高三导数应用的题型与方法

1、导数应用的题型与方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。熟记基本导数公式（c,x (m为有理数)，的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则会求某些简单函数的导数。了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。三、双基透视导数是微

2、积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。2导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。3曲线的切线 用割线的极限位置来定义了曲线的切线切线方程由曲线上的切点坐标确定，设为曲线上一点，过点的切线方程为：4瞬时速度用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度，5导数的定

3、义对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)x是自变量x在 处的增量(或改变量)(2)导数定义中还包含了可导的概念，如果x0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导，才能得到f(x)在点处的导数(3)由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(a)求函数的增量；(b)求平均变化率；(c)取极限，得导数。6导数的几何意义函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率由此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为特别地，

4、如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为7、 导数与函数的单调性的关系与为增函数的关系。能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，是为增函数的充分不必要条件。当时，与为增函数的关系。若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。当时，是为增函数的充分必要条件。与为增函数的关系。为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单

5、调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间，否则，不能合并，区间之间要用逗号隔开。8、已知 （1）若恒成立 为上 对任意 不等式

6、恒成立（2）若恒成立 在上 对任意不等式 恒成立四、热点题型分析题型一：基本导数公式应用：例1 求下列式子的导数: , 题型二：利用导数几何意义求切线方程例2已知函数，当=2时，求曲线=()在点(1，)处的切线方程；解：（I）当时， 由于所以曲线处的切线方程为。即例3.在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（1）当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0例4.曲线y=x3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点（3，27）处切线的

7、方程为y=27x54，此直线与x轴、y轴交点分别为（2，0）和（0，54），切线与坐标轴围成的三角形面积是S=×2×54=54.例5.已知曲线C：y=x33x2+2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点（x0，y0）（x00），求直线l的方程及切点坐标.剖析：切点（x0，y0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.解：直线过原点，则k=（x01）.由点（x0，y0）在曲线C上，则y0=x033x02+2x0，=x023x0+2.又y=3x26x+2，在（x0，y0）处曲线C的切线斜率应为k=（x0）=3x026x0+2.x023x0+2=

8、3x026x0+2.整理得2x023x0=0.解得x0=（x00）.这时，y0=，k=.因此，直线l的方程为y=x，切点坐标是（，）.评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.例6.若直线y=3x+1是曲线y=x3a的一条切线，求实数a的值.解：设切点为P（x0，y0），对y=x3a求导数是=3x2，3x02=3.x0=±1.（1）当x=1时，P（x0，y0）在y=3x+1上，y=3×1+1=4，即P（1，4）.又P（1，4）也在y=x3a上，4=13a.a=3.（2）当x=1时，P（x0，y0）在y=3x+1上，y=3×（1）+1=2，即P

9、（1，2）.又P（1，2）也在y=x3a上，2=（1）3a.a=1.综上可知，实数a的值为3或1.例7已知函数，设，记曲线在点处的切线为。求的方程；解：（1）的导数，由此得切线的方程，题型三：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。 例8. 已知函数，。求函数的单调区间；【解析】（）（i）由得=，当和时，；当时，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。例9.已知函数，求()的单调区间。解：当时，因此在区间上，；在区间上，；所以的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，得;因此，在区间和上，；在区间上，；即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，.的递增区间为当时，由，得；因此，在区间和上

10、，在区间上，；即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为。例10. 已知函数,且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；依题意,得由.从而令当a>1时, 当x变化时，与的变化情况如下表：x+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.例11.设函数。（1）当a=1时，求的单调区间。（2）若在上的最大值

11、为，求a的值。【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 解：对函数求导得：，定义域为（0，2）（1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当a=1时，令当为增区间；当为减函数。（2） 区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值。当有最大值，则必不为减函数，且>0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。例12.已知函数其中实数。（I） 若a=-2，求曲线在点处的切线方程；（II） 若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。例13.已知f（x）=2ax+lnx在x=1,x=处取得极值.（1）求a、b的值；（2）若对x,4时，f（x

12、）c恒成立，求c的取值范围.解:（1）f（x）=2ax+lnx,f（x）=2a+.f（x）在x=1与x=处取得极值，f（1）=0,f（）=0,即解得所求a、b的值分别为1、1.（2）由（1）得f（x）=2+= （2x2+x1）=（2x1）（x+1）.当x,时，f（x）0;当x,4时，f（x）0.f（）是f（x）在,4上的极小值.又只有一个极小值，f（x）min=f（）=3ln2.f（x）c恒成立，cf（x）min=3ln2.c的取值范围为c3ln2.例14.已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+2的图象关于点A（0，1）对称.（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）+,且g（x

