知识点31与圆有关的位置关系

1、精选优质文档-倾情为你奉上一、选择题5（2019·苏州）如图，AB为O的切线切点为A，连接AO，BO，BO与O交于点C，延长BO与O交于点D，连接AD若ABO =36°，则ADC的度数为（ ） A54 ° B36° C32 ° D27°（第5题）【答案】D【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质AB为O的切线，OAB=90°，ABO=36°，AOB=90°-ABO=54°，OA=OD，ADC=OAD，AOB=ADC+OAD，ADC=AOB=27

2、6;，故选D1. （2019·无锡）如图，PA是O的切线，切点为A，PO的延长线交O于点B，若P=40°，则B的度数为 （ ）A.20° B.25° C.40° D.50°【答案】B【解析】PA是O的切线，切点为A，OAAP，OAP=90°，APB=40°，AOP=50°，OA=OB，B=OAB=AOP=25°故选B2.（2019·自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x=-5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点

3、E，当ABE的面积取得最小值时，tanBAD的值是（ ） A.817B.717C.49D.59【答案】B.【解析】A（8，0），B（0，8），AOB=900，AOB是等腰直角三角形，AB=82，OBA=450，取D（-5，0），当C、F分别在直线x=-5和x轴上运动时，线段DH是RtCFD斜边上中线，DH=12CF=10，故D在以H为圆心,半径为5的圆上运动，当AD与圆H相切时，ABE的面积最小.在RtADH中，AH=OH+OA=13,AD=AH2-AD2=12.AOE=ADH=900，EAO=HAD，AOEADH，OEAO=DHAD，即OE8=512，OE=103，BE=OB-OE=143.

4、SABE=12BE·OA=12AB·EG，EG=BE·OAAB=143×882=723.在RtBGE中，EBG=450，BG=EG=723，AG=AB-BG=1723.在RtAEG中，tanBAD=EGAG=717.故选B.3. (2019·台州)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则¤O的半径为( )A.B.3C.4D.【答案】A【解析】¤O与AB,AC相切,ODAB,OEAC,又ODOE,DAOEAO,又ABAC,BOCO,DAO30°,BO4,ODOAtanDAO

5、OA,又在RtAOB中,OD,故选A.4.（2019·重庆B卷）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点，若C40°则B的度数为（）A.60° B.50° C.40° D.30°【答案】【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC是O的切线，A为切点，所以BAC90°，根据三角形内角和定理，若C40°则B的度数为50°. 故选5. （2019·重庆A卷）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点，BC与O交于点D，连结OD若C50°，则AOD的度数为 （ ）A40°

6、; B50° C80° D100°【答案】C【解析】AC是O的切线，ACABC50°，B90°C40°OBOD，BODB40°AODBODB80°故选C67.8.910.二、填空题1.（2019·岳阳）如图，AB为O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是_（写出所有正确结论的序号）AM平分CAB；AM2=AC·AB；若AB=4，APE=30°，则的长为；若AC=3，BD=1

7、，则有CM=DM=【答案】【解析】连接OM，BMPE是O的切线，OMPEACPE，ACOMCAMAMOOAOM，AMOMAOCAM=MAOAM平分CAB选项正确；AB为直径，AMB=90º=ACMCAM=MAO，AMCABMAM2=AC·AB选项正确；P=30°，MOP=60°AB=4，半径r=2选项错误；BDOMAC，OA=OB，CM=MDCAMAMC=90°，AMCBMD=90°，CAMBMDACM=BDM=90°，ACMMDBCM·DM=3×1=3CM=DM=选项正确；综上所述，结论正确的有2. （

8、2019·无锡）如图，在ABC中，ACBCAB=51213，O在ABC内自由移动，若O的半径为1，且圆心O在ABC内所能到达的区域的面积为，则ABC的周长为_.【答案】25【解析】如图，圆心O在ABC内所能到达的区域是O1O2O3，O1O2O3三边向外扩大1得到ACB，它的三边之比也是51213， O1O2O3的面积=，O1O2=，O2O3=4，O1O3=，连接AO1 与CO2，并延长相交于I，过I作IDAC于D，交O1O2于E，过I作IGBC于G交O3O2于F，则I是RtABC与RtO1O2O3的公共内心，四边形IEO2F四边形IDCG都是正方形，IE=IF= =，ED=1，ID=

