立体几何总复习

1、立体几何总复习 1三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。（2）公理2：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。公理2和三个推论是确定平面的依据。（3）公理3、如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。如（1）在空间四点中，三点共线

2、是四点共面的_条件（2）给出命题：若Al，A，Bl，B，则l；若A，A，B，B，则AB；若l，Al，则A若A、B、C，A、B、C，且A、B、C不共线，则与重合。上述命题中，真命题是_；2直观图与三视图（1）直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：使x0y=45，所确定的平面表示水平平面。已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半。如（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（）（2）已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为_（2）三视图画法规则高平齐：主视图与左视图

3、的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等3空间直线的位置关系：（1）相交直线有且只有一个公共点。（2）平行直线在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线不在同一平面内，也没有公共点。如（1）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系_；（2）给出下列四个命题：异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；两异面直线，如果平面，那么不垂直于平面；两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线。其中正确的命题是_4判定线线平行的方法：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（

4、找一线和这两线都平行）（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。5两直线垂直的判定：转化为证线面垂直；相交垂直可以考虑勾股定理.6直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外

5、。如（1）下列命题中，正确的是、若直线平行于平面内的一条直线b,则/、若直线垂直于平面的斜线b在平面内的射影，则b、若直线垂直于平面,直线b是平面的斜线，则与b是异面直线、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持APBD1，则动点P的轨迹是_。7直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（在平面内找一条直线与已知直线平行：找一平面过已知直线与已知平面相交，则交线就是）面面平行的性

6、质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。（找一平面过已知直线与已知平面平行）另外，如下方法有时也用：、表示平面，a、b表示直线（定义法）：通常反证.（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。如（1）、表示平面，a、b表示直线，则a的一个充分不必要条件是，A、，aB、b，且abC、ab且bD、且a（2）正方体ABCD-ABCD中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN面AA1B1B。8直线和平面垂直的判定和性质：（

7、1）判定：判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面（2）性质：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。如（1）如果命题“若z，则”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_（2）已知a，b，c是直线，、是平面，下列条件中能得出直线a平面的是A、ab，其中，B、ab，C、，D、，（3）AB为O的直径，C为O上的一点，AD面ABC，A

8、EBD于E，AFCD于F，求证：BD平面AEF。9平面与平面的位置关系：（1）平行没有公共点；（2）相交有一条公共直线。10两个平面平行的判定和性质：（1）判定：判定定理：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。一面内找两相交直线与另一平面平行（线面面面）推论：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面的两条直线平行，则这两个平面平行。依据垂直于同一直线的两平面平行来判定.利用面面平行传递性采用反证法证明两平面没有公共点.（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。如（1）是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面的条件是A、是内一个三角形的

9、两条边，且B、内有不共线的三点到的距离都相等C、都垂直于同一条直线D、是两条异面直线，且（2）给出以下六个命题：垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；与同一直线成等角的两个平面平行；一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是_（3）正方体ABCD-ABCD中AB=。求证：平面AD1B1平面C1DB；求证：A1C平面AD1B1；求平面AD1B1与平面C1DB间的距离11两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：判定定理：如果一个平面经

10、过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（在一个面中找另一个面的一条垂线：在一面内作两面交线的垂线，即为所求）；定义法：找一个平面与这两个平面都垂直相交，证明两交线交角为直角；（即证二面角的平面角是直角）（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。如（1）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP的长为_；（2）在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD；（3）过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BS

11、C90，求证：平面ABC平面BSC。特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：如（1）已知直线平面，直线平面，给出下列四个命题：；。其中正确的命题是_；（2）设是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：若则；若，则；若，则或；若则。其中正确的命题是_12棱柱：（1）棱柱的分类：按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，；（2）棱柱的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱

12、柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。如（1）斜三棱柱A1B1C1ABC，各棱长为，A1B=A1C=，则侧面BCC1B1是_形，棱柱的高为_；（2）下列关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为_。13平行六面体：（1）定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；（2）几类特殊的平行六面体：平行六面体

