暑期数学综合试卷三

1、暑期数学综合试卷三暑期数学综合试卷三一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位分请把答案填写在答题卡相应位置上置上1若复数 z 满足(2)zz i（i是虚数单位） ，则 z 2已知集合 A = 1，0，1，B = 0，1，2，3，则 AB = 3若以连续掷两次骰子得到的点数分别作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 在直线nm,上的概率为 4xy4已知4cos5 且(, )2，则tan()4 5已知定义域为R的函数121( )2xxf xa是奇函数，则a 6右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是 7在ABC中，

2、已知4AB AC ，12AB BC ，则 AB 8在样本的频率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若第一个长方形的面积为 0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为 1600，则中间一组（即第五组）的频数为 9.在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长xoy230 xy22(2)(1)4xy为 .10函数，且）的图象恒过点 A，若点 A 在直线0( 1)3(logaxya1a上，其中，则的最小值是 01 nymx0mnnm2111已知是等差数列的前项和，若，则数列的前 20 项nS nan77S 1575SnSn和为 12已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿，

3、三条侧棱剪开，将其PABCPAPBPC表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥2 6的体积为 PABC13.已知)(xf是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当)3 , 0 x时,|212|)(2xxxf.若函数axfy)(在区间4 , 3上有 10 个零点(互不相同),则实数a的取值范围是 .14设 a、b 均为大于 1 的自然数，函数，若存在实xaabxfsin)(bxxg cos)(数 k，使得，则 )()(kgkf ba样本数据频率组距第 8 题图开始结束是否100k 3ssk1,0ksS输出2kk第6题图二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小

4、题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）已知分别为三个内角的对边，, ,a b cABC, ,A B Ccos3 sin0aCaCbc（1）求 （2）若，的面积为；求.A2a ABC3, b c16 （本小题 14 分）如图，四棱锥中，底面，底面为梯形，PABCDPAABCDPCADABCD，点在棱上，且/ABDCABBCPAABBCEPB2PEEB（1）求证：平面平面；PABPCB（2）求证：平面PDEACPADBCE17 （本小题满分 14 分）如图

5、，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，12FF，22221(0)yxabab顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另(0)b，2BF一点C，连结1FC（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程； 4 13 3，22BF （2）若，求椭圆离心率e的值1FCAB18 （本小题满分 16 分）如图，在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在 l 上设立了A，B 两个报名点，满足 A，B，C 中任意两点间的距离为 10 km.公司拟按以下思路运作：先将 A，B 两处游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A，B 两点

6、)，然后乘同一艘游轮前往 C 岛据统计，每批游客 A 处需发车 2 辆，B 处需发车 4 辆，每辆汽车每千米耗费 2 元，游轮每千米耗费 12 元设CDA，每批游客从各自报名点到 C岛所需运输成本为 S 元(1)写出 S 关于 的函数表达式，并指出 的取值范围；(2)问：中转点 D 距离 A 处多远时，S 最小？19 （本小题满分 16 分）已知数列中，其前项和满足,其中 na12a 23a nnS1121nnnSSS， 2n*nN（1）求证；数列为等差数列，并求其通项公式； na（2）设，为数列的前 n 项和，求使2 的 n 的取值范围nnnab2nT nbnT（3）设为非零整数，） ，试确

7、定的值，使得对(2) 1(41nannnc*nN任意，都有成立*nNnncc120.（本小题满分 16 分）已知函数，.( )lnf xxx ln xh xx(1)求的最大值； h x(2)若关于的不等式对一切恒成立，求实数的x2( )212x f xxax(0 ,)x a取值范围；(3)若关于的方程恰有一解，其中 是自然对数的底数，求实x32( )2e0f xxxbxe数的值.b暑期数学综合试卷三参考答案暑期数学综合试卷三参考答案一一.填空题：填空题：11 i； 20，1； 3； 417； 52； 67500；74； 8360；1129； 108 ； 1155；12； 13(0，1/2) 1

8、442 5559二、解答题15 （1）由正弦定理得：cos3 sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBC sincos3sinsinsin()sin13sincos1sin(30 )2303060ACACaCCAAAAA -7 分（2）-7 分1sin342SbcAbc16.16.：（1）PA底面 ABCD， PABC又 ABBC，平面 PAABABCPAB又平面，BCPCB平面平面 -7 分PABPCB（2）PA底面 ABCD，AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影又PCAD，ACAD 在梯形中，由 ABBC，AB=BC，得，ABCD4BAC又 ACAD，故为

9、等腰直角三角形4DCABAC DAC 2222DCACABAB连接，交于点，则 BDACM2.DMDCMBAB在中，BPD2PEDMEBMB /PDEM又 PD平面 EAC，EM平面 EAC，PD平面 EAC -7 分17.（1）， 4 13 3C，22161999ab，椭圆方程为22222BFbca22( 2)2a 21b 2212xy（2）设焦点关于x轴对称，12(0)(0)()FcF cC x y ，A C，()A xy，三点共线，即2B FA，bybcx0bxcybc，即1FCAB1ybxcc 20 xcbyc联立方程组，解得 2222222caxbcbcybc2222222a cbc

10、Cbcbc，C在椭圆上， 222222222221a cbcbcbcab化简得，, 故离心率为225ca55ca5518.解：(1)由题知在ACD 中，CAD ，CDA，AC10，ACD.323由正弦定理知，2 分CDsin3ADsin(23)10sin 即 CD，AD，4 分5 3sin 10sin(23)sin 所以 S4AD8BD12CD12CD4AD8080 6 分60 340sin(23)sin 2060.8 分33cos sin (323)(2)S20，令 S0 得 cos . 10 分313cos sin213当 cos 时，S0；当 cos 时，S0，12 分1313所以当 c

11、os 时，S 取得最小值，14 分13此时 sin ，AD，2 235 3cos 5sin sin 205 64所以中转点 D 距 A 处 km 时，运输成本 S 最小16 分205 6419 解：（1）由已知，（，） ， 2 111nnnnSSSS2n*nN分即（，） ，且11nnaa2n*nN211aa数列是以为首项，公差为 1 的等差数列 na12a 4 分1nan(2) ，1nannnnb21) 1(21231111123(1).(1)22221111123(1).(2)22222nnnnnnTnnTnn L23111111(1)(2)1(1)22222nnnTn L得： 6 分nTn

12、n233代入不等式 得：01232233nnnn，即设022)() 1(, 123)(1nnnnfnfnnf则在上单调递减， 8 分)(nfN，041)3(, 041)2(, 01) 1 (fff当 n=1,n=2 时,，( )0,3( )0f nnf n当时，所以 n 的取值范围为 10 分3,nnN且（3）,要使恒成立，1,nanQ114( 1)2nnnnc 1nncc即恒成立，1211144( 1)2( 1)20nnnnnnnncc 恒成立，恒成立，12 分113 43( 1)20nnn 11( 1)2nn（i）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为 ，n12n1n 12n11（ii）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值， n12n 2n 12n2即，又为非零整数，则15 分2 21 1 综上所述：存在，使得对任意的，都有16 分1 nN1nncc20 （1）因为，所以，2 分 ln,0 xh xxx 21ln xh xx由，且，得，由，且，4 分( )0h x0 x0 xe( )0h x0 xxe所以函数的单调增区间是，单调减区间是， h x(0, e ,)e 所以当时，取得最大值；6 分xe h x1e（2）因为对一切恒成立，2( )212xf xxax), 0( x即对一切恒成立，22ln212xxxxax), 0( x