极坐标系（3）

1、带着思考读进去带着思考读进去领着问题走出来领着问题走出来请阅读教材请阅读教材811页页函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy以人民路为以人民路为X轴轴以云亭街为以云亭街为Y轴建立直轴建立直角坐标系角坐标系.请问：去火车站请问：去火车站怎么走？怎么走？南宁南宁一中一中引例：引例：请在观察中思考请在观察中思考函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy坐标系？坐标系？引例：引例：请在观察中思考请在观察中思考以人民路为以人民路为X轴轴以云亭街为以云亭街为Y轴建立直轴建立直角坐标系角坐标系.南宁南宁一中一中函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy坐标系？坐标系？神经病

2、！神经病！南宁南宁一中一中引例：引例：请在观察中思考请在观察中思考以人民路为以人民路为X轴轴以云亭街为以云亭街为Y轴建立直轴建立直角坐标系角坐标系.函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy从这往东北方向走从这往东北方向走1000米。米。请问：去火车站请问：去火车站怎么走？怎么走？引例：引例：请在观察中思考请在观察中思考南宁南宁一中一中函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy 引例：引例：请在观察中思考请在观察中思考分析：分析： 这句话中，哪些地方是需要我这句话中，哪些地方是需要我们从数学角度去关注的？们从数学角度去关注的？从这往东北方向走从这往东北方向走1000米！米！

3、出发点出发点方向方向距离距离这种用这种用方向方向和和距离距离表示平面上一点的位置的思想，就是表示平面上一点的位置的思想，就是极极坐标坐标的基本思想。的基本思想。函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy16371637年笛卡尔受天文地理的经度、年笛卡尔受天文地理的经度、纬度启发纬度启发, ,创建了创建了平面直角坐标系平面直角坐标系, ,用横坐标和纵坐标确定平面中点的用横坐标和纵坐标确定平面中点的位置。位置。笛卡尔笛卡尔( (法国法国) )1596-16501596-1650数学知识链接数学知识链接平面直角坐标系的创立：平面直角坐标系的创立：函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin(

4、 xAy数学知识链接数学知识链接关于关于极坐标极坐标的建立，牛顿完成于的建立，牛顿完成于16711671年。年。但于但于17361736年发表论著，把极坐标看成是年发表论著，把极坐标看成是确定平面上的点的位置的方法，并与其确定平面上的点的位置的方法，并与其他坐标进行互相转化。他坐标进行互相转化。贝贝努利努利. .于于16911691年年教师学报教师学报最先发表最先发表了有关了有关极坐标系极坐标系的理论的理论. .贝努利贝努利( (瑞士瑞士) )1654-17051654-1705牛牛 顿顿( (英国英国) )1642-17271642-1727极坐标系的创立：极坐标系的创立：函数函数 的图象（

5、的图象（3 3）)sin( xAyOXM(x，y)xy平面直角坐标系平面直角坐标系OXYM(x，y)y要素：要素：坐标轴、坐标原点、坐标轴、坐标原点、 正方向、单位长度正方向、单位长度1.2 1.2 极坐标系极坐标系 函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点。极点。 引一条射线引一条射线OX，叫做，叫做极轴。极轴。再选定一个再选定一个长度单位长度单位和和角度单位角度单位及及它的正方向它的正方向（通常取逆时针方向）。（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系。极坐标系。XO 什么是极坐标系？什么是极坐标系？1.

6、2 1.2 极坐标系极坐标系 函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAyXOM 叫做点叫做点M M的的极径，极径， 叫做点叫做点M M的的极角，极角，有序数对（有序数对（ ， ）就叫做）就叫做M M的的极坐标。极坐标。 如何在极坐标系内表示出一点的极坐标？如何在极坐标系内表示出一点的极坐标？特别规定：特别规定： 当当M M在在极点极点时，它的极坐标中时，它的极坐标中 =0=0， 可可以取以取任意值任意值。一般地一般地, ,不做特殊说明时不做特殊说明时, ,我们认我们认为为 0,0, R1.2 1.2 极坐标系极坐标系 函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy例例1、 如图

