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文档简介

1、第27卷第4期2011年7月福建师范大学学报(自然科学版 Jo ur nal of F ujian N or mal U niver sity (Nat ur al Science Edition V ol. 27N o. 4Jul. 2011文章编号:1000-5277(2011 04-0027-04快速傅里叶变换在频谱分析中的应用胡丽莹, 肖蓬(福建师范大学数学与计算机科学学院, 福建福州350108摘要:在快速傅里叶变换原理和Coo ley -T ukey 快速傅里叶变换算法的基础上, 给出一个新的应用于数字信号处理(DSP 的频谱分析方法, 并分析该方法的运算效率和存储空间开销. 实例

2、证明, 本方法的复数乘法运算量与存储空间开销均较小, 符合DSP 信号处理器的特点, 适合应用于采用高性能DSP 的M P 3/M P 4或手机等消费电子产品.关键词:快速傅里叶变换; 频谱分析; 数字信号处理中图分类号:O 241. 6文献标识码:A收稿日期:2010-09-07基金项目:福建省教育厅资助项目(JA 09055:(, Application of Fast Fourier Transform inFrequency and Spectrum AnalysisHU Li -ying , XIAO Peng(School of M athematics and Comp uter

3、 S cience , Fuj ian N ormal Univ er sity , Fuz hou 350108, China Abstract :Based on fast Fourier transform principle and Cooley-T ukey fast Fo uriertransfo rm algo rithm , a new method of frequency and spectrum analysis w hich applies in dig ital signal pro cessing (DSP is pr esented , and the opera

4、tional efficiency and memo ry space of the method are analyzed. Ex ample show s that the new method have less am ount of co mplex m ultiplicatio n and small memory space w hich is fit for DSP. So the method is very suitable for M P3/M P4or m obile phone and other co nsum er electronic products w hic

5、h use hig h -perfo rmance DSP .Key words :fast Fourier transfo rm; fr equency and spectrum analysis; dig ital signalpr ocessing频谱分析手段已被各种音频播放软件以及M P3/MP4等消费电子产品广泛采用, 具有广阔的应用前景. 通过频谱分析, 能够在听音乐的同时, 实时感受到音乐所表达的不同频率成分的能量变化1, 给视听系统带来全方位的体验. 要对一个模拟输入信号源作频谱分析, 必需由时域信号转变为频域信号, 这就要用到傅里叶分析. 由于数字信号处理系统2-3只能对数字

6、输入信号进行处理, 因此必须通过AD 转换器将原始的模拟输入信号按采样率转化为离散的数字信号, 再从按采样率采样得到的离散数据中截取若干连续的离散信号进行FFT 频谱分析. 如1024点-FFT 频谱分析, 128点-FFT 频谱分析等等, 离散点数越多, 其FFT 频谱分析就越接近模拟输入信号的频谱分布. 实验证明, 采用256点-FFT 频谱分析已经能够较近似模拟输入信号的频谱分布, 完全能够胜任目前的MP3/M P4、手机等产品音乐播放的实时频谱显示功能.本文给出一种新的应用于数字信号处理的频谱分析方法, 并分析了该方法的运算效率和存储空间开销.1快速傅里叶变换(FFT 原理快速傅里叶变

7、换原理见文献3.对N 点序列x (n , 其离散傅里叶变换(DFT 变换对为X (k =N -1n =0x (n W nk N , k =0, 1, , N -1; W N =ex p-j N , x (n =N N -1k =0X (k W -nk N , n =0, 1, , N -1. (1 显然, 求出N 点X (k 需要N 2次复数乘法及N (N -1 次复数加法. 众所周知, 实现一次复数乘法需要4次实数乘法两次实数加法, 实现一次复数加法则需要2次实数加法. 当N 很大时, 其计算量是相当可观的. 例如, 若N =1024, 则需要1048576次复数乘法, 即4194304次实

8、数乘法. 所需时间过长, 难以“实时”实现. 这对MP3/M P4等音乐播放的实时频谱显示来说计算量大得难以承受.其实, 在DFT 运算中包含大量的重复运算. 观察W 矩阵, 虽然其中有N 2个元素, 但由于W N 的周期性, 其中只有N 个独立的值, 即W 0N , W 1N , , W N -1N, 且在这N 个值中有一部分取极简单的值. 简言之, W N 因子的取值有如下特点:(i W 0=1, WN /2=-1; (ii W N +r N =W r N , W N /2+r =-W r .利用W 因子的周期性及对称性, J. W. Co oley 和J. W. T ukey 于1965

9、年提出了高效的快速算法4.Cooley 和T ukey 提出的快速傅里叶变换算法(FFT 使N 点DFT 的复数乘法计算量由N 2次降为2lo g N 2次. 仍以N =1024为例, 复数乘法计算量降为5120次, 仅为原来的4. 88%.2时间抽选奇偶分解快速离散傅里叶变换(Cooley-T ukey FFT 算法时间抽选奇偶分解快速离散傅里叶变换原理见文献3.假设N =2M , M 为正整数, 将x (n 按奇、偶分成两组, 即令n =2r 及n =2r +1, 而r =0, 1, , N /2-1, 于是X (k =N -1n =0x (n W nk N =N /2-1r =0x (2

10、r W r k N /2+W k N N /2-1r =0x (2r +1 W r k N /2, k =0, 1, , 2-1. (2 令x 1(r =x (2r ,x 2(r =x (2r +1 ,r =0, 1, , 2-1. 利用性质W 2n N =W n N /2, 式(2 部分改写如下:X (k =N /2-1r =0x 1(r W r k N /2+W k N N /2-1r =0x 2(r W rk N /2=X 1(k +X 2(k , k =0, 1, , 2-1, (3 其中X 1(k =N /2-1r =0x 1(r W r k N /2, X 2(k =W k NN

