第3章假设检验

1、第三章 假设检验一、基本概念二、单个正态总体的检验三、两个正态总体的检验五、非正态总体大样本参数检验六、Pearson检验法四、似然比检验一、一、 基本概念基本概念在自然科学和社会科学等中，常常要对某在自然科学和社会科学等中，常常要对某些重要问题做出回答：些重要问题做出回答：是是或或否否。如月球比地球如月球比地球早形成吗？早形成吗？ 一种新药对某种病有效吗？一种新药对某种病有效吗？ 某种某种股票会涨吗？股票会涨吗？新推出的电视节目收视率高吗？新推出的电视节目收视率高吗？等等。等等。为了回答这些问题，为了回答这些问题，我们需要对感兴趣我们需要对感兴趣的问题进行试验或观察获得相关数据，的问题进行试

2、验或观察获得相关数据， 根据这根据这些数据决定些数据决定是是或或否否的过程称为的过程称为假设检验假设检验。(Hypothesis Testing)在这节，给出一般的在这节，给出一般的Neyman-Pearson假设假设检验构架。检验构架。原假设和备择假设原假设和备择假设的的分分是是统统计计模模型型，关关于于总总体体设设XP, 布或关于参数布或关于参数 的推测，的推测， ：即即H称为称为假设假设，其中其中 是是 的非空真子集。的非空真子集。 在一个假设检验中，常涉及两个假设。在一个假设检验中，常涉及两个假设。所所要检验的假设称为要检验的假设称为原假设原假设或或零假设零假设，记为记为 。0H而与而

3、与 不相容的假设，称为不相容的假设，称为备择假设备择假设或或对立对立0H假设假设，记为记为 。1H对参数统计模型对参数统计模型 而而, P言，原假设和备择假设这对矛盾的统一体言，原假设和备择假设这对矛盾的统一体1100 ：，：HH称为称为假设检验问题假设检验问题。在假设检验问题中，在假设检验问题中，的两个互的两个互是是和和 10不相交的非空子集，不相交的非空子集， 10但并不要求但并不要求一定成立。一定成立。保留这个的灵活性，保留这个的灵活性， 不仅是理论的不仅是理论的需要，需要，也有其实际意义。也有其实际意义。，仅仅包包含含一一个个参参数数，即即如如果果000 则称则称0H为简单假设为简单假

4、设(Simple Hypothesis)， 否则称为否则称为复复合假设合假设(Composite Hypothesis)， 对备择假设也有对备择假设也有简单假设和复合假设。简单假设和复合假设。拒绝域、接受域、检验统计量拒绝域、接受域、检验统计量检验一个假设，就是根据某一法则在原检验一个假设，就是根据某一法则在原假设和备择假设之间做出选择，假设和备择假设之间做出选择，而基于样本而基于样本x做出拒绝做出拒绝 或接受或接受 所依赖的法则称为所依赖的法则称为检验检验。0H0H这样一个检验就等同于将样本空间分成这样一个检验就等同于将样本空间分成两个互不相交的子集两个互不相交的子集 和和 ，WcW时时就就

5、拒拒当当Wx绝绝 ，0H成立；成立；认为备择假设认为备择假设1H时时就就接接当当cWx成成立立。，认认为为受受00HH称称 为为拒绝域拒绝域，W(Rejection Region)称称cW为接受域为接受域(Acceptance Region)。 这样检验和拒绝这样检验和拒绝域就建立起一一对应关系。域就建立起一一对应关系。为了确定拒绝域，为了确定拒绝域，往往根据问题的直观背往往根据问题的直观背景，景，寻找合适的统计量寻找合适的统计量 ，)(xT为真时，为真时，当当0H要要能由统计量能由统计量 确定出拒绝域确定出拒绝域 ，)(xTW这样的统这样的统计量计量 称为称为检验统计量检验统计量(Test

