第二章波函数和薛定谔方程

1、第二章第二章 波函数与波函数与薛定谔方程薛定谔方程 这一章主要介绍量子力学的基本理论与方法。 1. 二个基本假设： A. 微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。 B. 描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。 2. 用定态薛定谔方程求解三个简单问题： A. 一维无限深势阱 B. 一维谐振子 C. 势垒贯穿（隧道效应）一、波函数的统计解释二、态迭加原理三、 薛定谔方程四、 定态薛定谔方程五、粒子流密度和粒子数守恒六、 一维无限深势阱七、 线性谐振子八、 势垒贯穿（隧道效应）一、波函数的统计解释一、波函数的统计解释1.1.波函数的提出波函数的提出 2.2. 波函数的统计解释波函数的统计解

2、释 3.3. 波函数的性质波函数的性质 )(expEtrpiA),(tr 如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，它的中运动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，所以所以波函数波函数记为：记为：回想描述自由粒子的波函数：回想描述自由粒子的波函数：1. 1. 波函数的提出波函数的提出问题问题1：微观粒子具有波粒二象性，那么该如何描述这种波粒二象性呢？：微观粒子具有波粒二象性，那么该如何描述这种波粒二象性呢？(2

3、) (2) 如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3) (3) 描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？(1) (1) 是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？2. 2. 波函数的统计解释波函数的统计解释问题问题2：这个波函数又如何解释呢？：这个波函数又如何解释呢？1 1）两种错误的看法）两种错误的看法(1)(1)波由粒子组成波由粒子组成即：波是由粒子组成，波的衍射即：波是由粒子组成，波的衍射就应该是由组成波的这些粒子的就应该是由组成波的这些粒子的相互作用而形成的相互作用而形成的.若让粒子一个一个地从电子源发出，粒子间就无相互作用产生，应无衍射现若让粒子一个一个地从电子源发

4、出，粒子间就无相互作用产生，应无衍射现象。象。但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明：但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明：单个单个电子就具有波动性。电子就具有波动性。 波由粒子组成的看法波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。了粒子的波动性的一面，具有片面性。O（2 2） 粒子由波组成粒子由波组成 即电子是波包。即电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和

5、衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。动速度。 什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原实验上观测到

6、的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小子内，其广延不会超过原子大小1 1 。 l结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。电子在许多次相同实验中的统计结果。 l波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，础上，Born Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。 r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近

7、感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几率。点附近的几率。再次观察在电子衍射实验中再次观察在电子衍射实验中，照相底片上照相底片上 （1 1）统计解释）统计解释 据此，据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一种统计规律性，波函数动的一种统计规律性，波函数(r)(r)有时也称为几率幅。有时也称为几率幅。 这就是首先由这就是首先由 BornBorn 提出的提出的波函数的几率解释波函数的几率解释，它是，它是量子量子力学的基本

8、原理力学的基本原理。（2 2）物理意义）物理意义 波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到 粒子的几率成比例。粒子的几率成比例。 |(r)|(r)|2 2的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r r 点附近几率的大小，点附近几率的大小， |(r)|(r)|2 2xyz xyz 表示在表示在 r r 点处，体积元点处，体积元xyzxyz中找到中找到粒子的几率。粒子的几率。2 2）波函数的统计解释）波函数的统计解释3 3）与经典概念的比较）与经典概念的比较形式出现只是以一种几率分布的无确定轨道定论微观粒子不遵循经典决沿确定

9、轨道运动论经典认为遵循经典决定不同点电荷等属性的客体即是具有一定质量颗粒性共同点粒子性,:,:描述的只是一种几率波存在这样的物理量量子力学中的物质波不期性变化物理量的空间分布作周经典波是指某种实在的不同点具有相干迭加性遵循波动规律共同点波动性,:,:3. 3. 波函数的性质波函数的性质a.a.几率几率： 在在t t时刻，时刻，r r点，点，d=dxdydz d=dxdydz 体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数(r,t)(r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是： d W( r, t) = C| (r,t)|d W( r, t) = C| (r,t)|2 2 d d， 其中，其中，C

