相似三角形（说题比赛）

1、北干初中北干初中 张韵芸张韵芸一一道道课课本本习习题题的的拓拓展展探探究究小题不小，规律来找小题不小，规律来找一一 习题来源习题来源如图，如图，ABABACAC于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC。请说明理由。请说明理由。 浙教版八年级浙教版八年级数学数学(上册上册) 2.7直角直角三角形全等的判定课后作业题第三角形全等的判定课后作业题第2题题(第第47页页) ： 已知条件已知条件：1 1、一组边相等（、一组边相等（AP=PCAP=PC）2 2、三个角相等、三个角相等（AB

2、P=APC=PDC=90ABP=APC=PDC=90） A+1= 901+2= 902+C=9012A=2,C=1结论：结论：ABP PDC 从学生熟悉而又简单的问从学生熟悉而又简单的问题出发，通过不断演变，逐渐题出发，通过不断演变，逐渐深入研究，不仅有利于消除学深入研究，不仅有利于消除学生学习的畏难情绪，让学生积生学习的畏难情绪，让学生积极、主动地投入到数学学习中，极、主动地投入到数学学习中，而且有利于帮助学生全面系统而且有利于帮助学生全面系统复习已掌握的数学知识、思想复习已掌握的数学知识、思想和方法，有利于提高学生综合和方法，有利于提高学生综合应用解决问题的能力。应用解决问题的能力。基本图

3、形基本图形的构造与的构造与应用应用条件、条件、结论结论的互的互逆变逆变换换基本图形的基本图形的变化拓展变化拓展结论的延结论的延伸与拓展伸与拓展条件的弱化条件的弱化二二 问题演变问题演变如图，如图，ABABACAC于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC。请说明理由。请说明理由。观察图形猜想观察图形猜想AB、BD、CD之间的关系，之间的关系，并证明你的猜想。并证明你的猜想。 l例例1 1（0909四川成都）已知四川成都）已知A A、D D是一段是一段圆弧圆弧上的两点，且在直线上的

4、两点，且在直线L L的同的同侧，分别过这两点作侧，分别过这两点作L的垂线，垂足为的垂线，垂足为B、C，E是是BC上一动点，连结上一动点，连结AD、AE、DE，且，且AED=90。（1）如图）如图，如果，如果AB=6,BC=16,且且BE:CE=1:3，求，求AD的长。的长。 （2）如图）如图，若点，若点E恰为这段圆弧的恰为这段圆弧的圆心圆心，则线段，则线段AB、BC、CD之之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。再探究再探究：当：当A、D分别在直线分别在直线两侧两侧且且ABCD，而其余条件不变时，线，而其余条件不变时，线段段AB、BC、CD

5、之间又有怎样的等量关系之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证？请直接写出结论，不必证明。明。（1）经历观察猜想到）经历观察猜想到验证的解决问题方法；验证的解决问题方法；培养学生探究能力与解培养学生探究能力与解决问题的能力。决问题的能力。 （2）让题设条件与图）让题设条件与图形形“动动”起来，克服思起来，克服思维定势和图形位置定势，维定势和图形位置定势，使学生习惯于使学生习惯于“开放开放”与与“探究探究”的思维。的思维。 E 例例2：如图，在笔直的公路：如图，在笔直的公路L的同侧有的同侧有A、B两个两个村庄，已知村庄，已知A、B丙村分别到公路的距离丙村分别到公路的距离AC=3km，BD=

6、4km。现要在公路上建一个汽车站。现要在公路上建一个汽车站P，使该车，使该车站到站到A、B两村的距离相等，两村的距离相等，（1）试用直尺和圆规在图中作出点）试用直尺和圆规在图中作出点P；（2）若连接）若连接AP、BP，测得，测得APB=90，求，求A村到村到车站的距离。车站的距离。CDABLP添加应用背景添加应用背景渗透数形结合思想、培养渗透数形结合思想、培养应用数学知识解决问题的应用数学知识解决问题的能力能力 。 例例3：（：（06山东德州）两个全等的含山东德州）两个全等的含30、60角的三角板角的三角板DEA和三角板和三角板ACB如图所示放如图所示放置，置，E，A，C三点在一条直线上，连结

7、三点在一条直线上，连结BD，取，取的的BD中点中点M，连结，连结EM，EC，试判断的，试判断的CME形状，并说明理由形状，并说明理由培养思维的培养思维的灵活性。灵活性。 如图，如图，ABABACAC于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上一点，且上一点，且AP=PCAP=PC，APAPPCPC，则，则ABPABP PDCPDC。请说明理由。请说明理由。 弱化条件弱化条件“线段相等线段相等”则结论由则结论由三角形的全等三角形的全等弱化弱化为为三角形相似三角形相似。演变演变命题命题1 当一个命题成立的条件当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减较为丰富时，可考虑减少其中

8、一两个条件，或少其中一两个条件，或将其中一两个条件一般将其中一两个条件一般化，并确定相应的命题化，并确定相应的命题结论，从而加工概括成结论，从而加工概括成新的命题以求拓展应用。新的命题以求拓展应用。例例4：（：（07山东）如图，已知山东）如图，已知平面直角坐标系平面直角坐标系xOy中，点中，点A（m，6），），B（n，1）为两动）为两动点，其中点，其中0m3，连结，连结OAOB，。，。（1）求证：）求证：mn=6；（2）当）当SAOB=10时，抛物线时，抛物线经过经过A，B两点且以两点且以y轴为对称轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；的关系式；（3）在（）在（