7、，写出各点的极坐标：如图，写出各点的极坐标：。Ox ABCDEFGA(4,0)B(3, ) 4C(2, ) 2D(5, )5 6E(4.5, )F(6, )4 3G(7, )5 31数学运用数学运用56 43 53 2 4 函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy4(3,0)(6, 2)(3,)(5,)2355(3,)(4,)(6,)63、ABCDEFG 变式训练变式训练 在课本在课本P8的图上描下列点：的图上描下列点：小结小结由极坐标描点的步骤：由极坐标描点的步骤： (1) 先按先按极角极角找到点所在射线；找到点所在射线； (2) 在此射线上按在此射线上按极径极径描点描点.思考思

8、考: 平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy表示的点有什么关系？在极坐标系中)26,4(),46,4(),26,4(),6,4(,.1DCBAA.(3, ) B. (3, ) C. (3, ) D. (3, ) 666132. 2. 在极坐标系中，与点(3, )重合的点是( )6567B1.2 1.2 极坐标系极坐标系 重合重合函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy33一点的极坐

9、标有否统一的表达式？一点的极坐标有否统一的表达式？11建立一个极坐标系需要哪些要素？建立一个极坐标系需要哪些要素？无数，极角有无数个。无数，极角有无数个。有。（有。（，2k+）极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。22极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？KZ1.2 1.2 极坐标系极坐标系 函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy1).在直角坐标系下：在直角坐标系下：（1 1）给定（）给定（ , , ）, ,就可以在就可以在极坐标极坐标平面内确定唯一的一点平面内确定唯一的一点M M。（2 2）给

10、定平面上一点）给定平面上一点M M，但却有无数个极坐标与之对应。，但却有无数个极坐标与之对应。限定条件限定条件0,02能否附加限定条件使平面内的点和极坐标能否附加限定条件使平面内的点和极坐标一一对应一一对应呢呢? ? 极坐标与直角坐标在刻画点的位置时有极坐标与直角坐标在刻画点的位置时有何区别？何区别？点点 坐标（坐标（x,y）一一对一一对应应2).极坐标系下：极坐标系下：OXM(,)1.2 1.2 极坐标系极坐标系 函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy 你能把点的直角坐标和极坐标进行互相你能把点的直角坐标和极坐标进行互相 转化么？转化么？1.2 1.2 极坐标系极坐标系 函数函

11、数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy1、平面内的一个点的直角坐标是(1, )，3这个点如何用极坐标表示?M（1, )3Oxy解：设点解：设点M M的极坐标为的极坐标为(,)(,)，23122 ）（ 313tan 所以点所以点M M的直角坐标为的直角坐标为 M M（2 2， ）. .32、平面内的一个点的极坐标是(2, )这个点如何用直角坐标来表示?31.2 1.2 极坐标系极坐标系 函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy 你能把直角坐标和极坐标进行互相转化么？你能把直角坐标和极坐标进行互相转化么？OxyM（x,y)极坐标与直角坐标的互化关系式极坐标与直角坐标的互化关系式

12、:设M是平面内任意一点，它的直角坐标是 ，极坐标是( , )x y( , ) cos ,sinxy222,tan(0)yxyxx互化公式的三个前提条件：互化公式的三个前提条件：1. 1. 极点与直角坐标系的原点重合极点与直角坐标系的原点重合; ;2. 2. 极轴与直角坐标系的极轴与直角坐标系的x x轴的正半轴重合轴的正半轴重合; ;3. 3. 两种坐标系的单位长度相同两种坐标系的单位长度相同. .1.2 1.2 极坐标系极坐标系 函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy1.2 1.2 极坐标系极坐标系 1、将点M的极坐标（5， ）化成直角坐标为32)3, 1 ( )3, 2.(A)

13、34, 2.(B)3, 2.(C)34, 2.(D2、点P的直角坐标为 ，则点P的极坐标为（ ），（23525C函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy1.2 1.2 极坐标系极坐标系 1、已知A（3， ），B（4， ），求线段AB的长度。632除了你已经使除了你已经使用的方法以外用的方法以外，你还会用其，你还会用其他方法解决么他方法解决么？如果上题中的坐标改为A（3， ），B（5，）呢？3你能给出极坐标系下的两点间的距离公式么？你能给出极坐标系下的两点间的距离公式么？221212122cos() 6| |AB则），（），（2211BA若函数函数 的图象（的图象（3 3）)sin( xAy 1