10、 C是比例系数。是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：1 1）几率和几率密度）几率和几率密度b.b.几率密度几率密度 在在t t时刻时刻r r点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是： (r,t)=dW(r,t)/d=C|(r,t)|(r,t)=dW(r,t)/d=C|(r,t)|2 2 称为几率密度。称为几率密度。c.c.体积体积 V V内的几率内的几率 在在t t时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为： W(t)=W(t)=V VdW =(r,t)d= CdW =(r,t)d= CV V | (r,t)

11、| | (r,t)|2 2 d d（2 2）归一化）归一化注注: : 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 2 倍），则相应的波倍），则相应的波动能量将为原来的动能量将为原来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。化问题。 (r, t) 和和 C (r ,t) 描述的是同一状态描述的是同一状态, , C 是常数。是常数。因为在因为在 t t 时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r r1 1 和和 r r2 2 处找到粒子的相对几率之比是：处找到粒子的相对几率之比是： 由于粒

12、子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即描述同描述同一状态。一状态。221221),(),(),(),(trtrtrCtrC a) a) 波函数的性质波函数的性质b) b) 归一化常数归一化常数由于粒子在全空间出现的几率等于一由于粒子在全空间出现的几率等于一. .所以所以, ,可令

13、可令 |A (r , t )| |A (r , t )|2 2 d= 1 d= 1 其中其中A A即为归一化常数即为归一化常数. .l注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。 若若(r,t)(r,t)是归一化波函数，那末，是归一化波函数，那末，expi (r , t ) 也也是归一化波函数（其中是归一化波函数（其中是实数），与前者描述同一几率波。是实数），与前者描述同一几率波。.是单值、有限、连续的 波函数的标准条件波函数的标准条件（c c）可归一化的条件）可归一化的条件由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），由于粒子在空间总

14、要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： CC | (r , t)| | (r , t)|2 2 d= 1 d= 1, , 原因原因: :若不如此若不如此, ,那么那么|(r,t)|(r,t)|2 2dd, , 则则 C C 0, 0, 这是没有意义的。这是没有意义的。 )(exp),(EtrpiAtr例：自由粒子波函数例：自由粒子波函数 不满足平方可积条件不满足平方可积条件.(其归一化问题另行讨论其归一化问题另行讨论)这就要求描写粒子量子状态的波函数这就要求描写粒子量子状态的波函数必须是绝对值平方可积必须是绝对值平方可积

15、的函数。的函数。二、二、 态叠加态叠加原理1.1.态叠加原理态叠加原理 2.2.动量空间的波函数表示动量空间的波函数表示l经典物理中，声波和光波都遵从迭加原理：经典物理中，声波和光波都遵从迭加原理： 二列经典波二列经典波1 1与与2 2线性相加，线性相加，=a=a1 1+b+b2 2, , 相加后的相加后的也是一列波，波的干涉、衍射就是也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以说明的。用波的迭加原理加以说明的。l对于量子力学，对于量子力学， 微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于干涉和衍射的本质在于波的叠加性。波的叠加性。因此，同

16、因此，同光学中波的叠加原理一样，光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在量子力学中也存在波叠加原理波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理态叠加原理。1.态叠加原理态叠加原理考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射 电子经过双缝后在屏上产生电子经过双缝后在屏上产生了衍射花纹，分析原因：了衍射花纹，分析原因：所以：所以：= C= C1 11 1 + C + C2 22 2在屏上找到电子的几率则是：在屏上找到电子的几率则是： |2 2

17、= |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 = (C = (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) = |C = |C1 1 1 1| |2 2+ |C+ |C2 22 2| |2 2 + C + C1 1* *C C2 21 1* *2 2 + C + C1 1C C2 2* *1 12 2* * P1 12 2S1S2电子源电子源感感光光屏屏电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度相干项相干项 正是由于相干

18、项的出现，正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。才产生了衍射花纹。1 1表示穿过上狭缝到屏的状态表示穿过上狭缝到屏的状态2 2表示穿过下狭缝到屏的状态表示穿过下狭缝到屏的状态表示穿过两个缝到屏的状态，表示穿过两个缝到屏的状态，是这两种状态的叠加。是这两种状态的叠加。v其中其中C C1 1 和和 C C2 2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。态叠加原理一般表述：态叠加原理一般表述： 若若1 1 ，2 2 ,., ,., n n ,.,.是体系的一系列可能的状态是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加，则这些态的线性叠加 = C11 + C22 +

