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文档简介

1、三角函数式的恒等变换三角函数式的恒等变换是解答三角函数问题的方法基础。所谓三角函数的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角函数式化为另一等价形式。把三角函数式简化是实施恒等变换的主要目的，三角函数式化简的常用方法是：一般采用异角化同角，复角化单角，异次化同次，特殊值和特殊角的三角函数值互化，切割化弦，弦化切等。化简的结果要求：项数尽量少、次数尽量低，函数的种类尽量少，能求值的必须求函数值，数值结果也要化为最简形式。 例1已知tgx=a, 求的值。 分析：将用tgx表示。为此，先将原式化为角x的函数。 解： 同理可得3cosx+cos3x=4cos3x, 例2函数y=2sinxsin2x的

2、最大值是（）。 A、B、C、D、 解：注意到y的最大值应为cosx>0时取得。 当且仅当sin2x=2cos2x 即时等号成立。故选B。 例3求函数 的最小值。 解：sin3xsin3x+cos3xcos3x , 当 时， 。 例4已知A，B，C都是锐角，且 。 求证：A+B+C=p。 分析：， A，B，C均为锐角， 也为锐角。 只需证明同名的三角函数值相等即可。 证明：由有 ， ， 移项整理得 A、B、C均为锐角， ， 则 ， A、B、C均为锐角， ， ，即A+B+C=p。 评注：本例是已知函数关系，推出角的关系。证明这类问题，常由给出的条件等式，导出含有特征角的一个同名三角函数等式，并根据角的取值范围利用函数单调性，证明角的关系式。 例5在ABC中，若 （1）判断ABC的形状；（2）求证： 。 证明：（1）由已知及A+B+C=p得 ， sinBsin(B+C)-sinBsin(B-C)=cosBcos(B-C) 即sinBsin(B+C)=cosB-(B-C)=cosC。又cosC=cos(B+C)-B=cos(B+C)cosB+sin(B+C)sinB, cos(B+C)cosB=0。 又由条件知且BÎ(0,p)，则cosB0，cos(B+C)=0，而B+C(0,p)， , ABC为以A为直角顶点的直角三角形。 （2）由（1）知，设ABC外接圆半

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