9、IE+ED=，设ACB的三边分别为5m、12m、13m，则有ID=2m=，解得m=，ABC的周长=30m=25.3. （2019·济宁）如图，O为RtABC直角边AC上一点，以OC为半径的O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC，AC3则图中阴影部分的面积是 【答案】【解析】在RtABC中，A30°O与斜边AB相切于点D，ODAB设O的半径为r，在RtADO中，解得r，阴影的面积是S××()24. （2019·眉山）如图，在RtAOB中，OA=OB=，O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长

10、的最小值为【答案】【解析】连接OQ，如图所示，PQ是O的切线，OQPQ，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，当POAB时，线段PQ最短，在RtAOB中，OA=OB=，AB=OA=8，SAOB= OAOB=ABOP，即OP=4，PQ= =故答案为： .5. (2019·宁波)如图,RtABC中,C90°,AC12 ,点D在边BC上,CD5,BD13.点P是线段AD上一动点,当半径为6的P与ABC的一边相切时,AP的长为_.【答案】或【解析】半径为6的P与ABC的一边相切,可能与AC,BC,AB相切,故分类讨论:当P与AC相切时,点P到AC的距离为6,但点P在线段AD上运动

11、,距离最大在点D处取到,为5,故这种情况不存在;当P与AC相切时,点P到BC的距离为6,如图PE6,PEAC,PE为ACD的中位线,点P为AD中点,AP;当P与AB相切时,点P到AB的距离为6,即PF6,PFAB,过点D作DGAB于点G,APFADGABC,其中,PF6,AC12,AB,AP;综上所述,AP的长为或.67.8.910.三、解答题23（2019·衡阳）如图，点A、B、C在半径为8的O上，过点B作BDAC，交OA延长线于点D，连接BC，且BCAOAC30°（1）求证：BD是O的切线；（2）求图中阴影部分的面积解：（1）证明：连接OB交AC于E，由BCA30

12、76;，AOB60°在AOE中，OAC30°，OEA90°，所以OBACBDAC，OBBD又B在圆上，BD为O的切线；（2）由半径为8，所以OA=OB=8在AOC中，OACOCA30°，COA120°，AC8由BCAOAC30°，OABC，而BDAC，四边形ABCD是平行四边形.BD8OBD的面积为×8×832，扇形OAB的面积为××82，阴影部分的面积为3224（2019·淮安）如图，AB是O的直径，AC与O交于点F，弦AD平分BAC，DEAC，垂足为E.(1)试判断直线DE与O的位

13、置关系，并说明理由；(2)若O的半径为2，BAC=60°，求线段EF的长.第24题图【解题过程】（1）直线DE与O相切.理由如下：第24题答图1如图所示，连接OD，则OA=OD，ODA=BAD.弦AD平分BAC，FAD=BAD.FAD=ODA，ODAF.又DEAC，DEOD，直线DE与O相切.（2）连接BD，AB是O的直径，ADB=90°.第24题答图1AD平分BAC，BAC=60°，FAD=BAD=30°，B=60°，DFE=B=60°.O的半径为2，AB=4，.22（2019·常德，22题，7分）如图6，O与ABC的AC

14、边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DEOA，CE是O的直径 （1）求证：AB是O的切线； （2）若BD4，CE6，求AC的长 【解题过程】证明：（1）连接OD，DEOA，AOCOED，AODODE，ODOE，OEDODE，AOCAOD，又OAOA，ODOC，AOCAOD（SAS），ADOACOCE是O的直径，AC为O的切线，OCAC， OCA90°，ADO90°，ODAB，OD为O的半径，AB是O的切线（2）CE6，ODOC3，BDO90°，BD4，OB5，BC8，BDO OCA90°，BB，BDOBCA，AC621（2019·武汉