11、/2-1r =0x 2(r W rk N /2, k =0, 1, , 2-1. 根据W N 因子的周期特性W r (N /2+k N /2=W rk N /2, 有X 1(2+k =X 1(k ,X 2(2+k =X 2(k . (4 考虑到W k N 的对称性, 可将式(2 改写如下:X (k =X 1(k +W k N X 2(k , X (2+k =X 1(k -W k N X 2(k , k =0, 1, , 2-1, (5k 28福建师范大学学报(自然科学版 2011年序列分解为2点的子序列为止.3频谱分析方法(以256点-FFT 分析第1步:将输入的时域波形数据依据特定的采样率(

12、假设为Fs 赫兹 抽样量化后, 把其中左右声道的波形数据分隔开, 然后分别从左声道和右声道波形数据中选取连续的256个波形数据并保存到左声道缓存和右声道缓存.第2步:不失一般性, 分析左声道缓存的256个波形数据. 将256个波形数据的每一个数据作为傅里叶变换的实部, 并依次在每两个实部之间插入虚部值“0”, 这样得到左声道缓存的256个复数.第3步:将左声道缓存中的时域上的256个复数作为时间抽选奇偶分解快速离散傅里叶变换算法的输入, 经过变换得到了频域上的256个复数并保存到左声道输出缓存中.第4步:根据公式A (k =Re(k +Im(k (k =0, 1, 2, , 255 , 计算左

13、声道输出缓存的256个复数的幅度值并保存到左声道幅度缓存中.第5步:根据公式DB(k =10log 10A (k (k =0, 1, , 255 , 计算每个幅度值对应的分贝(DB 值, 从而可获得256根离散频率线的DB 值. 每根频率线对应的频率可以通过如下公式计算:f (k =Fs *k /256(k =0, 1, , 255.第6步:根据奈荃斯特理论知道准确表示的频谱范围为0, Fs /2. 即能准确表示的频率线范围为f (k =Fs *k /256(k =0, 1, , 127 , 以f (k 为横坐标, DB(k 为纵坐标, 横坐标范围k =0, 1, , 127, 在直角坐标系中

14、描点绘制出127根柱状频谱线图.第7步:对下一个时间周期内的输入的时域波形数据重复第1步到第6步的操作, 直至所有输入的时域信号结束.4实例结果与性能分析以100Hz 和300Hz 正弦波和随机噪声叠加的信号为例, 截取其中一段数据进行分析.信号源向量数据为:xr ig ht256=15724, 5963, 10566, -5873, 12772, 11644, 25465, -3866, 20357, 26956, 23135, 18000, 34314, 20428, 11993, 18948, 14801, 25335, 1561, 1338, 16658, -1113, 9455, 2

15、3564, -4610, 8771, 7266, 4793, 4726, 4813, 6817, 23457, 464, -4812, -1721, -13123, 10605, -10163, -3558, 10337, -4765, 3995, 2789, 1551, 10328, 33231, 23535, 5830, 14266, 26770, 28313, 15983, 2767, 18373, 19276, 33410, 27975, 18312, 1269, 22674, 7295, 2952, 7208, 5313, -8271, 10149, 13110, 163, 1152

16、4, -9564, -15561, -16080, -6263, -15522, 3518, -18523, -12823, -2574, -4046, -6176, -25527, -3914, -25030, -21466, -19816, 3007, -1853, -1981, -7355, -14343, -1919, -5438, 4773, 10259, 4617, -10258, 13662, -34872, 7111, 641, 18042, 4524, -17037, -13620, 21118, 1780, 4582, -8892, -21186, -16446, -203

17、12, -17560, -14117, -23643, -20709, -9037, -19048, -30367, -30730, -12902, -8516, -24199, -35567, 533, -8327, -36613, -29423, -8775, -15565, -20939, 9533, -2165, 9019, 8192, -11218, -6974, -8021, 23752, 15752, 3446, -6975, 2967, 20725, 3759, 11186, 2631, 17566, 17218, 1108, 3248, 28130, -8391, 14573

18、, 17172, 12184, 16067, -2520, 11109, -4449, -6633, -15209, 9046, -4561, 6586, 81, 2844, -8295, -3949, -16965, 2692, 2110, -20482, 8275, -3, 15240, 10330, 10634, 7641, 15571, 34142, -3144, 1335, 3967, 10775, 23829, 44361, 9715, 24660, 9386, 12504, 2658, 16495, 2991, 6612, 10542, 29195, 18975, 10546,

19、5146, 8987, 11267, 14728, -400, -3750, 3423, 4240, 9294, -1022, -10012, 10883, -10217, 10586, -5991, -8655, -4431, -10768, 16803, -31119, 9179, -4021, 1029第4期胡丽莹等:快速傅里叶变换在频谱分析中的应用20490, 14890, 471, 4417, -24941, -7648, -6196, 17551, -9208, -20127, -3003, -17522, -11985, -11828, -12800, -34994, -14923, -27122, -12043, -31284, -27869, -34964.频谱分析结果见图 1.图1频谱分析结果下面衡量本文设计的256点频谱分析方法的运算量和存储空间开销. 这里用乘法和加法的次数来衡量运算量. 经过计算可知, 256点频谱分析需要4096次实数乘法, 需要6144次实数加法, 而存储空间需要256个字长来保存W k 256因子, 其中k =0, 1, , 255. DS

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