概率与统计43

1、4.34.3对多维随机变量，对多维随机变量，随机变量的数学期望和方差只反随机变量的数学期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，映了各自的平均值与偏离程度，并没能反映随机变并没能反映随机变量之间的关系量之间的关系.本节将要讨论的协方差是反映随机本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间依赖关系的一个数字特征变量之间依赖关系的一个数字特征.一、协方差的定义一、协方差的定义定义定义设设),(YX为二维随机向量，为二维随机向量， 若若)()(YEYXEXE 存在，存在，则称其为随机变量则称其为随机变量X和和Y的的协方差协方差， 记为记为),cov(YX即即).()(),cov(YEYXEXEYX 按定义

2、，按定义，其概率分布为其概率分布为), 2 , 1,(, jipyYxXPijii则则.)()(),cov(, jiijjipYEyXExYX),(YX为为离型随机向量离型随机向量，若若若若),(YX为为连续型随机向量连续型随机向量， 其概率密度为其概率密度为),(yxf则则),cov(YX .),()()(dxdyyxfYEyXEx此外，此外，利用数学期望的性质，利用数学期望的性质， 易将协方差的计算易将协方差的计算化简化简.)()(),cov(YEYXEXEYX )()()()()(XEYEYEXEXYE )()(YEXE ).()()(YEXEXYE 特别地，特别地，. 0),cov(

3、YX有有X与与Y独立时，独立时，当当二、协方差的性质二、协方差的性质1. 协方差的基本性质协方差的基本性质(1);(),cov(XDXX (2);,cov(),cov(XYYX (3),cov(),cov(YXabbYaX 常数；常数；(4), 0),cov( XC(5);,cov(),cov(),cov(2121YXYXYXX 其中其中ba,是是为任意常数；为任意常数；C(6)当当X与与Y相互独立，相互独立，. 0),cov( YX则则2. 随机变量和的方差与协方差的关系随机变量和的方差与协方差的关系),cov(2)()()(YXYDXDYXD 特别地，特别地， 若若X与与Y相互独立，相互独

4、立，).()()(YDXDYXD 注注： 上述结果可推广至上述结果可推广至n维情形：维情形：1112()()cov(,);nniiijiiij nDXD XXX 则则 若若nXXX,21两两独立，两两独立， niiniiXDXD11);()(则有则有可以证明：可以证明：若若YX,的方差存在，的方差存在， 则则)()(),cov(YEYXEXEYX . )()(YDXD 例例1已知离散型随机向量已知离散型随机向量),(YX的概率分布如右表的概率分布如右表, ,求求).,cov(YX1 . 0015. 021 . 005. 03 . 0102 . 01 . 00201 XY解解容易求得容易求得X的

5、概率分的概率分, 3 . 00 XP,45. 01 XP;25. 02 XPY的概率分布为的概率分布为,55. 01 YP,25. 00 YP, 2 . 02 YP布为布为例例1已知离散型随机向量已知离散型随机向量),(YX的概率分布如右表的概率分布如右表, ,求求).,cov(YX1 . 0015. 021 . 005. 03 . 0102 . 01 . 00201 XY解解计算得计算得0202 . 0001 . 0)1(0)( XYE1 . 0215 . 0013 . 0)1(1 1 . 02200215. 0)1(2 . 0 2 . 0225. 0055. 0)1()( YE.15. 0

6、 于是有于是有25. 0245. 013 . 00)( XE,95. 0 于是于是)()()(),cov(YEXEXYEYX .1425. 015. 095. 0 0.30.450.250.550.250.2YX例例2 设连续型随机变量设连续型随机变量),(YX的密度函数为的密度函数为, 010,8),( 其它其它yxxyyxf求求).,cov(YX解解:由由),(YX的密度函数可求得其边缘密度函的密度函数可求得其边缘密度函数分别为数分别为: :, 010),1(4)(2 其它其它xxxxfX, 010,4)(3 其它其它yyyfY于是于是 dxxxfXEX)()( 102)1(4dxxxx,