19、 .+ Cnn + . ( (其中其中 C C1 1 , C , C2 2 ,.,C,.,Cn n ,.,.为复常数为复常数) )。 也是体系的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。 处于处于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1 1态，部分的处于态，部分的处于2 2态态.，部，部分的处于分的处于n n，.一般情况下，如果一般情况下，如果1 1和和2 2 是体系的可能状态，那末它们的是体系的可能状态，那末它们的线性叠加线性叠加= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是该体系的一个可能状态也是该体系的一个可能状态. . )(expEtrpiAp了了求求和和。所所以以后后式式

20、应应用用积积分分代代替替是是连连续续变变化化的的，由由于于其其中中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppp ),()(),(),()(),(电子在晶体表面反射后，电子可电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量能以各种不同的动量 p p 运动。具运动。具有确定动量的运动状态用有确定动量的运动状态用dedeBroglie Broglie 平面波表示平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示可表示成成 p p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。

21、而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。 dp p2.2.动量空间的波函数动量空间的波函数exp21)(2/3rpirp ）（ 证明证明1 1：波函数：波函数 (r,t) (r,t) 可用各种不同动量的平面波表示。可用各种不同动量的平面波表示。rdtrrtpcp),()(),( 同同描描述述方方式式。是是同同一一量量子子态态的的两两种种不不一一一一对对应应，与与所所以以的的。变变换换式式，故故而而总总是是成成立立显显然然，二二式式互互为为),(),(tpctrFourier 其中：其中：pdrtpctrp)(),(),( 则则可按可按p 展开：展开：dxdydzrpitrexp),(212/3

22、 ）（ zyxdpdpdprpitpcexp),()2(12/3 证：证：证明证明2 2：若：若 (r,t)已归一化，则已归一化，则 C(p, t)也是归一化的。也是归一化的。pdtpctpcpdtpc),(),(| ),(|2 证证明明：pdrdrtrrdrtrpp ) (), ()(),( pdrrrdrdtrtrpp) ()(), (),( ) (), (),(rrrdrdtrtr 1),(),(rdtrtr函函数数的的目目的的。平平面面波波归归一一化化为为由由此此我我们们也也可可以以看看出出把把关关系系式式其其中中使使用用了了 ) () ()(rrpdrrpp体体积积元元内内的的几几率

23、率；点点附附近近时时刻刻粒粒子子出出现现在在rdrtrdtrtrdW 2|),(|),(具具有有类类似似的的物物理理含含义义与与),(),(trtrc 体体积积元元内内的的几几率率。点点附附近近时时刻刻粒粒子子出出现现在在动动量量pdptpdtrctpdW 2|),(|),(l结论：结论：1 1） (r,t) (r,t)是以坐标是以坐标 r r 为自变量的波函数，为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标空间波函数，坐标表象坐标表象波函数；波函数； 2 2）C(pC(p, t), t) 是以动量是以动量 p p 为自变量的波函数，为自变量的波函数，动量空间波函数，动量空间波函数，动量表象动量表象波

24、函数；波函数； 3 3）二者描写同一量子状态。）二者描写同一量子状态。三、三、 Schrodinger Schrodinger 方程方程1.1.引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑 2.2.自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程 3.3.势场势场V(r)V(r)中运动的粒子中运动的粒子 4.4.多粒子体系的多粒子体系的SchrodingerSchrodinger方程方程这些问题在这些问题在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了波动方程之后得提出了波动方程之后得到了圆满解决。到了圆满解决。1)1)引入的原因：引入的原因： 微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数

25、确微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：就是要解决以下两个问题：(1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数； (2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。1.1.引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑 注：是量子力学的基本假设

26、之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。注：是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。2)2)薛定谔方程建立应遵从的条件：薛定谔方程建立应遵从的条件：(3)(3)方程不能包含状态参量，如方程不能包含状态参量，如 p, E等等 否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。种可能的状态所满足。(1)(1)只能含只能含对时间的一阶导数对时间的一阶导数 因为只知道因为只知道t=t0 时刻的初态是时刻的初态是(r,t0) ，且这样一个初条，且这样一个初条 件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程。件，所以