13、直平行六面体长方体正四棱柱正方体；（3）性质：平行六面体的任何一个面都可以作为底面；平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。如长方体三度之和为a+b+c6，全面积为11，则其对角线为_14棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。如若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之

14、比为_15正棱锥：（1）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。如四面体中，有如下命题：若，则；若分别是的中点，则的大小等于异面直线与所成角的大小；若点是四面体外接球的球心，则在面上的射影是外心；若四个面是全等的三角形，则为正四面体。其中正确的是_（2）性质：正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形。如图，正棱锥的计

15、算集中在四个直角三角形（特征三角形）中：，其中分别表示底面边长、侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。如（1）在三棱锥的四个面中，最多有_个面为直角三角形（2）把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，则上层小球最高处离桌面的距离为_。特别提醒：熟练掌握正三棱锥、正四棱锥中的线面位置关系和数量位置关系。16棱台：一个棱锥被平行于底面的平面截去小锥以后所剩留部分的几何体，叫做棱台正棱台：由正棱锥截得的棱台叫正棱台正棱台的特性，尤其是正棱台的上、下底面半径、边心距和侧棱、斜高和台高所形成的三个直角梯形和两个直角三角形，在解决问题中往往起到关键的作用。直角梯形可以转化

16、为直角三角形，这四个直角三角形包含了正棱台的主要元素，底面边长、边心距、高、斜高、侧棱以及侧面与底面、侧棱与底面所成的角。应用它们之间的关系就可以解决正棱台的有关计算问题。特别提醒：由于棱台是以棱锥用平行于底面的平面截得，所以棱台与棱锥有相当密切的关系，学习中应引起足够的重视.17、直棱柱、正棱锥与正棱台的侧面积（各个侧面面积之和）：（1）直棱柱：直棱柱的侧面积底面周长侧棱长.（2）正棱锥：正棱锥的侧面积底面周长斜高。（3）正棱台：正棱台的侧面积（上底面周长+下底面周长）斜高.提醒：（1）直棱柱、正棱锥与正棱台的侧面积公式是通过其侧面展开图获得的.（2）全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，

17、故棱柱的全面积侧面积2底面积；棱锥的全面积侧面积底面积，棱台的全面积侧面积（上底面积+下底面积）.如（1）已知正四棱锥PABCD的高为4，侧棱与底面所成的角为60，则该正四棱锥的侧面积是_（2）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于_。18、柱、锥、台、球的体积：（1）柱体：体积底面积高，特别地，直棱柱的体积底面积侧棱长。如（1）设长方体的三条棱长分别为a、b、c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则等于_；（2）斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，侧棱AA1和AB、AC都成45的角，则棱柱

18、的侧面积为_，体积为_。（2）锥体：体积底面积高。特别提醒：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体）。补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是（答：1：2：3）和等积变换法(平行换点、换底)和比例(性质转换)法等.如（1）用平面去截三棱锥，与三条侧棱交于三点，若，则多面体的体积为_；19球的截面的性质：用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直如果用R和r分别表示球的半径和截面圆的半径，d表示球心到截面的距离，则，即球的半径，截面圆的半径，和球心到截面的距离组成一个直角三角形，有关球的计算问题，常归结为解这个直

19、角三角形提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。20、球的体积和表面积公式：V。如（1）在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49cm2、400cm2，则球的表面积为_；（2）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC内接于球O，求球O的表面积与体积。（3）已知直平行六面体的各条棱长均为3，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，则的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为为_21圆柱、圆锥、圆台的性质(1)圆柱的性质：是连心线垂直圆柱的底面；是三个截面的性质平行于底面的截面是与底面全等的圆；轴截面是一个以上、下底面圆的直径和母线所组成的矩