7、15/8 dyyyfYEY)()( 1034dyyy, 5/4 dxdyyxxyfXYE),()( 1108xdyxyxydx, 9/4 从而从而)()()(),cov(YEXEXYEYX ,225/4 三、相关系数的定义三、相关系数的定义协方差是对两个随机变量的协同变化的度量，协方差是对两个随机变量的协同变化的度量，其大小其大小在一定程度上反映了在一定程度上反映了X和和Y相互间的关系，相互间的关系，但它还受但它还受X与与Y本身度量单位的影响本身度量单位的影响. 例如，例如，统计关系与统计关系与X与与Y之间的之间的 统计关系应该是一样的，统计关系应该是一样的，但其协方差却扩大了但其协方差却扩大

8、了2k倍，倍，即即),cov(),cov(2YXkkYkX kX与与kY之间的之间的为避免随机变量本身度量单位不同而影响它们相互为避免随机变量本身度量单位不同而影响它们相互关系的度量，关系的度量， 可将每个随机变量可将每个随机变量标准化标准化， 即取即取,)()(,)()(YDYEYYXDXEXX 并将并将),cov( YX作为作为X与与Y之间相互关系的一种度之间相互关系的一种度量量相关系数的定义相关系数的定义定义定义 设设),(YX为二维随机向量，为二维随机向量，, 0)( XD, 0)( YD称称)()(),cov(YDXDYXXY 为随机变量为随机变量X和和Y的的相关系数相关系数， 有时

9、也记有时也记XY 为为. 特别地，特别地，当当0 XY 时，时，称称X与与Y不相关不相关.四、相关系数的性质四、相关系数的性质1.; 1 XY 2.若若X和和Y相互独立，相互独立，注意到此时注意到此时, 0),cov( YX易见结论成立易见结论成立. 注：注：X与与Y相互独立相互独立X与与Y不相关不相关.(参见例参见例3-4）.; 0 XY 则则3.若若, 0)(, 0)( YDXD则则1 XY 存在常数存在常数),0(, bba使使, 1 baXYP而且而且0 a时，时，. 1 XY 注注： 相关系数刻画了相关系数刻画了X和和Y间间“线性相关线性相关”的的 程度程度.XY 的值越接近于的值越

10、接近于1，Y与与X线性相关程度越高；线性相关程度越高；XY 的值越接近于的值越接近于0，Y与与X线性相关程度越弱；线性相关程度越弱；1 XY 时，时，Y与与X有严格线性关系；有严格线性关系；0 XY 时，时，Y与与X无线性关系；无线性关系；这里注意：这里注意：只说明只说明Y与与X没有线性没有线性关系关系. 并不能说明并不能说明Y与与X之间没有其它函数关系之间没有其它函数关系.与与从而不能推出从而不能推出YX独立独立.0 XY 时，时，当当例例3设设),(YX的分布律为的分布律为14/14/14/14/12/14/1004/142/104/14/1012112iixYPyYPYX 易知易知, 0

11、)( XE, 2/5)( YE, 0)( XYE于是于是, 0 XY YX,不相关不相关. .这表示这表示YX,不存不存在线性关系在线性关系, ,但但,1201, 2 YPXPYXP知知YX,不是相互独立的不是相互独立的.事实上事实上, ,X和和Y具有关系具有关系: :,2XY Y的值完全可由的值完全可由X的值所确定的值所确定. .例例4 设设 服从服从, 上的均匀分布上的均匀分布, , 且且,sin X cos Y判断判断X与与Y是否不相关是否不相关, , 是否独立是否独立.解解 由于由于, 0sin21)( dXE, 0cos21)( dYE而而. 0cossin21)(2 dXYE因此因