27、，描写粒子状态的波函数所满足的方程。(2)(2)方程应为线性方程方程应为线性方程 另一方面，另一方面，要满足态叠加原理，即，若要满足态叠加原理，即，若1( r, t ) 和和 2( r, t )是方程的解，那末：是方程的解，那末： ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方 程中只能包含程中只能包含, 对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一 次项，不能含它们的平方或开方项。次项，不能含它们的平方或开方项。 简单简单复杂，复杂， 特

28、殊特殊一般一般 (1) 先由自由粒子波函数入手，建立自由粒子满足先由自由粒子波函数入手，建立自由粒子满足 的薛定谔方程。的薛定谔方程。 (2) 推广到一般情况，建立在任意势场中运动的粒推广到一般情况，建立在任意势场中运动的粒 子满足的薛定谔方程。子满足的薛定谔方程。3)3)薛定谔方程建立的基本思路：薛定谔方程建立的基本思路：2.2.自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E E 。）（1 EtiEit )(expEtrpiA自由粒子波函数为：自由粒子波函数为：应是所要建立的方程的解。应是所要建立的方程的解。(1) (

29、1) 将上式对将上式对 t t 微商，得：微商，得：， 2222)(xxEtzpypxpipxpiAexxzyx 12222222222zyxpppzyx 22222222zypzpy同同理理有有)2(221222222 pp或或（2 2）将）将对坐标二次微商，得：对坐标二次微商，得：（3 3）算符：）算符： 22224ppipptiE）（）（所所以以3222 ti（2 2）自由粒子满足的薛定谔方程：）自由粒子满足的薛定谔方程：因自由粒子的能量关系为：因自由粒子的能量关系为：E = pE = p2 2/2/2由上面的过程可看到，下列物理量可由相应的算符来替换由上面的过程可看到，下列物理量可由相

30、应的算符来替换3.3.势场势场V(r)V(r)中运动的粒子的薛定谔方程中运动的粒子的薛定谔方程v该方程称为该方程称为 Schrodinger Schrodinger 方程，也常称为波动方程。方程，也常称为波动方程。),(),()(2),(22trHtrrVtrti若粒子处于势场若粒子处于势场 V(r)V(r) 中运动，则能动量关系变为：中运动，则能动量关系变为：HrVpE )(22 )(22rVpE 做（做（4 4）式的算符替换得：）式的算符替换得：将其作用于波函数得：将其作用于波函数得：H为哈密顿为哈密顿算符算符4.4.多粒子体系的多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger

31、 方程方程设体系由设体系由 N N 个粒子组成，个粒子组成， l质量分别为质量分别为 i (i = 1, 2,., N) l体系波函数记为体系波函数记为 ( r1, r2, ., rN ; t) l第第i i个粒子所受到的外场个粒子所受到的外场 Ui(ri) l粒子间的相互作用粒子间的相互作用 V(r1, r2, ., rN) l则多粒子体系的则多粒子体系的 Schrodinger 方程可表示为：方程可表示为：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN （1 1）薛定谔方程）薛定谔方程(2)(2)多粒子体系多粒子体系 Hamilton Ha

32、milton 量量 ZjijiZrrerrrV|),(221iiirZerU2)( 对有对有 Z Z 个电子的原子，电子间相互作用为个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb Coulomb 排斥作用：排斥作用：而原子核对第而原子核对第 i i 个电子的个电子的 Coulomb Coulomb 吸引能为：吸引能为：假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。 NiNiiiirrrVrUH12122),()(2 (3)(3)例：例：四、定态四、定态SchrodingerSchrodinger方程方程1 1 定态定态SchrodingerSchrodin

33、ger方程方程 2 Hamilton2 Hamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程 3 3 求解定态问题的步骤求解定态问题的步骤 1.1.定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程),()(2),(22trrVtrti )()(),(tfrtr 现在让我们讨论势能场现在让我们讨论势能场V(r)V(r)与与t t无关的情况：无关的情况：E )(2)(1)()(122rVrtfdtdtfi 等式两边是相互无关的物理量，故等式两边是相互无关的物理量，故应等于与应等于与 t, r t, r 无关的常数无关的常数分离变量分离变量带入薛定谔方程，并两边同除带入薛定谔方程，并

