分块矩阵的初等变换及其若干应用_第1页
分块矩阵的初等变换及其若干应用_第2页
分块矩阵的初等变换及其若干应用_第3页
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1、 第1块行左乘-D C加到第 2 块行 1 Em O 故 M 1 O En (A BD 1C 1 D 1C(A BD 1C 1 (A BD 1C 1 BD 1 . 1 1 1 1 1 D C(A BD C BD + D ( A BD 1C 1 = 1 1 1 D C ( A BD C . D 1C ( A BD 1C 1 BD 1 + D 1 ( A BD 1C 1 BD 1 例 设 A, B 是 n 阶方阵.用分块矩阵理论证明 | AB |=| A | B | . A O 证明 考虑分块矩阵 . 对该分块矩阵进行分块矩阵的初等变换： E B A O 第 2块行左乘A加到第1块行 O E B

2、E E 于是 O A A O O E B = E E AB E . 记 Pij = B O AB . B Fij , 其中 Fij 是 (i, j 元素为 aij , E A O 而其余元素均为零的 n 阶方阵.则 Pij 是初等矩阵,且用 Pij 左乘矩阵 就相 E B A O E 当于将 的第 n + j 行乘上 aij 加到第 i 行.容易验证 P 11 P 12 " P nn = E B O 于是 E O A A O A O A O = = P =| A | B | . 11 P 12 " P nn E E B E B E B A . E 另一方面, 有 O E 故

3、结论成立. a11 " a1k 例 设 A = (aij n×n ,且对任意 1 k n, 有 # # 0. 则存在 n 阶下三角形矩 ak 1 " akk AB O 2 AB 2 2 =( n = ( 1 n | AB | E |= ( 1 n + n | AB | = | AB | . B B E 阵 B 使得 BA 为上三角形矩阵. 证明 对 n 用数学归纳法. 当 n = 1 时结论显然成立. 设命题对于 n 1 阶矩阵成 立. 考虑 n 阶矩阵 A = (aij n×n 的情形. 记 6 a11 " a1,n 1 # . A1 = # a n 1,1 " an 1,n 1 由归纳假设,存在 n 1 阶下三角矩阵 B1 使得 B1 A1 为上三角形矩阵. 对 A 作如下 A 分块 A = 1 并对其进行初等行变换: ann A1 1 A 第1块行左乘- A1 加到第 2 块行 1 ann O . A + ann 1 1 O A1 E 这表明 1 1 A1 A = 1 ann O . 于是 A + ann 1 1 O A1 B1 O E O 1 A1 1 1 B O A1 = 1 O 1 O 1 1 ann B1 B1 A1 = 1 A + ann O A1 + ann 是上三角形矩阵.记 O B1

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