13、）在区间（0，2上为减函数，求实数a的取值范围.解:（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x,y），点（x,y）关于点A（0，1）的对称点（x,2y）在h（x）图象上.2y=x+2.y=x+,即f（x）=x+.（2）g（x）=x+ ,g（x）=1,g（x）在（0，2上递减，10在x（0,2时恒成立,即ax21在x（0,2）时恒成立.x（0,2时，（x21） max=3,a3.例15.已知函数的切线方程为y=3x+1 （）若函数处有极值，求的表达式； （）在（）的条件下，求函数在3，1上的最大值； （）若函数在区间2，1上单调递增，求实数b的取值范围 解：（1）由过的切线方程为： 而过故 由得 a

14、=2，b=4，c=5 （2）当 又在3，1上最大值是13。 （3）y=f(x)在2，1上单调递增，又由知2a+b=0。 依题意在2，1上恒有0，即 当；当；当 综上所述，参数b的取值范围是例16.已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)设g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)设(x)=g(x)f(x),试问 是否存在实数,使(x)在(,1)内为减函数，且在(1，0)内是增函数 解 (1)由题意得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=(x2+1)2+c,ff(x)=f(x2+1)(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,x2+c=x2+1,c=1

15、f(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1(2)(x)=g(x)f(x)=x4+(2)x2+(2)若满足条件的存在，则(x)=4x3+2(2)x函数(x)在(,1)上是减函数，当x1时，(x)0即4x3+2(2)x0对于x(,1)恒成立2(2)4x2,x1,4x242(2)4,解得4又函数(x)在(1,0)上是增函数当1x0时，(x)0即4x2+2(2)x0对于x(1,0)恒成立2(2)4x2,1x0,44x202(2)4,解得4故当=4时，(x)在(,1)上是减函数，在(1,0)上是增函数，即满足条件的存在 例17.已知三次函数在和时取极值，且(1) 求函数

16、的表达式；(2) 求函数的单调区间和极值；(3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件解：(1) ，由题意得，是的两个根，解得，再由可得(2) ，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，函数在区间上是增函数；在区间上是减函数；在区间上是增函数函数的极大值是，极小值是(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到的，所以，函数在区间上的值域为（）而，即于是，函数在区间上的值域为令得或由的单调性知，即综上所述，、应满足的条件是：，且例18.已知函数f(x)=x33x2axb在x(1，f(1)处的切线与直线12xy10平行（1）求实数a的值；（2）求f(x)的单调递减区间；（3

17、）若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解：（1） f (x)3x26xa f (1)3a=12,a=9 （2） f (x)3x26x9令f (x)<0，解得x<1或x>3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，）（3）因为f(2)81218b=2b，f(2)81218b22b，所以f(2)>f(2) 因为在（1，3）上f (x)>0，所以f(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22b20，解得 b2 故f(x)=x33x29x2

18、，因此f(1)13927，即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7 例19.已知函数在处取得极值，（1）用表示；（2）设函数如果在区间上存在极小值，求实数的取值范围.解：（1） （2）由已知令0若,则当时，>0；当时，.所以当时，在有极小值.同理当时，即时，在有极小值.综上所述：当时，在有极小值.例20.已知(1)当时, 求证在内是减函数;(2)若在内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.解: (1) , 又二次函数的图象开口向上,在内, 故在内是减函数.(2)设极值点为则当时, 在内 在内即在内是增函数, 在内是减函数.当时在内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 当时, 同理可知,

19、在内且只有一个极值点, 且是极小值点. 当时, 由(1)知在内没有极值点. 故所求a的取值范围为例21.：设函数（1）若的图象与直线相切，切点横坐标为，且在处取极值，求实数 的值；（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点 解：（1） 由题意，代入上式，解之得：a=1，b=1（2）当b=1时，因故方程有两个不同实根不妨设，由可判断的符号如下：当；当；当因此是极大值点，是极小值点，当b=1时，不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点。题型四：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围例22.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=±1时取得极值，且f(1

20、)=1 (1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由 命题意图 利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入 是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解 知识依托 解题的成功要靠正确思路的选择 本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化 这是解答本题的闪光点 错解分析 本题难点是在求导之后，不会应用f(±1)= 例20：已知为实数，函数（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围（2）若，（）求函数的