34、两边同除)()(tfr可分离为两个方程：可分离为两个方程： )()(2)()(22rErVtEftfdtdi Etiertr )(),( 于是：于是：/)(iEtetf 此波函数与时间此波函数与时间t t的关系是正弦型的，其角频的关系是正弦型的，其角频率率=2E/h=2E/h。 由由de Brogliede Broglie关系可知：关系可知： E E 就就是体系处于波函数是体系处于波函数(r,t)(r,t)所描写的状态时的能量。所描写的状态时的能量。也就是说，此时也就是说，此时体系能量有确定的值体系能量有确定的值，所以这种状态所以这种状态称为定态，称为定态，波函数波函数(r,t)(r,t)称为

35、定态波函数。称为定态波函数。该方程称为该方程称为定态定态 Schrodinger Schrodinger 方程方程，(r)(r)也可称为也可称为定态波函数，或可看作是定态波函数，或可看作是t=0t=0时刻时刻(r,0)(r,0)的定态波函的定态波函数。数。)()(222rErV 空间波函数空间波函数(r)(r)可由方程可由方程和具体问题和具体问题(r)(r)应满足的边界条件得出。应满足的边界条件得出。2.2.Hamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程（1 1）Hamilton 算符算符算算符符。亦亦称称量量，称称为为与与经经典典力力学学相相同同，HamiltonHamiltonH

36、 EVEti22 二方程的特点：二方程的特点：都是以一个算符作用于都是以一个算符作用于(r,t)(r,t)等于等于E(r,t)E(r,t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。 HVti222 即：作用于任一波函数即：作用于任一波函数上的二算符，上的二算符，是相当的。这两个算符是相当的。这两个算符都称为能量算符。都称为能量算符。/expiEt定态波函数定态波函数满足：满足：（2 2）能量本征值方程）能量本征值方程（a a）一个算符作用于函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物）一个算符作用于函数上得到一个常数乘以该函数这

37、与数学物 理方法中的本征值方程相似。理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：数学物理方法中：微分方程微分方程 + + 边界条件构成本征值问题边界条件构成本征值问题； EH EV 22 将将改写成改写成（b b）量子力学中：）量子力学中： 波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界 条件，称为条件，称为波函数的自然边界条件波函数的自然边界条件。 因此在量子力学中称与上述方程为束缚的本征值方程。因此在量子力学中称与上述方程为束缚的本征值方程。 常量常量 E E 称为称为算符算符 H H 的的本征值本征值； 称为称为算符算符 H H 的的

38、本征函数本征函数。 （c c）本征态时能量的取值：）本征态时能量的取值： 当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本能量本 征态征态）时，粒子能量有确定的数值，即为本征值。）时，粒子能量有确定的数值，即为本征值。3.3.求解定态问题的步骤求解定态问题的步骤)()(222rErV ,2121nnEEE ，本本征征函函数数本本征征值值：/exp)(),(tiErtrnnn 1| )(|2 drCnn（1 1）列出定态）列出定态 SchrodingerSchrodinger方程方程（2 2）根据标准条件求解能量）根据标准条件求解能量 E E 的本征

39、值问题，得：的本征值问题，得： （3 3）求出定态波函数）求出定态波函数（4 4）通过归一化确定归一化系数）通过归一化确定归一化系数 C Cn n五、粒子流密度和粒子数守恒定律五、粒子流密度和粒子数守恒定律 本节要引入几率流密度概念，有本节要引入几率流密度概念，有了它就可以把几率与电流联系起来。了它就可以把几率与电流联系起来。 由薛定谔方程出发，讨论粒子在由薛定谔方程出发，讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。所以可以看作对薛定谔方时间变化。所以可以看作对薛定谔方程的讨论。程的讨论。v 1.定域几率守恒定域几率守恒 v 2.再论波函数的性质再论波函

40、数的性质1. 1. 定域几率守恒定域几率守恒 考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即的几率总和应不随时间改变，即2|),(|),(),(),(trtrtrtr 0),( dtrdtd 在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，进一步讨论在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在 t t

