不稳定，映射到Z 平面上z 1对应在 Z 平面的单位圆外，脉冲系统不稳定；本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！当 ，则对应在s 平面的虚轴上，系统临界稳定，映射到平面的单位圆上，脉冲系统临界稳定。Z 平面上z1对应在Z将 Z 进行映射变换，离散系统稳定判断依旧能够使用劳斯判据判断。总结：稳定系统的系统函数的收敛域，应该包含单位圆（包含在单位圆内）统函数，其极点