21、单调区间（）证明对任意的，不等式恒成立解：，函数的图象有与轴平行的切线，有实数解 ，所以的取值范围是，由或；由的单调递增区间是；单调减区间为易知的最大值为，的极小值为，又在上的最大值，最小值对任意，恒有函数在区间内可导，导函数是减函数，且。0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍 技巧与方法 考查函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x=±1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值 解 (1)f(x)=3ax2+2bx+cx=±1是函数f(x)的极值点，x=±1是方程f(x)=0,即3ax2+2bx+c

22、=0的两根 由根与系数的关系，得又f(1)=1,a+b+c=1, 由解得a=,(2)f(x)=x3x,f(x)=x2=(x1)(x+1)当x1或x1时，f(x)0当1x1时，f(x)0函数f(x)在(,1)和(1,+)上是增函数，在(1，1)上是减函数 当x=1时，函数取得极大值f(1)=1,当x=1时，函数取得极小值f(1)=1 例23：设在上是单调函数.（1） 求实数的取值范围；解：（1） 若在上是单调递减函数，则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.若在上是单调递增函数，则，由于.从而0<a3.例24：设函数。（1） 若，求的单调区间；（2） 若当时，求的取值范围解：（

23、1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.例25：设函数 （1）求函数的单调区间、极值.（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.解：（1）=，令得 列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a（3a，+）-0+0-极小极大 在（a，3a）上单调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减时，时， （2），对称轴，在a+1，a+2上单调递减 ，依题， 即解得，又 a的取值范围是例26：设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。 解：，判别式 若，当时，在上为

24、增函数，所以符合题意。 若，恒有，在上为增函数，所以符合题意。 若即都是增函数，只须，又所以 综上：的取值范围为例27：已知函数，其中是的导函数（）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线 只有一个公共点解：（）由题意 令，对，恒有，即 即 解得故时，对满足的一切的值，都有（）当时，的图象与直线只有一个公共点当时，列表： 极大极小又的值域是，且在上单调递增当时函数的图象与直线只有一个公共点。当时，恒有由题意得即解得 ；综上，的取值范围是例28已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间与极值（）解：当时，又，所以

25、，曲线在点处的切线方程为，即（）解：由于，以下分两种情况讨论（1）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数函数在处取得极大值，且函数在处取得极小值，且题型五：利用导数研究方程的根例29：已知平面向量=(,1). =(,).（1）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t23)，=-k+t，试求函数关系式k=f(t) ；(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)k=0的解的情况. 解

26、：(1)，=0 即+(t2-3) ·(-k+t)=0. 整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)·=0 =0，=4，=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数. 于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). 令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)极大值极小值当t=1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.当t

27、=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=函数f(t)=t(t2-3)的图象如图1321所示，可观察出：(1)当k或k时,方程f(t)k=0有且只有一解；(2)当k=或k=时,方程f(t)k=0有两解；(3) 当k时,方程f(t)k=0有三解. 例30：设为实数，函数（）求的极值；（）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点解：令，当变化时，的变化情况如下表所示+00+极大值极小值所以的极大值=，极小值。（2），所以当时曲线与轴仅有一个交点。所以当时曲线轴仅有一个交点。例31： 已知函数.（）讨论函数的单调性；（）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取

28、值范围.解（）由题设知.令.当（i）a>0时，若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；（i i）当a0时，若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数.（）由（）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.因为线段AB与x轴有公共点，所以.即所以.故.解得1a0或3a4.即所求实数a的取值范围是-1，0)3，4.题型六：导数与不等式的综合例32：设为实数，函数。 ()求的单调区间与极值；()求证：当且时，。例33：设函数（）证

29、明：当时，；（）设当时，求a的取值范围【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【参考答案】例34：设，是曲线在点处的切线方程，并设函数。（I）用，表示；（II）证明：当时，；解：（I）；（II）令，令，因递减，所以递增，当当，所以是唯一极值点，也是最值点，所以得；当时，；题型七：导数与解析几何、立体几何的结合。例35.： 所以如图所示，曲线段OMB是函数的图像，轴于A，曲线段OMB上一点处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q.（1）试用表示切线PQ的方程；（2）设QAP的面积为，若函数在上单调递减，试求出的最小值；O0OPMBQxyA(6, 0)（3），试求出点P横坐标的取值范围.解：（1）切线PQ的方程 （2）令y=0得 由解得 . 又0<t<6, 4<t<6， g (t)在(m, n)上单调递减，故（m, n） （3）当在（0，4）上单调递增， P的横坐标的取值范围为. 例36：用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大