41、时刻时刻 r r 点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：证：证：考虑考虑 Schrodinger Schrodinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式：)5(222 Vti )6(222 Vti 式式得得：将将)6()5( 2222 titi22 ）（ti在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有：中将上式积分，则有： diddtd2 ）（7 7）式表明体积）式表明体积中中找到粒子的几率在单位时间内的增找到粒子的几率在单位时间内的增量量“=”J=”J在在边界面上法向分量的面积分。边界面上法向分量的面积分。J J是几率流密度，是是几率流密度，是

42、一矢量。一矢量。让积分对全空间进行，考虑到波函数在无穷远处为零，则式右面让积分对全空间进行，考虑到波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是积分趋于零，于是 Eq.Eq.（7 7）变为：）变为： 0),( dtrdtd0 Jt 其微分形式与其微分形式与流体力学中连流体力学中连续性方程的形续性方程的形式相同式相同 dJdtrdtd ),(的的表表面面。是是体体积积）（ StrSdJdtrdtdS ),(7),(使用使用 Gauss Gauss 定理，可得：定理，可得：2 iJSdS 表明，波函数归一化不随表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。

43、粒子既未产生也未消灭。2 2）讨论：）讨论：（1 1）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必 然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来 实现这种变化。实现这种变化。0 Jt（2 2）量子力学的质量守恒定律）量子力学的质量守恒定律（3 3）同理可得量子力学的电荷守恒定律：）同理可得量子力学的电荷守恒定律：0 eeJt 表明电荷总量表明电荷总量不随时间改变不随时间改变 )(2| ),(|2iJJtr 质量密度和质量流密度矢量质量密度和质量流密度矢量 )(2| ),

44、(|2 ieJeJtreeee电荷密度电荷密度 和电流密度矢量和电流密度矢量2.2.再论波函数的性质再论波函数的性质(1) 由由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知 道了粒子在空间的几率分布，即道了粒子在空间的几率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|2 d (2) 已知已知 (r, t)， 则描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所则描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。以波函数又称为状态波函数或态函数。 (3)知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由知道体系所受力场和相互作

45、用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。方程即可确定以后时刻的状态。1 1）波函数完全描述粒子的状态）波函数完全描述粒子的状态 由于积分区域由于积分区域是任选的，所以是任选的，所以S S是任意闭合面。要使积分有意是任意闭合面。要使积分有意义，义，必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。且其一阶导数亦连续。 总之，波函数应满足总之，波函数应满足单值、有限、连续单值、有限、连续，称为标准条件。，称为标准条件。SdidtrdtdS2),( (2)连续性连续性 根据粒子数守恒定律根

46、据粒子数守恒定律 :2 2）波函数标准条件）波函数标准条件(1)单值性、有限性单值性、有限性 (r, t) = *(r, t) (r, t)是粒子在是粒子在t时刻出现在时刻出现在 r点的几率，这是一个点的几率，这是一个确定的数，所以要求确定的数，所以要求(r, t)应是应是 r, t的单值函数且有限。的单值函数且有限。3 3）定态波函数的性质）定态波函数的性质 （2 2）几率密度与时间无关）几率密度与时间无关nnntr ),( 2),(nnnnnitrJ （1 1）粒子在空间几率密度与时间无关）粒子在空间几率密度与时间无关)/exp()/exp(tiEtiEnnnn )/exp()/exp(t

47、iEtiEnnnn )()(rrnn )/exp()/exp()/exp()/exp(2tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn )()()()(2rrrrinnnn )( rJn V(x) -a 0 a1.1.对应的物理问题对应的物理问题 一维问题的实际背景是平面型固体器件例如一维问题的实际背景是平面型固体器件例如“超晶格超晶格”，以及从高维问题约化下来的一维问题。以及从高维问题约化下来的一维问题。一维无限深势阱的势能函数是：一维无限深势阱的势能函数是： 六、一维无限深势阱六、一维无限深势阱阱外阱内axaxoxV)(2.2.势能函数势能函数 在势阱内，满足方程在势阱内，满足方程: : )(

48、0)(2222axaxEdxdEk2那么方程变成：那么方程变成： ddxkx2220( ).一般解是：一般解是： ( )cossin.()xAkxBkxaxa 1 1）列方程并写出解）列方程并写出解在势阱外，必有：在势阱外，必有： ox)(|x|a3.3.求解求解2 2）由标准条件求解能量：）由标准条件求解能量： 在在 x=x=a a ，波函数应具有连续性。所以现在，波函数应具有连续性。所以现在AkaBkaxaAkaBkaxacossin,(at)cossin,(at) 00因而，因而，AkaBkacos,sin.00knan(),(, , ,)1201 2()cos.xAnxa12 (2)