6、Statistic)。)(xT两类错误两类错误由于样本时随机的，由于样本时随机的， 进行检验时可能犯进行检验时可能犯两类错误，两类错误，其一是当其一是当 为真时，却拒绝为真时，却拒绝 ，0H0H称为称为第一类错误第一类错误，其概率为其概率为.,)(0 WxP其二是当其二是当 为假时，却接受为假时，却接受 ，0H0H称为称为第二类第二类错误错误，其概率为其概率为.,1)(1 WxPWxP定义定义8.1 一个检验的一个检验的功效功效(Power)定义为当定义为当 不不0H成立时拒绝成立时拒绝 的概率，的概率，0H即即.),(1)(1 WxP检验的显著性水平检验的显著性水平当样本容量当样本容量 固定

7、时，固定时，n要减少犯第一类错要减少犯第一类错误的概率，误的概率，就会增大犯第二类错误的概率；就会增大犯第二类错误的概率；反反之，之，若要减少犯第二类错误的概率，就会增大若要减少犯第二类错误的概率，就会增大犯第一类错误的概率。犯第一类错误的概率。即就是说当样本容量固即就是说当样本容量固定时，定时，不可能同时减少犯两类错误的概率，不可能同时减少犯两类错误的概率， 这这是一对不可调和的矛盾。是一对不可调和的矛盾。类错误的概率在给定的范围内，类错误的概率在给定的范围内，寻找检验使得寻找检验使得犯第二类错误的概率尽可能的小，犯第二类错误的概率尽可能的小，即就是使检即就是使检验的功效尽可能的大。验的功效

8、尽可能的大。这样就是在给定一个较这样就是在给定一个较小的数小的数 (一般取为一般取为0.01,0.05,0.1等等)，)10( 在满足在满足0, WxP的检验方法中，的检验方法中，寻找使得功效寻找使得功效)(1 WxP尽可能大的检验方法。尽可能大的检验方法。Neyman-Pearson检验原理就是控制犯第一检验原理就是控制犯第一将将 称为称为显著性水平显著性水平。 假设检验的步骤假设检验的步骤（1）提出假设检验问题，提出假设检验问题，1100 ：，：HH（2）根据根据 ，选取适当的统计量，并确定其，选取适当的统计量，并确定其0H分布；分布；（3）给定显著性水平给定显著性水平 ； （4）确定拒绝

9、域；确定拒绝域；（5）由样本观测值，计算统计量的值；由样本观测值，计算统计量的值；（6）作出推断，是拒绝作出推断，是拒绝 ，还是接受，还是接受 。0H0H二、二、 单个正态总体的检验单个正态总体的检验（一）（一） 总体方差已知时，总体均值的检验总体方差已知时，总体均值的检验检验统计量检验统计量0100:,: HHnxU 0 的简单样本，的简单样本，设设 是来自正态总体是来自正态总体nxxx,21),(2 N方差方差 已知，已知，2 考虑检验问题考虑检验问题给定显著性水平给定显著性水平 ， 拒绝域拒绝域|21 uUW（双侧假设检验双侧假设检验）)1 , 0(N单侧假设检验单侧假设检验0100:,

10、: HH(1)0100:,: HH(2)0100:,: HH(3)0100:,: HH(4)理论上，可以证明理论上，可以证明(1)与与(2)、(3)与与(4)的检验法的检验法相同，相同，而而(1)和和(3)的拒绝域容易求出，分别为的拒绝域容易求出，分别为11 uUW13 uUW（二）（二） 总体方差未知时，总体均值的检验总体方差未知时，总体均值的检验0100:,: HH检验统计量检验统计量nSxT0 给定显著性水平给定显著性水平 下，拒绝域为下，拒绝域为 )1(|21 ntTW )1( nt0100:,: HH给定显著性水平给定显著性水平 下，拒绝域为下，拒绝域为 )1(1 ntTW 0100

