正弦定理、余弦定理基础练习

1、.正弦定理、余弦定理基础练习1在中：ABC（ 1）已知 A45、 B30 、 a5 3 ，求 b；（ 2）已知 B75、 C45 、 a6 ，求 c 2在 ABC中（角度精确到1°）：（ 1）已知 b 15 、 c7、 B 60°，求 C；（ 2）已知 a 6 、 b7、 A 50°，求B3在 ABC中（结果保留两个有效数字）：（ 1）已知 a 5、 b 7、C 120°，求 c；（ 2）已知 b 3 3 、 c7、 A30°，求 a4在 ABC中（角度精确到1°）：（ 1）已知 a6 、 b7、 c9 ，求 A；（ 2）已知 a3

2、3 、 b4 、 c79 ，求 C5根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到 0.1 ）：（ 1）（ 2）（ 3）A37 ，B60 ，a5 ；A40，B45 ，c7 ；B49，a5，b3 ；（ 4） C 20 ， a 5， c3；（ 5） a4， b7， C80 ；（ 6） a 10，b 13， c 14 6选择题：（ 1）在 ABC中，下面等式成立的是（）ACab cosC bc cosA a cosC c cos AB D absin Cbc sin Aa cos Abcos B（ 2）三角形三边之比为3 5 7，则这个三角形的最大角是（）A 60°B 120&

3、#176;C 135°D 150°（ 3）在 ABC中， bc21，C 45， B 30°，则（）A b 1， c2B b2 ， c 1C b22D b 122， c 12， c222（ 4）在 ABC中 B45、 c5 2 、 b 5，则 a （）A 52B 53C 5D 10.7填空题：（ 1） ABC中 AB1、 AC62、面积S13A_；24，则（ 2）在中，若a cos Ab cos B，则的形状是 _ABCABC8在 ABC中， sin 2 A sin Asin Bsin 2 Csin 2 B ，求角 C综合练习1设方程 x2 sin A2 xsin

4、Bsin C0 有重根， 且 A、B、C为 ABC的三角， 则 ABC的三边 a 、 b、 c 的关系是（）A bacB abcC cabD b2ac2在 ABC中 C90、 A75 ，CDAB ，垂足为 D，则CD的值等于（）ABA 1B 1C 1D 323423等腰三角形的底角正弦和余弦的和为6），则它的顶角是（2A 30°或150°B 150 或 75° C30°D 15°4在 ABC中 (sin Asin Bsin C )23(sin 2 Asin 2 Bsin 2 C ) ，则这个三角形是（）三角形A锐角B钝角C直角D等边5在中0 t

5、an A tan B 1，则是（）ABCABCA锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定其形状6在 ABC中， AB 是 cos2 Acos2B 的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既不充分也不必要c的围为（）7在锐角 ABC中，若 C 2B ，则bA( 2,3)B (3,2)C（ 0， 2）D (2,2)8已知 A 为三角形的一个角，函数y(cos A)x2(4 sin A) x6，对于任意实数 x都有 y 0 ，则（）.11cos A1A 0 cos AB 22C cos A0D 1cos A09已知锐角三角形的边长为2、 3、 x，则 x 的取值围是（）A 1 x5B5x13C

6、 13x 5D 1x510在 ABC中，若面积 S ABCa 2(bc)2 ，则 cos A等于（）A 1B3C 12D 1522131711在中7、b10、c15，则tan A_ABC a12在 ABC中，若 sin AcosBcosC ，则 tan B tan C _13在 ABC中，若 2 cosB cosC1cos A ，则 ABC的形状是 _14 ABC的面积和外接圆半径都是1，则 sin A sin B sinC _sin Asin B15在 ABC中， sin CcosBcos A，则 ABC的形状是 _16如图 5-8 ， A 60°，A 的点 C 到角的两边的距离分

7、别是5 和 2，则 AC的长为_图 5-817已知 A 为锐角三角形一个角， 且 lg(1sin A)m ，lg1n ，则 lg cos A 的值为 _1 sin A18在 ABC 中，若 A 60， b1， S ABC3 ，则a bcsin Asin B的值为_sin C19在 ABC中，已知 2 sin B cosCsin A ， A120 ， a1，求 B和 ABC的面积20在 ABC中，已知 (sin Asin Bsin C )(sin A sin Bsin C ) 3 sin Asin B ，求角 C21在 ABC中，角 A最大， C最小，且 A2C ，若 a c2b ，求此三角形三

8、边之比22已知三角形的三边长分别为x2x1 、 x21、 2x1 ，求这个三角形中最大角的度数拓展练习.1三角形三边长是连续整数，最大角是最小角的2 倍，则最小角的余弦等于（）A 3B 7C 2D 94103142在ABC 中， P 表示半周长， R表示外接圆半径，下列各式中：A( Pb)( Pc)abtanABsin22bcabtanAB2ca cosBbcos Aabcsin Asin BRsin C正确的序号为（）A、 B、 C、 D、 、3在 ABC中，若a2() ，则有（）b bcAA BBA 2BCA 3BDB 2A4在 ABC中， tanABab）2a，则此三角形为（bA等腰三角