49、(2) 所以，所以，Aka00,sinknan,(, , ,)123()sin.xBnxa有两种情形的解：有两种情形的解： , 0cos, 0kaB所以，所以，（1 1）二者合起来可写为：二者合起来可写为：knann2123,(, , ,)Eann22228,nnxAnaxa( )sin().2波函数的归一化是：波函数的归一化是：1|)(|2dxxaa Aan1,（与（与n n无关）无关）最后，波函数是：最后，波函数是： nxanaxa( )sin().123 3）由归一化求归一化常数：）由归一化求归一化常数： -a 0 a 图 8 -a 0 a 图 9 x1 x2 x3 x4 23x3n 2

50、2x2n 21x1n4n 24x4 4）波函数与几率分布图）波函数与几率分布图 a) a)空间反演算符定义：空间反演算符定义： 其中其中P P为空间反演算符。为空间反演算符。 宇称定义：宇称定义： 则称波函数则称波函数（r,tr,t）具有宇称。）具有宇称。 在一维情况下，宇称的奇偶性与函数的奇偶性是一致的。在一维情况下，宇称的奇偶性与函数的奇偶性是一致的。)t ,r()t ,r(P )t ,r()t ,r()t ,r(P .),t ,r()t ,r(;),t ,r()t ,r(称称为为奇奇宇宇称称若若称称为为偶偶宇宇称称若若 5 5）宇称）宇称b) b) 若一维势能是对称的，即若一维势能是对称

51、的，即V V（x x）=V(-x), =V(-x), 则其波函则其波函数一定具有宇称。数一定具有宇称。 例如，一维无限深势阱，势阱坐标为例如，一维无限深势阱，势阱坐标为-aa, -aa, 势能是势能是对称的，则其波函数具有宇称，对称的，则其波函数具有宇称， n=n=偶数，奇宇称；偶数，奇宇称； 阱阱外外阱阱内内02,xansinAn n=n=奇数，偶宇称。奇数，偶宇称。 宇称是一个十分重要的物理概念。传统认为高能物宇称是一个十分重要的物理概念。传统认为高能物理中某一物理过程宇称是守恒的。杨振宁与李政道发现理中某一物理过程宇称是守恒的。杨振宁与李政道发现了弱作用下宇称不守恒，并被吴健雄所做实验证

52、实，从了弱作用下宇称不守恒，并被吴健雄所做实验证实，从而获诺贝尔物理奖。而获诺贝尔物理奖。 阱阱外外阱阱内内02,xancosBn1.1.一维量子谐振子问题一维量子谐振子问题 这里，含这里，含V (0) V (0) 的一次项由于平衡位置的一次项由于平衡位置V (0)=0V (0)=0而消失，而消失， 在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它是物体在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见问题的普遍概在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振子问题也是个基本的括。在

53、量子力学中，情况很类似。一维量子谐振子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子在势场稳定平衡位置附问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。近作小振动一类常见问题的普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。 众所周知，当粒子在势场的平衡位置附近作小振动时，势场众所周知，当粒子在势场的平衡位置附近作小振动时，势场V(x) V(x) 总可作泰勒展开并只取到最低阶不为零的项。设平衡位置总可作泰勒展开并只取到最低阶不为零的项。设平衡位置x0=0 x0=0，并选，并选取能量尺度的原点使取能量尺度的原点使V V（0

54、 0）=0=0，则，则221)0()(xVxV七、一维谐振子七、一维谐振子这类问题的物理例子比如，原子核内核子（质子或中子）的简谐振动、原子这类问题的物理例子比如，原子核内核子（质子或中子）的简谐振动、原子和分子的简谐振动、固体晶格上原子的简谐振动、甚至一个多自由度系统在和分子的简谐振动、固体晶格上原子的简谐振动、甚至一个多自由度系统在其平衡态附近的小涨落小振动，在通过引入简正坐标后也可以化为一系列退其平衡态附近的小涨落小振动，在通过引入简正坐标后也可以化为一系列退耦的一维振子之和，即可近似为线性谐振动的迭加。耦的一维振子之和，即可近似为线性谐振动的迭加。2.2.线性谐振子的势能函数是：线性谐

