结构动力学振动分析的矩阵迭代法

1、2015200049学院：土木工程学院班级：学硕结构一班姓名：张桂斌学号：2015200049振动分析的矩阵迭代法（克拉夫书-第13章） 1.引言 结构动力学求解实际问题的数学模型，从几个自由度的体系，到几百甚至几千个自由度的有限元模型，其中可能多达五十到一百个振型对反应有不可忽略的影响。为有效地处理这些实际问题，需要较行列式求解方法更有效的振动分析方法。 问题如何获得结构的无阻尼振型？ Stodola法以迭代为基础，先假设初始振型并迭代调整至实际振型的适当近似，再由运动方程确定震动频率。2.基本（第一）振型分析这个方法列式的起点是无阻尼自由振动方程（11-33）：nnnmk2nnmfn2（1

2、3-1）nfkn1（13-2）nnnmk12（13-3）mk1D（动力矩阵） （13-4）nnnD2（13-5） 先假定试探位移向量 ，使它尽可能接近第一振型的形状，而振幅是任意的。即：）0（1）0（12）1（1Dn（13-5a）下标“1”表示第一振型，上标“（1）”表示第一次迭代的结果。）0（1）1（1D 振型幅值依赖于未知频率，但在迭代过程中只需要振型形状，省去频率后的改进形状表示为：（13-7）该向量除以向量中最大的元素 来进行规格化，得到改进的迭代向量：）（max）1（1）（max）1（1）1（1）1（1（13-8）设 k 为向量中任一自由度，频率近似值为：)1(1)0(121kk （

3、13-9） 一般来说，所得的 和 是不一样的，在这种情形下，真正的第一振型频率介于式（13-9）求得的最大值与最小值之间：)1(1)0(1max)1(1)0(121min)1(1)0(1kkkk（13-10） 把质量分布作为一个加权系数，取平均值求频率的近似值。)1(1T）1（1)0(1T)1(121mm （13-11）当迭代过程收敛，s 次循环后的频率为：）（max1）（max）（max）（1）（1）1（121sss（13-13）克拉夫书P205例题E13-1 通过计算图E11-1的三层建筑框架的第一振型和频率来说明矩阵迭代法。虽然用例题E11-1中导得的刚度矩阵求逆可以很容易求得该结构的柔

4、度矩阵，但是为了说明柔度矩阵的求法，这里对每一个自由度相继施加单位荷载进行推导。根据定义，由这些单位荷载所产生的位移表示柔度影响系数。该结构柔度矩阵为：动力矩阵为：kipsin/2222552511360011k kf f243245.7545.71136001sm mf fD D用如下所示的表格形式表示迭代过程：00.950.1650.2211143245.7545.71136001D D）0（1）1（1287.5320.0296.11669.0296.17000.180.5400.010.12733.010.18000.1）1（1）2（1）3（1）2（1）3（1）4（1）5（1）4（115

5、9.5303.0082.11650.0082.17000.1182.5306.0121.11653.0121.17000.1四次迭代以后，形状已收敛到足够的精度。按式（13-13）求第一振型频率：srad/52.1477.210082.173600/1000.1）（max）（max1）5（1）4（1213.收敛性的证明最初假定的形状可用正规坐标表示为）0（33）0（22）0（11)0(）0（1YYY（13-14）第一振动频率的振动形状所对应的惯性力为)0(21)0(121)0(mmf（13-15）231）0（33221）0（2222）0（1211)0()()(mYYYf记 ，展开得21221)

6、/(nn（13-16）由这些惯性力产生的挠度为231）0（33221）0（2222）0（12111)0(1）1（1)()(mYYYkfk或21)0(21n）1（1)(nnnNYn nD D（13-17）n nn nD D2n（13-18）将其代入式（13-17）得21)0(1n）1（1)(nnNYn n（13-19）（max)(）（max)1(121)0(1n)1(1)1(1）1（1nnNYn n（13-20） 用最大的基准元素 去除 ，使之规格化，从而得到最后改进的第一次迭代循环的形状 ，因此)max()1(1)1(1)1(1 用同样的方法做下一次迭代循环得到第二次循环产生的形状）（max)

7、(）（max)2(141)0(1n)2(1)2(1）2（1nnNYn n（13-21）sssssYY221）0（22）0（11)(1)(1)(1）（1)(）（max1）（max（13-22） 按此方式继续进行，经过s次循环后得到结果ss2312211 最终结果可视为1)0(11)0(11）（1）（maxYYs证毕！（13-23）（13-24）4.高阶振型分析第二振型分析假设任意第二振型）0（）0（2前乘 ，导得）0（22T1）0（11T1）0（2T1YYm mm mm mm mT1由于振型的正交特性，第一振型分量幅值为1）0（2T1）0（1YMm m（13-25）（13-26）（13-27）不包含第一振型的试探形状为)0(11）0（2）0（2-Y（13-28） 在试探向量中消除第一振型分量的方便方法是应用滤型矩阵)0(21)0(2T111）0（2）0（2M1-S Sm m1S S（13-29）其中m mS ST1111M1-（13-30）在这种情况下，式（13-5）可以写成）0（2）1（2221D D（13-31）将式（13-29）代入式（13-31），得到）0（22）0（21）1（2221D DD DS S（13-32）其中12D DS SD D （13-33）此时，可用下式近似计算频率)1(2）1（2)0(2T）1（222）（m mm m （13-34）式中）0（2