二项式定理（课堂PPT）

1、1.3.1二项式定理（一）二项式定理（一）(a+b)2 (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数.考虑b: 每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22(a+b)2 = a2 +2ab+b2 C20 a2 + C21 ab+ C22 b2(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3对对(a+b)2展开式的分析展开式的分析(a+b)4 (a+b) (

2、a+b) (a+b) (a+b)？每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的系数为C40恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44则 (a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b42)你能分析说明各项前的系数吗？(a+b)n=?a4 a3b a2b2 ab3 b41)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？二项展开式定理*C 110NnbbaCbaCaCbannnkknk

3、nnnnnn每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1恰有2个取b的情况有Cn2 种，则an-2b2前的系数为Cn2.恰有k个取b的情况有Cnk 种，则an-kbk前的系数为Cnk.恰有n个取b的情况有Cnn 种，则bn前的系数为Cnn右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式Cnk an-kbk：二项展开式的通项，记作Tk+1Cnk ： 二项式系数各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2+ +Cnk xk + xn注例1.126

4、的展开式求xx661212xxxx解63121xx分析:先化简再运用公式61524336663)(2 )(2 )(2 )xCxCxCxx1=(24256666(2 )(2 )CxCxC32236012164192240160 xxxxxx=解:练习411x展开4443342241441111111xCxCxCxCx43214641xxxx例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项注：注：1)注意对二项式定理的灵活应用 2)注意区别二项式系数与项的系数的概念二项式系数：Cnr；项的系数：二项式系数与数字系数的积 3)求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开第4项的二项式系数第4项的系数1

5、999219931( )()( )333rrrrrrrrrxTCCxx 06.rr1由9-r-得269 66791( )322683TC解:9333xx求的展开式中x 的系数，常数项,有理项10例例1、计算：、计算：（1）（2）5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)xxxxx12124.2nnnnnCCC例例2、求、求 的展开式中的的展开式中的 系数。系数。64(1) (1)xx3x例例3、求、求 展开式中的常数项。展开式中的常数项。5231(3)xxx 11三项式转化为二项式三项式转化为二项式817(1) xx例 求展开式中的常数项解：三项式不能用二项式定理解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式必须转化为二项式88 1)1()11(xxxx8878718808)1()1()