15、）已知AB是O的直径，AM和BN是O的两条切线，DC与O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点（1） 如图1，求证：AB24AD·BC（2） 如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF若ADE2OFC，AD1，求图中阴影部分的面积 图1 图2【解题过程】证明：（1）如图1，连接OD，OC，OEAD，BC，CD是O的切线，OAAD，OBBC，OECD，ADED，BCEC，ODEADC，OCEBCDAD/BC，ODEOCE（ADCBCD）90°，ODEDOE90°，DOEOCE又OEDCEO90°，ODECOE，OE2ED·EC4OE24AD&

16、#183;BC，AB24AD·BC（2）解：如图2，由（1）知ADEBOE，ADE2OFC，BOE2COF，COFOFC，COF等腰三角形。OECD，CD垂直平分OFAODDOEOFD30°，BOE120°，BCOB×tan60°3S阴影2SOBCS扇形OBE3图1 图226（2019·陇南）如图，在ABC中，ABAC，BAC120°，点D在BC边上，D经过点A和点B且与BC边相交于点E（1）求证：AC是D的切线；（2）若CE2，求D的半径（1）证明：连接AD，ABAC，BAC120°，BC30°，ADB

17、D，BADB30°，ADC60°，DAC180°60°30°90°，AC是D的切线；（2）解：连接AE，ADDE，ADE60°，ADE是等边三角形，AEDE，AED60°，EACAEDC30°，EACC，AECE2，D的半径AD224(2019·泰州,24题,10分) 如图,四边形ABCD内接于O,AC为O的直径,D为弧AC的中点,过点D作DEAC,交BC的延长线于点E.(1)判断DE与O的位置关系,并说明理由;(2)若O的半径为5,AB8,求CE的长.第24题图【解题过程】(1)DE为O的切线

18、,理由如下:连接OD,AC为O的直径,D为弧AC的中点,弧AD弧CD,所以ADDC,因为AOOC,所以ODAC,AODCOD90°,又DEAC,EDOAOD90°,所以ODDE,DE为O的切线;第24题答图(2)DEAC,EDCACD,ACDABD,所以EDCABD,又DCEBAD,DCEBAD,半径为5,AC10, D为弧AC的中点,ADCD,CE1. （2019·金华）如图，在OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D.（1）求的度数；（2）如图，点E在O上，连结CE与O交于点F.若EF=AB，求OCE的度数.解： 1）连结OBB

19、C是O的切线，OBBC，四边形OABC是平行四边形OABC，OBOAAOB是等腰直角三角形ABO45°OCAB，BOCABO45°的的度数为45°；（2）连结OE，过点O作OHEC于点H，设EHt，OHEC，EF2HE2t，四边形OABC是平行四边形ABCOEF2t，AOB是等腰直角三角形O的半径OAt在RtEHO中，OHt在RtOCH中，OC2OH，OCE30°2. （2019·湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(3，0)、B(0，3)（1）如图1，已知P经过点O，且与直线l1相切于点B，求P的直径长；（2）如

20、图2，已知直线l2：y3x3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆当点Q与点C重合时，求证：直线l1与Q相切；设Q与直线l1相交于点M，N，连结QM，QN问：是否存在这样的点Q，使得QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）如答图1，连接PO、PBP与直线l1相切于点B， ABBPA(3，0)、B(0，3)，OAOB3又AOB90°，OBAOAB45°PBO45°PBPO，OPB90°在RtPOB中，由sinPBO，得POOBsinPBO3×sin45°P

21、的直径为3（2）如答图2，过点C作CEAB于点E易知C(1，0)，从而AC314在RtACE中，由sinCAE，得CEACsinCAE4×sin45°2Q的半径为2，且点Q与点C重合，Q与直线l1相切假设存在符合条件的等腰直角三角形，令直线l1、l2相交于点F易求直线AB的解析式为yx3 分两种情况讨论如下：若点Q在线段CF上，如答图3，由MNQNAG45°，得AGN90°，从而点Q、N两点的横坐标相等，不妨令Q(m，3m3)，则N(m，m3)，于是由NQ2，得(m3)(3m3)2，解得m3，故Q(3，63)若点Q在线段CF的延长线上，如答图4，由可知(