55、振子的势能函数是： 2221)(xxU其中其中是谐振子的固有圆频率。是谐振子的固有圆频率。3. 建立薛定谔方程并化简：建立薛定谔方程并化简： . 022222222xEdxd在方程中做如下的无量纲化变换：在方程中做如下的无量纲化变换： 先作简化，引入无量纲变量先作简化，引入无量纲变量 4.4.方程的求解方程的求解思路：先求思路：先求在在时的渐近解形式，再在时的渐近解形式，再在 渐近解基础上提出一般解的形式，再求解。渐近解基础上提出一般解的形式，再求解。 定态薛定谔方程简化为：定态薛定谔方程简化为： （自己推导）（自己推导） 0222 )()()(ddExx2,当当时，方程变为：时，方程变为：d

56、d222.我们发现它有近似解：我们发现它有近似解： ( ) e.122但是但是 应该舍去。所以再进行变换：应该舍去。所以再进行变换： e/22 ( )e( ),122H(1) (1) 渐进解渐进解（2 2）一般解的形式：）一般解的形式： 这是厄米方程，这是厄米方程， H()为为厄米多项式。厄米多项式。2/2)(eH带入原方程，可得关于带入原方程，可得关于H()的如下方程：的如下方程：. 0) 1(222HddHdHd3 3） HermitianHermitian多项式多项式 可以用级数法求解可以用级数法求解H()H()的方程，结果发现：只要的方程，结果发现：只要H()H()是是“真真”无穷级数

57、，那么在无穷级数，那么在xx的时候的时候H()H()就就 e , e ,仍然使仍然使( () )发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止中止” 或或“退化退化”为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。 设要求设要求H()H()是是的的n n次多项式，那么就必须让次多项式，那么就必须让 =2n+1 n=0,1,2,3 =2n+1 n=0,1,2,3 这样，我们首先得到了能量本征值：这样，我们首先得到了能量本征值：)52 . 3(.3 , 2 , 1 , 0,21nnEn现在现在H()H()的方程成为：的方程

58、成为： 02222nnnnHddHdHd而不难验证下面的函数正满足这个方程而不难验证下面的函数正满足这个方程:.ee)1()(22nnnnddH它称为它称为n次次Hermitian多项式。多项式。.12016032,124816,128, 24,2, 1355244332210HHHHHH头五个头五个Hermitian多项式是多项式是:4). 线性谐振子的能级和波函数线性谐振子的能级和波函数 (1)我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：, 3 , 2 , 1 , 0,21nnEn对应的波函数是：对应的波函数是： ).(e)(e)()(2

59、222121xnnnnnxHNHNxNnNn是归一化常数，利用特殊积分是归一化常数，利用特殊积分 e,xdx2可得可得 Nnnn2!.(2)(2)讨论讨论 (a)(a)能级是等间隔的能级是等间隔的 ； (b)(b)零点能是零点能是 (c)(c)能级的宇称偶奇相间，基态是偶宇称能级的宇称偶奇相间，基态是偶宇称, ,即即n n(-x)=(-1)(-x)=(-1)n n(x) (x) (d)n(x) (d)n(x)有有n n个节点。个节点。 E012Tdtd)(T T是振动周期。因此有是振动周期。因此有vtdtdT11)(即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子，即几率密度与质点的速度成反

60、比。对于经典的线性谐振子，=a sin(t+ ) ,a sin(t+ ) ,在在点的速度为点的速度为2122)1 ()cos(aatadtdv所以几率密度与所以几率密度与 成比例。成比例。2122)/1 (a5).5).几率分布几率分布: : 在经典力学中在经典力学中, ,在在到到+ +dd之间的区域内找到质点的几率之间的区域内找到质点的几率 ( () ) dd与质点在此区域内逗留的时间与质点在此区域内逗留的时间dtdt成成比例比例: 结论：结论： 1. 1. 在经典振幅之外，仍有粒子出现，这也在经典振幅之外，仍有粒子出现，这也是量子效应。是量子效应。 2 2从前几个波函数曲线看，量子与经典没