9、形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形5在 ABC中，若 lg alg clg sin Blg2 ，且 B 为锐角，则 ABC的形状是_6设 A 是 ABC中的最小角，且a1，则 a 的取值围是 _cos A1a7如图 5-9，在平面上有两定点 A 和 B， AB3，动点 M、N满足AMMNNB1 记 AMB和 MNB的面积分别为 S、T，问在什么条件下， S2T 2 取得最大值？图 5-98在 ABC中，已知C2B，求证： c2b2ab .图 5-109圆O 的半径为R，其接 ABC 的三边a、 b、 c 所对的角分别为A、 B、 C，若2R(sin 2 Asin 2 C )sin

10、 B(2ab) ，求 ABC面积的最大值10若 ABC是半径为r 的圆的弓形，弦AB长为2r ，C为劣弧上一点， CDAB于 D，当 C点在什么位置时ACD的面积最大，并求此最大面积（如图5-10 ）参考答案基础练习1（ 1） b5（ 2） c 2 6 622（ 1） C24 ，（2） B63 或1173（ 1） C10 ，（ 2） a 3.6 4（ 1） A 42 ，（2） C150 5（ 1） C83 ， b7.2 ， c8.2 ；（2） C95 ， a4.5 ， b5.0；（3） A20 ，C111 ， c10.9 ；（4） A35 ，B125°，b7.2或 A145 ，B15

11、 ， b2.3；（ 5） c 7.4， A32 ，B68 ；（ 6）A 43，B 63，C 74 6（ 1） B S1 ab sinC1 bc sin A1 casin B ；222120 （ 2） B三角形边对大角，由余弦定理，求出最长的边所对角的（ 3）A由正弦定理，得得 b、 c 的值；csin Csin 45，将 c2b 代入 b c2 1解bsin B2sin 30（ 4） C由余弦定理， b2a2c22ac cos B ，即 25a25010a，解关于 a 的方程 a2 10a 250，得 a5 7（ 1） 或 3，由面积公式：S1 bc sin A ，即 143162sin A

12、，44222解得 sin A2，从而求出 A；2（ 2）等腰三角形或直角三角形，由余弦定理得a b2c2a 2ba2c 2b2，整2bc2ac理 得 ( a2b2 )(c2a2b2 )0 ， 则 a2b20 或 c2a2b20 ， 所 以 ， ab 或.c2a2b2 8 2由正弦定理：abc2R ，可将已知的三个角的正弦关系转3sin Asin BsinC化 为 三 边 关 系 ： a2ab c2b2 ， 即 a2b2c2ab ， 再 利 用 余 弦 定 理 ：cosCa2b2c2ab1，所以， C22ab2ab23综合练习1D方程有重根，(2 sin ) 24sinAsinC0， 即Bsin

13、 2 Bsin A sin C 由正弦定理，得b2ac 2 C 设 AB a ， 则 ACa cos75， BCa sin 75由面积关系式：11BC ，得 CDa cos75 sin 7511a CD ABACasin15042223 A设等腰三角形顶角为、底角为，则 sincos6，两边平方，解得212 sincos6sin 21sinsin( 2 )sin 21又，即242为顶角，30 或 1504D由正弦定理得()23(222) ，即2ab2ac 2bc22abc2a2ba b c2c 2 ， ( a b) 2(b c) 2(c a) 20 a b c 5CA、B、C为三角形的角， 又

14、0tan A tan B1 ，tan A0， tan B 0 ，tanCtan( AB)tan(AB)tan Atan B0 ，C为钝角1 tan A tan B6 C cos2Acos2 B1sin 2A1sin 2 Bsin 2Asin 2 B ， A、 B为三角形的角，sin A0，sin B0 sin 2Asin 2 Bsin Asin B2R sin A2R sin B （ R 为ABC 外接圆半径）由正弦定理， a2R sin A ，b2Rsin B sin Asin BababAB cos2 Acos2 BAB .7 Acsin Csin 2Bbsin Bsin B2 cosB

15、，0B，2又0C2cos B32B，B，2即26420A (BC)，22 2cosB3.c(2，3)bcos A，cos A，8 B由条件知0即016sin2A 24cos A2A)3cosA，02(1 cos0cos A0或1cos A2cos A2.又A 为三角形的一cos A2cosA11又2个角，cosA1，1cosA 1 29B设三边 2、3、x 所对的三个角分别为 A、B、C，根据三角形任意两边之和大于第三边和余弦定理，有：32x3，1 x，251x22x232x255，即， ，cosB0x22x0x5xx1322222xx130cosC322305x13 10 D由三角形面积公式