22、3m3)(m3)2，解得m3，故Q(3，63) 综上，存在符合条件的点Q有两个：Q1(3，63)，Q2(3，63)3. （2019·天津）已知PA,PB分别与O相切于点A,B，APB=80°，C为O上一点，(1)如图，求ACB的大小；(2)如图，AE为O的直径，AE与BC相交于点D，若AB=AD，求EAC的大小.解：（1）如图，连接OA,OBPA,PB分别是切线OAPA,OBPB,即PAO=PBO=90°APB=80°在四边形OAPB中，AOB=360°-90°-90°-80°=100°ACB=AOB=5

23、0°.（2）如图，连接CE,AE为直径，ACE=90°，由（1）知，ACB=50°，BCE=ACE-ACB=40°，BAE=BCE=40°，在ABD中，AB=AD,ADB=ABD=70°ACD中，ADB是外角，EAC=ADB-ACB=70°-50°=20°24（2019·娄底）如图（12），点D在以AB为直径的O上，AD平分BAC，DCAC，过点B作O的切线交AD的延长线于点E（1）求证：直线CD是O的切线（2）求证：【解题过程】证明：（1）如图，连结OD，在O中，有OAOD，OADODA，又A

24、D平分BAC，OADCAD，ODACAD，又DCACADC+ADO90°ODC90°，即ODCD；直线CD是O的切线（2）如图，连结BD，AB为O的直径，ADBBDE90°又DCACACD BDEBE为O的切线，DCAC，AD平分BAC，EADCACDBDE4. （2019·攀枝花） 如图1，有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心O（保留作图痕迹，不写做法） 如图2，设AB是该残缺圆O的直径，C是圆上一点，CAB的角平分线AD交O于点D，过点D作O的切线交AC的延长线于点E （1）求证：AEDE；（2）若DE3，AC2，求残缺圆的半圆面积解：图1问题解答如下

25、:如图， 点即为所求图2问题解答如下：（1）证明：连接OD交BC于HAB是该残缺圆O的直径，ACB90°DE为O的切线ODDEAD平分CABCADDABODOA,DABODACADODAEAEDE（2）AB是O的直径,ACB90°ODAE,ODBCBC2CH四边形CEDH为矩形DE3，CHED3,BC6,AC2，AB2,AO, S半圆·AO255. （2019·凉山）如图，点D是以AB为直径的O上一点，过点B作O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F.（1）求证：DF是O的切线；（2）若OB=BF，EF=4，求

26、 AD 的长.解：（1）证明：连接OD.O的切线，BCOB，OBC=90°.AB为O直径，ADB=90°，ADB+CDB =180°，CDB =90°.E是BC的中点，ED=EB=BC，EDB=EBD.OD=OB，ODB=OBD，ODF=OBC=90°,DFOD，DF是O的切线；（2）由（1）知ODB=90°，OD=OB=BF，sinF=,F=30°，DOB+F =90°，DOB=60°，ODB是等边三角形，OBD=60°，tanOBD=，AD=BD.BCAF， sinF=,EF=4，BE=2，

27、BF=2=OB=DB，AD=BD=6.6（2019·乐山）已知关于的一元二次方程.（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；（3）若的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.解：（1）证明： ， 无论为任何实数时，此方程总有两个实数根.（2）由题意得：， ，即， 解得：； （3）解方程得：， 根据题意得：，即， 设直角三角形的内切圆半径为，如图， 由切线长定理可得：，直角三角形的内切圆半径=； 第23题答图24（2019·乐山）如图，直线与相离，于点，与相交于点，.是直线上一点，连结并延长交于另一点，且.（1）求证：是的切线；（2）若的半径为，求线段的长.第24题图解：证明：(1)如图，连结，则， ，而，即，即， ，故是的切线； (2)由(1)知：，而，由勾股定理，得：， 过作于，则， 在和中， ， 又，. 7. （2019·达州）如图，O是ABC的外接圆， BAC的平分线交O于点D，交BC于点E，过点D作直线DFBC.（1） 判断直线DF与O的位置关系，并说明理由；（2） 若AB=6，AE=，CE=，求BD的长. 解：(1)DF与相切.理由：证明：连接OD，AD平分BAC