11、:,: HH给定显著性水平给定显著性水平 下，拒绝域为下，拒绝域为 )1(1 ntTW （三）（三） 总体方差的检验总体方差的检验20212020:,: HH的简单样本，的简单样本，设设 是来自正态总体是来自正态总体nxxx,21),(2 N考虑检验问题考虑检验问题当当 未知时，未知时， 检验统计量为检验统计量为2022)1( Sn )1(2 n 拒绝域拒绝域)1(or)1(2212222 nnW 当当 已知时，已知时， 检验统计量为检验统计量为2022 n )(2n 拒绝域拒绝域)(or)(2212222nnW niixn122)(1 类似的也有相应形式单侧检验，在此就不列出。类似的也有相应

12、形式单侧检验，在此就不列出。三、三、 两个正态总体的检验两个正态总体的检验设设 是来自正态总体是来自正态总体1,21nxxx的样本容量为的样本容量为 简单样本，简单样本，),(211 N1n2,21nyyy是来是来自正态总体自正态总体 的样本容量为的样本容量为 的简单的简单),(222 N2n样本，且两样本独立。样本，且两样本独立。考虑检验问题考虑检验问题211210:,: HH 两个正态总体均值的检验两个正态总体均值的检验222121nnyxU 给定显著性水平给定显著性水平 ， 拒绝域拒绝域|21 uUW)1 , 0(N（一）（一） 已知时，总体均值的检验已知时，总体均值的检验2221, （

13、二）（二） 未知但相等，总体均值的检验未知但相等，总体均值的检验2221, 检验统计量检验统计量 成立时，成立时，0H当当 成立时，检验统计量为成立时，检验统计量为0H2111nnSyxTW 拒绝域拒绝域)2(|2121 nntTW )2(21 nnt其中其中2)1()1(2122212 nnSnSnSyxW 两个正态总体方差的检验两个正态总体方差的检验考虑检验问题考虑检验问题2221122210:,: HH当当 未知时，未知时，21, 当当 成立时，检验统计量为成立时，检验统计量为0H22yxSSF )1, 1(21 nnF拒绝域拒绝域)1, 1(2121 nnFF or)1, 1(212

14、nnFFW 当当 已知时，已知时，21, 当当 成立时，检验统计量为成立时，检验统计量为0H22yxF ),(21nnF拒绝域拒绝域),(or),(2121212nnFFnnFFW 类似的也有相应形式单侧检验，在此就不列出。类似的也有相应形式单侧检验，在此就不列出。0.0 0.0 -1.0 -0.1 -0.4 0.0 -1.9 0.3 0.0 1.2 0.0 -1.0 0.9 -1.4 -0.5标准正态分布标准正态分布 产生的随机数产生的随机数 ，)1 , 0(N15 n One-sample t-Testdata: x1 t = -1.2344, df = 14, p-value = 0.2

15、374 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval:-0.7117407 0.1917407 sample estimates: mean of x ，-0.26四、四、 似然比检验似然比检验设设 是来自密度函数（或分布率）是来自密度函数（或分布率）nxxx,21),(),()(0111 nnxxpxxpx 为为 的总体的简单样本，的总体的简单样本，)(),( xp考虑检验考虑检验问题：问题：)(:,:011100 HH一个比较直观且自然方法是考虑似然比一个比较直观且自然方

16、法是考虑似然比当当 较大时，拒绝原假设较大时，拒绝原假设 ，)(x 0H，这种检验方法称为，这种检验方法称为似然比检验似然比检验。例例 对正态总体，方差已知，检验问题对正态总体，方差已知，检验问题)(:,:011100 HH似然比为似然比为),(),()(0111 xxpxxpxn 0H否则，接受否则，接受 niinniinxx12021212)(21exp21)(21exp21 nxU 0 令令 ， 2201012)()(exp)( nUnx niiixx120212)()(21exp niix101201)2(2exp 22010012)()(exp nnxn则则nxU 0 :1 uUUW

