高一数学平面向量的数量积例题精析

1、平面向量的数量积、平移·典型例题精析公式，可求a与b的夹角于是例2 已知ab=（2，8），ab=（8，16），求a·b及a与b的夹角【分析】与例1不同的是，题目给出平面向量的坐标表示，可由已知条件求出a，b的坐标，再用向量的数量积定义求解【解】由ab=（2，8），ab=（8，16），二式相加，解得a=（3，4）；二式相减，解得b=（5，12）于是 a·b=（3）×54×（12）=63求a，b的夹角也可用坐标表示式计算【说明】如果知道两个向量的坐标，可直接求其夹角，不必利用定义去求模及数量积例3 已知两个向量a=（3，4），b=（2，1），当a+

2、xb与ab垂直时，求x的值【分析】利用已知向量a与b表示a+xb，ab，根据向量垂直的充要条件，得到关于x的关系式【解法一】（a+xb）（ab），（a+xb）·（ab）=0a·b=3×24×（1）=2，25+（x1）×25x=0【解法二】a=（3，4），b=（2，1），a+xb=（3，4）+x（2，1）=（2x+3，4x），ab=（3，4）（2，1）=（1，5）由于（a+xb）（ab），（a+xb）·（ab）=0，从而（2x+3）×1（4x）×5=0，2x+3+205x=0，【说明】使用数量积的知识解决问题时，应注

3、意有使用向量式或坐标两种形式的思路例4 平面内三点A，B，C在一条直线上， =（2，m）， =（n，1）， =（5，1），且 ，求实数m，n的值【分析】因为A，B，C三点共线，可由向量共线的充要条件得到关于m，n的一个关系式；又因为向量 ，再由向量垂直的充要条件，得到关于m，n的第二个关系式对这两个关系式联立求解即可【解】A，B，C三点在一条直线上，向量 与 共线于是，存在实数，使= 又 =（2，m）， =（n，1）， =（5，1）， = =（7，1m），= =（n+2，1m）（7，1m）=（n+2，1m）故有 二式相除，消去，得mn5m+n+9=0又 ， · =0，即 （2）

4、15;n+m×1=0，m2n=0由得m=2n，代入，得相应的 m=6，m=3【说明】上面解法中，式可由向量共线的坐标表达式求得，因为 =（7，1m）， （n2，1m）， 与 共线，所以7×（1m）（n2）（1m）=0，同样可以得到mn5m+n+9=0例5 平面内有向量 =（1，7）， =（5，1）， =（2，1），点X为直线OP上的一个动点（1）当 · 取最小值时，求 的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cosAXB的值【分析】因为点X在直线OP上，向量 与 共线，可以得到关于 坐标的一个关系式；再根据 · 的最小值，求得 ，而cosAXB是

5、向量 与 夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决【解】（1）设 =（x，y）点X在直线OP上，向量 与 共线又 =（2，1），x×1y×2=0，即 x=2y =（2y，y）又 = ，OA=（1，7）， =（12y，7y）同样 = =（52y，1y）于是 · =（12y）（52y）+（7y）（1y）有最小值8此时=（4，2）（2）当 =（4，2），即y=2时，有=（3，5）， =（1，1），· =（3）×15×（1）=8【说明】由于X是OP上的动点，则向量 ， 均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是它们的数量积 · 也处在

6、不确定的状态，这个数量积由 与 的模| |与| |及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看出它们都是变量y的函数另外，求出 与 的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值例6 如图532，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，ABC=60°，自A向对角线BD引垂线，并延长交BC于E，求BEEC【分析】由于BC=2AB，ABC=60°，可以 、 为基底表示图中的向量，其中 是最可利用的条件又 = ， ，于是可建立m与n的关系式【解】设 =a， =c，BEEC=mn，则又 = + =c+a，且 ， · =0，4mn（m+n）=03m=2nmn=23故B

7、EEC=23例7 如图533，在ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD与BE，且AD与BE交于H，连结CH，用向量法证明CHAB【证法一】ADBC，H在AD上， 而 = ，（ ）· =0 · · =0又 ， · =0，即 （ ）· =0，· · =0注意到，式中 · = · ，故，得·（ ）=0，即 ·（ ）=0，· =0 ，即 CHAB【证法二】如图534，在平面内任取一点O = ， ， · =0，即 （ ）·（ ）=0 ·（ ）=

8、·（ ）同理，由 ，可得·（ ）= ·（ ）+，得·（ ）= · · ，即 ·（ ）= ·（ ），（ ）·（ ）=0，· =0， ，故 CHAB【说明】用向量法证明CHAB，只要证得 · =0即可因此证明中，都将已知条件中的 · =0， · =0，运用减法的意义，将 ， 分解成含 的形式，再构造出 · 的形式，寻求结论证法二中，在平面内任取一点O，使图中所用向量均用以O为起点的向量表示，将已知向量的关系相对集中，这种方法应注意学习和使用例8 设平面内有两个

9、向量a=（cos，sin）， b（cos，sin），且0（1）证明（ab）（ab）；（2）若两个向量kab与akb的模相等，求的值（k0，kR）【分析】题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到（ab）·（ab）=0，即可证得（1），再利用|ka+b|与|akb|相等，确定的值【解】（1）a=（cos，sin），b=（cos，sin），ab（coscos，sinsin），ab=（coscos，sinsin）（ab）·（ab）=（coscos）（coscos）（sinsin）（sinsin）=11=0（ab）（ab）证得结论于是（*）式化为 4kcos（）=0由于kR，k0，cos（）=0，即cos（）=0而0，【说明】由解题过程可知a与b均是单位向量，由向量加法的平行四边形法则，可知ab，ab是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线，从（1）中ab与ab垂直，可知这个平行四边形是菱形，而由（2）知|ka+b|=|akb|时，a与b的夹角为|=90°因为a·b=cos（），a·b=|a|·|b|cos故cos（）=cos，又0，有=|（为a与b的夹角）这时ab此时由a及b为邻边组成的四边形是正方形例9 现有7个向