曲边梯形的面积

1、11.5.1曲边梯形的面积曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程2 我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算。情景设计：情景设计：但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,面积怎么计算呢？ 这些图形有一个共同的特征：每条边都是直的线段。3 曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线，直线x=a、x=b及及x x轴所围成的图形叫轴所围成的图形叫做曲边梯形。做曲边梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积x=ax=b4 y = f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个

2、矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得5A A1+ A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y = f(x)bax yOA1A26A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A47 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯于是曲边梯形的面积形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲,

3、 ,无限逼近无限逼近 8分割越细，面积的近似值就越精确。当分分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积S。下面用下面用“以直代曲以直代曲”的具体操作过程计算曲边梯的具体操作过程计算曲边梯形形的面积。的面积。9（1 1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每个区间的长度为过各分点作过各分点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小曲边个小曲边梯形，它们的面积分别记作梯形，它们的面积分别记作.S,

4、S,S,Sni21 n1n2nknnxOy2xy 例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积。10（2） 近似代替（以直代曲）近似代替（以直代曲）n1)n1i(x)n1i(fS2i（3）作和）作和) 1n(210n1 n1)n1- i(n1)n1- if( SSSSS22223n1i2n1in1iin21 n1n2nknnxOy2xy11（4 4）取极限）取极限1111(1)(2)6nn31S.3S 所所以以2222(1)(21)1236n nnn31 1111(n1)n(2n1)(1)(2)n 66nnS 当分割的份数无限多,即n

5、,x 0时nlim12区间区间00，11的等分数的等分数n nS S的近似值的近似值20.125 000 0040.218 750 0080.273 437 50160.302 734 50320.317 871 09640.325 561 52 1280.329 437 262560.331 382 755120.332 357 4110240.332 845 21 20480.333 089 23 nS我们还可以我们还可以从数值上可从数值上可以看出这一以看出这一变化趋势变化趋势（请见表）（请见表）13 n1n2nknnxy2xy nnn2ii 1i 1i 12222311SSf()( )n

6、 nnn1 12(n1)niin(过剩近似值)14 n1n2nknnxy2xy 2222331S12(n1)n1(1)(21)1111 (1)(2)n663nn nnnn(过剩近似值)15 当分点非常多（当分点非常多（n非常大）时，可以认为非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是作为小矩形一边的长，于是f(xi) x来近似表示来近似表示小曲边梯形的面积小曲边梯形的面积x)f(xx)f(xx)x(fn21 表示了曲边

7、梯形面积的近似值表示了曲边梯形面积的近似值16 小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法（1 1）分割分割 （2 2）近似代替近似代替 （4 4）取极限取极限 n （3 3）求和求和 17二二 汽车行驶的路程汽车行驶的路程 思考思考1 1：汽车以速度：汽车以速度v作匀速直线运动，作匀速直线运动，经过时间经过时间t t所行驶的路程为多少？如果汽所行驶的路程为多少？如果汽车作变速直线运动，那么在相同时间内车作变速直线运动，那么在相同时间内所行驶的路程相等吗？所行驶的路程相等吗？ 18思考思考2 2：已知汽车作变速直线运动，在时：已知汽车作变

8、速直线运动，在时刻刻t(t(单位：单位：h)h)的速度为的速度为v(t(t) )t t2 22 2 ( (单位：单位：km/h)km/h)，如何计算汽车在，如何计算汽车在0t10t1时段内行驶的路程？时段内行驶的路程？思考思考3：能否把求变速直线运动的路程问题，：能否把求变速直线运动的路程问题，转化为求匀速直线运动的的路程问题？转化为求匀速直线运动的的路程问题？思考思考4：你能仿照求曲边梯形的面积的方法：你能仿照求曲边梯形的面积的方法来解决这个问题吗？来解决这个问题吗？19 小结：小结： 求变速直线运动的物体在某时段求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可以用内所走过的路程，可以用“以匀代变以匀代变”和和“极限逼近极限逼近”的数学思想求出它在的数学思想求出它在at b内的位移内的位移s，其操作步骤仍然是：分割，其操作步骤仍然是：分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限. 思考思考5：汽车在：汽车在0t1时段内行驶的路程，时段内行驶的路程，在数值上与由直线在数值上与由直线t=0,t=1,v=o和曲线和曲线 所围成曲边梯形的面积所围成曲边梯形的面积有什么关系？有什么关系？2)(2tt