17、拒绝域为拒绝域为210, 01 因为因为 均已知且均已知且 ，的单调增函数，故由等式的单调增函数，故由等式所以所以 是是)(x U |)(010成成立立成成立立HcUPHcxP可得可得 。 11uc这样检验统计量可取为这样检验统计量可取为这是通常的单边这是通常的单边 检验。检验。 u对一般的假设检验问题对一般的假设检验问题1100:,: HH检验的拒绝域为检验的拒绝域为)(:cxxW |)(0成成立立HcxP定义似然比检验统计量为定义似然比检验统计量为),(sup),(sup)(110 nnxxpxxpx 其中临界值其中临界值 可由可由c确定。确定。下面也通过例子说明其具体应用。下面也通过例子

18、说明其具体应用。例例0100:,: HH似然比似然比对正态总体，方差未知，检验问题对正态总体，方差未知，检验问题),(sup),(sup)(110 nnxxpxxpx 这里这里0,),(22 0),(2200 当当 未知时，其极大似然估计分别为未知时，其极大似然估计分别为2, ,x niixxn122)(1 niixn12020)(1 当当 已知时，已知时， 极大似然估计为极大似然估计为0 2 所以似然比为所以似然比为 niinniinxxxx120200122)(21exp21)(21exp21)( 22202220)1()(1nnSnxn 若令若令 ，nSxT0 则则2211)(nnTx

19、当当 成立时，成立时，0H)1( ntnSxT0 且且 是是 单调增函数，因此由单调增函数，因此由)(x |T |)(010成成立立成成立立HcTPHcxP可得临界值为可得临界值为)1(211 ntc 这样检验统计量为这样检验统计量为nSxT0 拒绝域为拒绝域为当当 成立时，成立时，0H)1, 1( nFF且且 是是 单调增函数，因此由单调增函数，因此由)(x F |)(010成成立立成成立立HcFPHcxP)1(|:|21 ntTTW 当然也可令当然也可令nSxF220)( ，则，则211)(nnFx 这是通常的双边这是通常的双边 检验。检验。 t拒绝域为拒绝域为)1, 1(:1 nFFFW

20、 这样检验统计量也可以为这样检验统计量也可以为nSxF220)( 可得临界值为可得临界值为)1, 1(11 nFc 可以证明这时的可以证明这时的 检验和检验和 检验是等价的。检验是等价的。 t F从上述两个例子可得求似然比检验的一般步骤：从上述两个例子可得求似然比检验的一般步骤：（1） 在在 内求内求 的极大似然估计的极大似然估计 ， 在在 内求内求 的极大似然估计的极大似然估计0 0 （2） 计算并化简计算并化简),(),()(011 nnxxpxxpx 使成形式使成形式 ，)()(xThx 满足两个要求，满足两个要求，是是 的单调增函数或单调减函数；的单调增函数或单调减函数；)(x )(x

21、T当当 成立时，成立时， 的分布完全已知。的分布完全已知。0H)(xT（3） |01成成立立HcTP增函数时，由增函数时，由 求临界值求临界值减函数时，由减函数时，由 求临界值求临界值 |01成成立立HcTP（4）)(xT检验统计量取为检验统计量取为:1cTTW 增函数时，拒绝域为增函数时，拒绝域为减函数时，拒绝域为减函数时，拒绝域为:1cTTW 其一：其一：其二：其二：注：注：（1） 正态总体下参数的检验基本都是似然比检验正态总体下参数的检验基本都是似然比检验（2）似然比检验可用于检验样本来自两个不同类似然比检验可用于检验样本来自两个不同类型分布之一，型分布之一，:0H样本来自正态总体族样本来自正态总体族),(2 N:1H样本来自双参数指数分布族样本来自双参数指数分布族),( xp其中其中 xxxxp0exp1),(0, 如如（3）似然比检验适应面广，似然比检验适应面广，（4）一般情形下，一般情形下，难获得，难获得，总体均可以构造，总体均可以构造，且构造的检验常具有一且构造的检验常具有一些优良性质，些优良性质，如在某种意义下具有最有性。如在某种意义下具有最有性。因此临界值的求法有两种。因此临界值的求法有两种。 其一，其一