16、：S1 bcsin A a 2(bc) 21 bcsin A 22b2c 2a 22bc(11 sin A) b2c 2a 211 sin A 由 余 弦 定 理 ，42bc4cos Ab2c2a 211 sin A.sin A4(1cos A) sin 2A16(1cos A) 2 2bc41cos2 A1632 cos A16 cos2 A ， 即 17 cos2 A32 cos A150解得cos A15或 cos A1A 为三角形的角，cos A 1， cos A151717.4610 2152722311由余弦定理， cos A210152325sin A1cos2 A(123)(1

17、23 )4 6 .tanAsin A4 6 252525cos A23121sin Acos BcosC， sin( BC )cos BcosC sin B cosCcosB sin C cosBcosC sin BcosCcosB sinC 即cosBcosC1tanB tanC113等腰三角形，2cos BcosC1cos A ，2 cos BcosC1 cos (B C) 2 cos BcosCcos(BC )1 cosB cosC sin B sin C1 ，即 cos( B C ) 1 B C 0 ，即 B C14 1 设ABC 外接圆半径为R，则 R 12abcabc由正弦定理 s

18、in A sin B sin C2R2R8ABC2R设的面积为 ，则 1由面积公式SSS1 absin C1 bc sin A1 casin B ，222sin Asin Bsin C2S2S2S8 abc8 abc 4 bccaab(abc)28(abc)2sin Asin Bsin Cabc182sin Asin B ，15直角三角形由正弦定理、余弦定理，cos AcosBsin Cb2c2a2a 2c2b2ab a(b2c2a2 ) b( a2c2b2 ) 2ab(a2bc2accb) 整理，得(a b)(a2b2c2 ) 0 a>0，b， a2b2c20 >0c2a2b2

19、16 2 13 ，由于 A、 E、 C、F 四点共圆，ECF120，连结 EF，在CEF 中，.由余弦定理：EF 25222252cos12039，EF39 又由正弦定理可得 AECF的外接圆直径EF39AC2 13sin12032图答 5-717 1( mn).lg(1sin A)m，lg11n ，两式相减，2sin Alg(1sin A)(1sin A)mn lg(1sin 2 A)m n ，即 lg cos2 Amn 2 lg cos Amn lg cosA1 (mn) 218 239 由三角形面积公式， S1 bc sin A ，311 csin 60，322c4 由 余 弦 定 理

20、， a2b2c22bc cos A 1242214113，2a13由正弦定理，abc132 39 由等比定理可得：sin Asin Bsin Csin 603abc2 39sin A sin Bsin C319 B30 ，S ABC132 sin BcosCsin A ，由正弦定理、余弦定理，122ba2b2c2a， a2b2c2a 2， b c，A120， 2abBC30 由正弦定理，abb1sin 301 .sin Asin Bsin 1203S ABC1ab sin C111sin 303 2231220 60 设 R ABC 外接圆半径，由正弦定理：abcabc3ab(2R)(2R2R

21、)，2R2R2R2R 2R.化简得： (abc)( abc)3ab, (ab) 2c23ab ，a2b2c2ab 再由余弦定理，得：cosCa2b2c2ab1C60 2ab2ab221 a : b : c6:5: 4 A2C，由正弦定理：caaa，cosCasin Csin Asin 2C2 sin C cosC2cac2b ，ba c由余弦定理：2cosCa 2b2c 2a 2( a 2 c )2C 25a 3c2aba(ac)4aa5a3c 4a 210ac6c20 ，(2a3c)( a c)0 2c4a3 c ba c 5 c a : b : c3 c : 5 c : c 6 : 5:

22、4 a c ，a22424x2x，1 0221202121 21为三角形的三边，x21xx，x， x02x10 解得， x1 ( x2x 1) ( x21) x 2 0，( x2x 1) ( 2x 1) x 2x x( x 1) 0，x2x1是最大的边长令其所对的角为，由余弦定理：cos( x21) 2(2x1) 2(x 2x1) 22x3x22x112( x 21)( 2x1)2(2x 3x 22x1)2120，即这个三角形中最大角的度数为120拓展练习1A设三角形三边为n1、n、n1(n N ) ，它们所对的角分别为C、B、A，则 C2A则正弦定理，n1n1n1n1，cos An1sin

23、Asin Csin 2A2 sin Acos A由余弦定理，2(n1)cos A(n1) 2n2(n 1)2n24nn1n 24n去分母得：2n( n1)2n(n1)2(n1)2n(n1)n32n2n n34n2n24n n25n ， nN ， n 5 .cos A5245453即最小角的余弦值为360425(51)4（法二） 如图，ABC 中， C 2A，设 A，A、B、C三角所对的三边分别为n1 、nn1( nN )在 AB上取一点 D，使ACDBCDCDBBCA2、CAB DCB 设 CD为 x，则 DA为 x，xn1xn1 xn(n1)nn1n1n1n1 n(n1)n 1 即 (n 1)2n2n n 1 3 121n 1n3n2nn1n1n 1 (n 1)n1nnN ， n5 ABC的三边长为4、 5、6由余弦定理，cos A5262422536163最小角的余弦值为3 2566044图答 5-82 C 正确P1 ( a