12、此),()()(YEXEXYE 从而从而X与与Y不相关不相关. . 但由于但由于X与与Y满足关系满足关系: :122 YX所以所以X与与Y不独立不独立.例例5 已知已知),3, 1(2NX),4, 0(2NY且且X与与Y的相关系数的相关系数.21 XY 设设,23YXZ 求求)(ZD及及.XZ 解解因因,3)(2 XD,4)(2 YD且且XYYDXDYX )()(),cov( 2143, 6 所以所以 2,3cov2)(41)(91YXYDXD 23)(YXDZD),cov(21312)(41)(91YXYDXD , 7 例例5 已知已知),3, 1(2NX),4, 0(2NY且且X与与Y的相

13、关系数的相关系数.21 XY 设设,23YXZ 求求)(ZD及及.XZ 解解 因因,3)(2 XD,4)(2 YD且且),cov(YX, 6 所以所以)(ZD, 7 又因又因 23,cov),cov(YXXZX 2,cov3,covYXXX1132cov(,)cov(, )X XX Y, 6),cov(21)(31 YXXD例例5 已知已知),3, 1(2NX),4, 0(2NY且且X与与Y的相关系数的相关系数.21 XY 设设,23YXZ 求求)(ZD及及.XZ 解解 因因,3)(2 XD,4)(2 YD且且),cov(YX, 6 所以所以)(ZD, 7 又因又因 23,cov),cov(Y

14、XXZX, 6),cov(21)(31 YXXD故故.772736)()(),cov( ZDXDZXXZ 例例6 设二维随机变量设二维随机变量),(),(2121 NYX求相关系数求相关系数.XY 解解根据二维正态分布的边缘概率密度知根据二维正态分布的边缘概率密度知,)(1 XE,)(2 YE,)(21 XD,)(22 YD而而 dxdyyxfxxYX),()(),cov(21 )(12121221 yx.2)()1(21exp2121211222dxdyxxy 例例6 设二维随机变量设二维随机变量),(),(2121 NYX求相关系数求相关系数.XY 解解 令令,1111222 xyt,11

15、 xu则有则有 tuYX2211(21),cov( dtdueutu2/ )(22122) dtedueutu22221222 ,22221 即有即有,),cov(21 YX于是于是.)()(),cov( YDXDYXXY若若),(YX服从二维正态分布服从二维正态分布, , 则则X与与Y相互独立相互独立,当且仅当当且仅当X与与Y不相关不相关. .注注: : 从本例的结果可见从本例的结果可见, , 二维正态随机变量二维正态随机变量,(X)Y的分布完全由的分布完全由X和和Y各自的数学期望、各自的数学期望、方差以及方差以及它们的相关系数所确定它们的相关系数所确定. . 此外此外, , 易见有结论易见

16、有结论: :五、矩的概念五、矩的概念定义定义 设设X和和Y为随机变量，为随机变量，lk,为正整为正整数，数，)(kXE为为k阶原点矩阶原点矩 (简称简称k阶矩阶矩);)(kXEXE 为为k阶中心矩阶中心矩)(kXE为为k阶绝对原点矩阶绝对原点矩；)(kXEXE 为为k阶绝对中心矩阶绝对中心矩；称称()klE X Y为为X和和Y的的lk 阶混合矩阶混合矩;() ( ) klEXE XYE Y为为X和和Y的的lk 混合中心矩混合中心矩.矩的概念矩的概念注注: 由定义可见：由定义可见：(1)X的数学期望的数学期望)(XE是是X的一阶原点矩；的一阶原点矩；(2)X的方差的方差)(XD是是X的二阶中心矩；的二阶中心矩；(3) 协方差协方差),(YXCov是是X与与Y的二阶混合中的二阶混合中心矩心矩.六、协方差矩阵六、协方差矩阵将二维随机变量将二维随机变量),(21XX的四个二阶中心矩的四个二阶中心矩,)(21111XEXEc ,)(22222XEXEc ),()(2