中考复习专题五《图形的变换》

1、中考复习专题五图形的变换（一） 对称、平移与旋转【考试内容与要求】考 试 内 容 考试目标要求了解理解掌握灵活运用图形的轴对称1. 图形的轴对称 （1）轴对称的概念 （2）轴对称的基本性质 （3）作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形 （4）简单图形之间的轴对称关系 （5）等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆的轴对称性及相关性质 （6）生活中的轴对称图形、物体的镜面对称 （7）利用轴对称设计图案图形的平移2. 图形的平移 （1）平移的概念 （2）平移的基本性质 （3）作简单平面图形平移后的图形 （4）利用平移进行图案设计 （5）平移在现实生活中的应用图形的旋转3. 图形的旋转 （

2、1）旋转的概念 （2）旋转的基本性质 （3）平行四边形、圆的对称性 （4）作简单平面图形旋转后的图形 （5）旋转在现实生活中的应用 （6）图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合） （7）用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计【基础知识精讲】 1轴对称与轴对称图形 （1）如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴例如：等边三角形、等腰梯形、圆都是轴对称图形，它们分别有3条、1条、无数条对称轴 （2）把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴 （3）轴对称图形（或

3、关于某条直线对称的两个图形）的特征：对应线段相等，对应角相等，连结对称点的线段被对称轴垂直平分 （4）轴对称和轴对称图形的区别是：轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形，对称轴不一定只有一条；而轴对称是指两个图形的位置关系，只有一条对称轴轴对称和轴对称图形的联系是：如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线对称；反之，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形2图形的平移 （1）图形的平行移动，简称为平移，它由移动的方向和距离所决定 （2）平移的特征：平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等；对应角相等；图形的形状与大小都没有发生变化；连结对应点的线

4、段平行且相等 注意：对应线段也可能在同一条直线上，连结对应点的线段也可能在同一条直线上3图形的旋转 （1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定 （2）旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化 （3）在平面内，一个图形绕一个定点转动一个角度(小于周角)后能与自身重合，这样的图形称为旋转对称图形4中心对称与中心对称图形 （1）一个图形绕着中心点旋转180后能与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对

5、称中心例如：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；线段是中心对称图形，对称中心是线段的中点 注意：中心对称图形是旋转角度为180的特殊的旋转对称图形 （2）把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心 （3）成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称 （4）中心对称和中心对称图形的区别：中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形，只对

6、一个图形而言 中心对称和中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形看成一个整体，那么它就是一个中心对称图形过中心对称图形的对称中心任作一条直线，如果把直线两旁的部分看成两个图形，那么，这两个图形成中心对称【经典试题剖析】例1 如图把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（ ） A. B. C. D. 分析：沿虚线剪开后再展开，过程如下：易知，展开后得到的图形是C评注：折纸类问题往往与轴对称相关，折痕是对称轴在解决这类问题时，可以动手试一试，通过操作发现其中的特征和规律例2 下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由 答：图形 ；理由

7、是 ：分析：从图形的对称性来看，图形、均为轴对称图形，而图形不是轴对称图形答案：，图形、均为轴对称图形，而图形不是轴对称图形点评：从不同的图形中去分析它们的异同，一般都是从对称性（轴对称、中心对称、旋转对称）去考虑例3 如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为和，对角线BD、FH都在直线l上O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距当中心O2在直线l上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变（1）计算：O1D ，O2F ；（2）当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2 ；（3）随着中心O2在直线l

8、上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）分析：（1）利用勾股定理可直接求得O1D和O2F的长；（2）当两个正方形有一个公共点时，点D和点F重合，或点H与点B重合，这时，O1O2O1DO2F或O1O2O1BO2H；（3）两个正方形可以有一个交点，两个交点，无数个交点或没有交点解：（1）由勾股定理，得BD，O1D2，同理O2F1（2）当两个正方形有1个公共点时，点D和点F重合，或点H和点B重合O1O2O1DO2F213，或O1O2O1BO2H123，O1O23（3）当1O1O23时，两个正方形有两个公共点；当O1O21时，两个正方形有无

9、数个公共点；当O1O21或O1O23时，两个正方形没有公共点评注：本题是2003年江苏省徐州市的中考题，这是一道开放性试题，要求探索两个正方形的位置关系，从探索过程来看，它和探索两圆的位置关系相类似，所以在复习时要重点掌握定理、法则的来龙去脉，在应用时要注意类比例4 在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角。例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90（1）判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”） 等腰梯形是旋转对称图形，它有

10、一个旋转角为180（ ） 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180（ ） （2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120的是 （写出所有正确结论的序号）：正三角形；正方形；正六边形；正八边形（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72，并且分别满足下列条件：是轴对称图形，但不是中心对称图形： ；既是轴对称图形，又是中心对称图形： 分析：（1）由旋转对称的定义可知，是假命题；是真命题（2）正三角形和正六边形旋转120能与自身重合，所以应填（3）正五边形（或正五角星、正十五边形等）；正十边形（或正二十边形等）评注：本题是2005年南京市中考试题，属于开放探索题

11、主要考查旋转对称的概念、性质，以及阅读理解能力，例5 （1）如图1，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A得到图形B，再由图形B得到图形C（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；（2）如图1，如果点P、P3的坐标分别为（0，0）、（2，1），写出点P2的坐标；（3）图2是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形绕点O顺时针依次旋转90、180、270，依次画出旋转后所得到的图形，你会得到一个美丽的图案，但涂阴影时不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！ 注：方格纸中的小正方形的边长为

12、1个单位长度 图1图2分析：（1）由图形A得到图形B，经过一次平移就可以完成，而从图形B得到图形C，需要经过一次平移和一次旋转才能完成；（2）要求出P2的坐标，必须先建立直角坐标系因为P、P3的坐标分别为（0，0）、（2，1），所以P是坐标原点，因此，以P为坐标原点，向右的方向为x轴的正方向，向上的方向为y轴的正方向建立直角坐标系，可得P2的坐标为（4，4）；（3）先用铅笔试画，要注意每一次旋转的角度，旋转后图形的形状和大小都不改变，还应注意不要涂错了阴影的位置解：（1）将图形A向上平移4个单位长度，得到图形B；将图形B以P1为旋转中心顺时针旋转90，再向右平移4个单位长度得到图形C（或将图形

13、B向右平移4个单位长度，再以P2为旋转中心顺时针旋转90得到图形C）（2）P2（4，4）；（3）如图评注：轴对称、平移和旋转都是图形之间的变换，利用这些变换可以构造出许多精美的图案本单元涉及到的知识点不多，但对动手能力和空间想像力的要求很高，是今后中考命题的一个热点例6 如图a，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE（1）线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论； （2）将图a中的CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，（1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； （3）若将图a中的ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形c（草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； （4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现图a图b图c 分析：在图a和图b中，将BCE绕点C按顺时针方向旋转60后能与ACF重合，都有结论AFBE，并由此猜想在画出的图形c中，该结论仍然成立，进而可归纳出一般的结论解：（1）AFBE证明：在AFC和BEC中，ABC和CEF是等边三角形，ACBC，CFCE，ACFBCE60 AFCBEC AFBE（2）成立 理由：在AFC和BEC中， ABC和CEF是等边三角形， ACBC，CFCE，ACBFCE60 ACBFCBFCEFCB 即ACFBCE. AFCBEC. AFBE（3）此处图形不惟一，