20、形；平行于轴线的截面是一个以上、下底的圆的弦和母线组成的矩形(2)圆锥的性质：平行于底面的截面圆的性质：截面圆面积和底面圆面积的比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的平方比过圆锥的顶点，且与其底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形，其面积为：易知，截面三角形的顶角不大于轴截面的顶角，事实上，由BCAB，VC=VB=VA可得AVBBVC由于截面三角形的顶角不大于轴截面的顶角所以，当轴截面的顶角90，有090，即有当轴截面的顶角90时，轴截面的面积却不是最大的，这是因为，若90180时，1sinsin0截面的面积的最大值为.圆锥的母线l，高h和底面圆R的半径组成一个直径三角形，

21、圆锥的有关计算问题，一般都要归结为解这个直角三角形，特别是关系式.(3)圆台的性质，都是从“圆台为截头圆锥”这个事实推得的，但必须明确：是连心线垂直圆柱的底面圆台的母线l，高h和上、下两底圆的半径r、R，组成一个直角梯形，且有圆台的有关计算问题，常归结为解这个直角梯形圆台的母线共点，所以任两条母线确定的截面为一等腰梯形，但是，与上、下底面都相交的截面不一定是梯形，更不一定是等腰梯形22折叠问题：要将折叠前后的两个图形对照考察，弄清所涉及的元素在折叠前后的数量关系或位置关系23几何体表面内两点间的最短距离问题：（1）柱、锥、台的表面都可以平面展开，这些几何体表面内两点间最短距离，就是其平面内展开

22、图内两点间的线段长如已知正方体的棱长为1，是的中点，是上的一点，则的最小值是_由于球面不能平面展开，所以求球面内两点间的球面距离是一个全新的方法，这个最短距离是过这两点大圆的劣弧长（2）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A、B间的距离的步骤：计算线段AB的长；计算球心角AOB的弧度数；用弧长公式计算劣弧AB的长。24“切”“接”问题：对简单多面体、旋转体的“切”“接”问题，一般是通过选择能够包含各元素间的关系的一个截面（多为轴截面），转化为平面图形或采用“等积法”来解决应特别注意截面图形与直观图的联系，并注意两者构成元素的异同对于球的内接外切问题，作适当的

23、截面既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系。25（理科）空间向量之空间角：（1）异面直线所成的角：范围：转化为相应方向向量的夹角，但必须注意角的范围，必要时进行处理设、分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角，则,（2）直线和平面所成的角：范围：；设是斜线l的方向向量，是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角,则，（平面的法向量与直线的方向向量的夹角，即为所求）（3）二面角：范围：法一、在内，在内，其方向如图，则二面角的平面角，=法二、转化为两个平面的法向量所成的角，若二面角的两个半平面的法向量都是指向二面角的内部或外部，二面角的两个半平面的法向量的夹角的补角即为所求；若二面角的两

24、个半平面的法向量一个指向二面角的内部，一个指向外部，二面角的两个半平面的法向量的夹角即为所求具体地：设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角，=，若都是指向二面角的内部或外部，则两异面直线所成的角，则,=附：空间角的几何求法（1）异面直线所成角的求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。如（1）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于_；（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD

25、1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为_；（2）直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）求法：作出直线在平面上的射影；（3）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为_（答：arcsin）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱A1B1与截面A1ECF所成的角的余弦值是_；（3）是从点引出的三条射线

26、，每两条的夹角都是，则直线与平面所成角的余弦值为_；（4）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角，则sin的值为_。（3）二面角：（1）平面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边与棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的求法：转化为求平面角；面积射影法：利用面积射影公式，其中为平面角

27、的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为_；（2）将A为60的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，则二面角A-BD-C的余弦值是_；（3）正四棱柱ABCDA1B1C1D1中对角线BD18，BD1与侧面B1BCC1所成的为30，则二面角C1BD1B1的大小为_；26（理科）空间向量之空间距：（1）点到平面的距离27你熟悉下列结论吗？三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条交线交于一点，那么第三条交线也经过这一点；从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若AOB=AOC，则点A在平面BOC上的射影在BOC的平分线上；如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也垂直于第三个平面；在三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等