9、2）的条件下，设直）的条件下，设直线线AB交交y轴于点轴于点F，过点，过点F作直作直线线l交抛物线于交抛物线于P，Q两点，问两点，问是否存在直线是否存在直线l，使使 ？若存在，？若存在，求出直线求出直线l对应的函数关系式；对应的函数关系式；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由OBAxy:1 : 3P O FQ O FSSCD（1 1）添加直角坐标系，与函数结合，是添加直角坐标系，与函数结合，是一道代数与几何的综合题，又是一道解决一道代数与几何的综合题，又是一道解决动态的问题，考查相似三角形、动态的问题，考查相似三角形、图形与坐图形与坐标、函数等知识；标、函数等知识； （2 2）培养学生综合

10、分析问题能力、处理）培养学生综合分析问题能力、处理实际问题能力和应变能力。实际问题能力和应变能力。如图，如图， ABC和和CDE中，点中，点D在边在边BC的的延长线上，延长线上，AC=CE，ACE=B=D，则则ABC CDE 。 弱化条件弱化条件“直角直角”，则，则“全等三角形全等三角形”结论仍然成立。结论仍然成立。演变演变命题命题2 =90例例5：ABC为等边三角形，点为等边三角形，点D、E、F分分别在边别在边BC、CA、AB上，且上，且DEF也为等边也为等边三角形。三角形。（1）在图中找到除等边三角形边长相等的线）在图中找到除等边三角形边长相等的线段，证明你的结论。段，证明你的结论。（2）

11、你所证明相等的线段，可以通过怎样的）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得到？写出变换过程。变换相互得到？写出变换过程。 如图，如图， ABC和和CDE中，点中，点D在边在边BC的的延长线上，延长线上，AC=CE，ACE=B=D，则，则ABC CDE 。 同时弱化条件同时弱化条件“线段相等线段相等”、“直角直角”，则结论由则结论由三角形的全等三角形的全等弱化为弱化为三角形相似。三角形相似。演变演变命题命题3 =90 例例7： 如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，AD/BC，AB=DC=AD=6，ABC60，点，点E，F分别在线分别在线段段AD、DC上（点上（点E与点与点A、D不重合）

12、，且不重合），且BEF120，设，设AE=x，DF=y（1）求）求y与与x的函数解析式的函数解析式（2）当）当x为何值时，为何值时，y有最大值，最大值是多少？有最大值，最大值是多少？ 充分运用数形结充分运用数形结合和建立函数模合和建立函数模型求最值问题型求最值问题ACE=B=D=90 ABPPDCAP=CP B=APC=D ABP PDCACE=B=DAP=CP B=APC=D=90 ABP PDCABPPDC无论如何变换，本质是无论如何变换，本质是三个角相等，应用三角三个角相等，应用三角形相似（全等）来解决。形相似（全等）来解决。从图形运动中找出规从图形运动中找出规律，律，转化为一般的几转化

13、为一般的几何证明问题，探究何证明问题，探究解解决新问题的策略。决新问题的策略。例例4（06江西）江西） 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：两个命题：1、如图（、如图（1），在），在等边等边ABC中，中，M，N分别是分别是AC，AB上的点，上的点，BM与与CN相交于点相交于点O，若，若BON=60，则，则BM=CN；2、如图（、如图（2），在），在正方形正方形ABCD中，中，M，N分别是分别是CD，AD上的点，上的点，BM与与CN相交与点相交与点O，BON=90，则，则BM=CN；3、如图（、如图（3），在），在正五边行正五边行ABCD

14、E中，中，M，N分别是分别是CD，DE上上的点，的点，BM与与CN相交于点相交于点O，若，若BON=108，则，则BM=CN。 任务要求任务要求1、请你从、请你从1，2，3 三个命题中选择一个进行证明；三个命题中选择一个进行证明；2、请你继续完成下面的探索；、请你继续完成下面的探索； 试在图（试在图（3）中画出一条与）中画出一条与CD相等的线段相等的线段DH，使点，使点H在在正五边行的边上，且与正五边行的边上，且与CN相交所成的角是相交所成的角是108，这样的线段，这样的线段有几条？有几条？如图（如图（4），在正五边行），在正五边行ABCDE中。中。M，N分别是分别是DE，EA上的点，上的点，

15、BM与与CN相交于点相交于点O，若，若BON=108， 请问结请问结论论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，试说明。试说明。 几何综合性问题通常是由若几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，也是由若干个基本图形组合而成，因而，学生不仅要具备必需的图因而，学生不仅要具备必需的图形的分解能力，同时，还应具备形的分解能力，同时，还应具备必需的必需的辅助线构造基本图形辅助线构造基本图形的技的技能。能。 例例7：如图：如图21，MON=90，MON的内部有一个的内部有一个正方形

16、正方形AOCD，点，点A，C分别在射线分别在射线OM，ON上，点上，点B在在ON上上的任意一点，在的任意一点，在MON的内部作的内部作正方形正方形AB1C1D1。连接连接DD1，求证：，求证： ADD1=90连接连接CC1，猜一猜，猜一猜，C1CN的度数？并证明你的结论。的度数？并证明你的结论。ON上任取一点上任取一点B2，以，以AB2为边。在为边。在MON的内部作出正的内部作出正方形方形AB2C2D2，观察图形，并结合（，观察图形，并结合（1），（），（2）的结论，）的结论，请你再作出一个合理的判断。请你再作出一个合理的判断。D添加辅助线添加辅助线构造基本图构造基本图形来解决问形来解决问题的能力题的能力HI 具有较强代表性和典型性的习题是数学具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，教学不要忽视了这些小题，要问题的精华，教学不要忽视了这些小题，要善于善于“借题发挥借题发挥”，