2019版一轮优化探究理数练习：第六章第五节数列的综合应用含解析

1、一、填空题1 .设等差数列an的公差dM0, ai = 4d,若ak是ai与a2k的等比中项，贝U k的 值为.解析：由条件知 an= ai + (n 1)d = 4d+ (n 1)d = (n+ 3)d，即 an= (n + 3)d(n N*).又 al ai a2k，所以(k+ 3)解析： T a3 + a5= 2a4, az + ae+ a13= 3a10,二 6(a4 + a10)= 24, a4 + a10= 4,13(a1+ a13)13( a4+ ae) Sl3= 答案：264. 已知数列an, bn满足 零点，贝U b10等于.所以an+ 1an+2= 2n，两式相除得a_ =

2、 2,所以a1,ana4, a6,也成等比数列，而a1= 1, a2 = 2，所以=32,又因为 an+ an+1 = bn,所以 b10= ae+ an = 64.答案：64S1 + S2 + Sn5. 有限数列A： a1, a2,，an, Sh为其前n项和，定义为A的d2= 4d (2k+ 3)d,且 dM0,所以(k+ 3)2 = 4(2k+ 3),即卩 k2 2k 3= 0,解得 k= 3 或 k= 1(舍去).答案：32.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生1产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=刃(n+ 1)(2n+ 1)吨，但如果 年产量

3、超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条 生产线拟定最长的生产期限是.解析：由已知可得第n年的产量an= f(n) f(n 1) = 3n2；当n= 1时也适合.据 题意令an 150? n5 2,即数列从第8项开始超过150,即这条生产线最多生 产7年.答案：7=26.a1 = 1,且 an, an+1 是函数 f(x) = x2 bnx+ 2n 的两个解析：依题意有anan+1 = 2n,a3, as,成等比数列，a2,45a10= 2x2 = 32, an= 1 x23 .等差数列中，3(a3 + a5) + 2(a7 + a10 + a13) = 24，则该数

4、列前13项的和是“凯森和”，若有99项的数列a1, a2,，a99的“凯森和”为1 000,则有100项的数列1, a1, a2,，a99的“凯森和”为.解析：设a1, a2,，a99的“凯森和”为S1+汴+汽1 000,99100则 1, a1, a2,，a99的“凯森和”为TT+J0,而 Ti= 1, T2 = Si+ 1, T3= S2+ 1,，Tioo= S99 + 1,所以+二 + T100二 S1 + &+少 100二 991.100100答案：9916. 已知等差数列an的公差dM0,它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个 等比数列的公比是.解析：由题知a5 = a1 a17

5、,即 a5= (a5 4d) (a5 + 12d),2-8a5d 48d 0,T dM 0,二 a5= 6d,公比 qa5a5 6d 3厶比 q a1 a5 4d 6d 4d答案：37. 秋末冬初，流感盛行，特别是甲型 H1N1流感.某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列an，已知a1 1, a2 2,且an+2 an 1 + ( 1)n(nN*),贝U该医院30天入院治疗甲流的人数共有 .解析： 由于 an+2 an 1 + ( 1)n，所以 a1 a3一a29 1, a2, a4,，a30 构15 X 14成公差为2的等差数列，所以 a1+ &+ + a29 + a30 15+

6、15X 2+ 三一 X 2 255.答案：2558. 已知a, b R+, A为a, b的等差中项，正数G为a, b的等比中项，贝U ab 与AG的大小关系是 .a + b解析：依题意A=厂,G= ab, AG ab= a-+b ab ab=ab(2b - ab)ab 匕一严20,/ AG ab.答案：AG ab9. 在直角坐标系中，O是坐标原点，Pi(xi, yi), P2(x2, y2)是第一象限的两个点,若1, X1, X2,4依次成等差数列，而1, y1, y2,8依次成等比数列，则 OP1P2的 面积是.解析：根据等差、等比数列的性质，可知 X1 2, X2 3, y1 2, y2

7、4. Pi(2,2), P2(3,4). SAOPiP2= 1.答案：1、解答题110. 已知数列an的前n项和Sn和通项an满足Sn= 2(1 an).(1) 求数列an的通项公式;3(2)若数列bn满足bn= nan,求证：b1 +匕+十4.解析：(1)当n2时,anSnS 1 1一 an) 一 2(1 一 an -1)1 1qan + qan-1,2an= an + an1,由题意可知an-i工0,an1an 13,1所以an是公比为1的等比数列.1 1S1 = a1 = 2(1 a1), a1 = 3.1、/ /1、n-1/1、nan3X (3)(3).(2) 证明：bn = ng)n

8、,111 1设 Tn 1X (3)1 + 2X g)2 + 3X(3)3+ nX(3)n, 1Tn= 1X g)2 + 2X (3)3 + 3X g)4+ nx (扩1,，化简得丁 3 3 1 n 3 1 n+1 3 Tn=4-3(1)-刃(1)0,54即 1 600X (4)n 1 4 000X 1 (5)n0，令x=(4)n，代入上式得5x2 7x+ 20,2解此不等式，得xvf,或x1(舍去),42即(5)n5)满足|ak+1 ag 1(k= 1,5,n1),则 称 An 为 E 数列.记 S(An) = a1 + a5+ an.(1)写出一个E数列A5满足aa3= 0;若a1 = 15

9、, n = 5 000,证明：E数列An是递增数列的充要条件是 an= 5 011; 在a1 = 4的E数列An中，求使得S(An) = 0成立的n的最小值.解析：(1)0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列A5.(答案不唯一，0, 1,0,1,0; 0, ,0,1,5; 0, 1,0, 1, 5; 0, 1,0, 1,0都是满足条件的 E 数列 A5)(5)必要性：因为E数列An是递增数列，所以 ak+1 ak= 1(k= 1,5,，1 999),所以An是首项为15,公差为1的等差数列，所以 a5 000= 15+ (5 000 1)X 1 = 5 011.充分性：由于 a5 000 a1 999w 1,a1 999 a1 998 1,a5 a1 1,所以 a5 000 a1 0(k= 1,5,，1 999),即 A 是递增数列.综上，结论得证.(3) 对首项为4的E数列An,由于a5 a1 1 =