（试卷）湖南省岳阳一中20152016学年高一下学期期中数学试卷 含解析

1、2015-2016学年湖南省岳阳一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=2，3，5，7，9，A=2，|a5|，7，CUA=5，9，则a的值为（）A2B8C2或8D2或82已知数列，2，则2在这个数列中的项数为（）A6B7C19D113在等差数列23n中，公差d等于（）A2B3C1D34若为第三象限角，则+的值为（）A2B2C1D15在ABC中， =， =若点D满足=（）A +B C D 6已知sincos=，且，则cossin=（）ABCD7在ABC中，a=1，B=45°，SABC=2，则A

2、BC的外接圆的直径为（）AB5C5D68若函数y=sin（x+）（0）的部分图象如图，则=（）A5B4C3D29将函数的图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）ABCD10在ABC中，D是BC的中点，|=3，点P在AD上，且满足=，则（+）=（）A4B2C2D411已知函数f（x）=e|lnx|x|，则函数y=f（x+1）的大致图象为（）ABCD12已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间5，1上的所有实根之和为（）A5B6C7D8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13若f（

3、x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=，则f（x）=14已知三条直线l1：4x+y=1，l2：xy=0，l3：2xmy=3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是15已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为16在锐角ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于，AC的取值范围为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设R是直线OP上的一点，其中O是坐标原点（）求使取得最小值时的坐标的坐标；（）对于（1）中的点R，求与夹角的余弦值

4、18如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上（1）求渔船甲的速度；（2）求sin的值19如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中ABAD，AB=BC=1且AD=AA1=2（1）求证：直线C1D平面ACD1；（2）试求三棱锥A1ACD1的体积20函数是定义在（1，1）上的奇函数，且（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t1）+f（t）021已知f（x

5、）=sin2x+2+2cos2x（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，ABC的面积为，求a的值22已知函数f（x）=Asin（x+），xR（其中A0，0，0）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为M（，3）（1）求f（x）的解析式；（2）先把函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，试写出函数y=g（x）的解析式（3）在（2）的条件下，若总存在x0，使得不等式g（x0）+2log3m成立，求实

6、数m的最小值2015-2016学年湖南省岳阳一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=2，3，5，7，9，A=2，|a5|，7，CUA=5，9，则a的值为（）A2B8C2或8D2或8【分析】求出集合A中的元素，得到|a5|=3，解出即可【解答】解：U=2，3，5，7，9，CUA=5，9，A=2，|a5|，7=2，3，7，|a5|=3，解得：a=2或8，故选：C【点评】本题考查了补集的定义，考查绝对值问题，是一道基础题2已知数列，2，则2在这个数列中的项数为（）A6B7C19D11【分析

7、】化简数列，找出规律，判断即可【解答】解：数列，2，即：数列，被开方数是等差数列，被开方数的首项为2，公差为3，2=，可得20=2+（n1）3，解得n=7故选：B【点评】本题考查等差数列的通项公式的应用，考查计算能力3在等差数列23n中，公差d等于（）A2B3C1D3【分析】由题意可得等差数列的通项公式，由公差的定义可得【解答】解：由题意可得等差数列的通项公式an=23n，公差d=an+1an=23（n+1）2+3n=3故选：D【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题4若为第三象限角，则+的值为（）A2B2C1D1【分析】由为第三象限角得到sin与cos都小于0，原式分母利用同角三角函数间

8、的基本关系及二次根式的性质化简，即可得到结果【解答】解：为第三象限角，sin0，cos0，则原式=+=11=2故选：B【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键5在ABC中， =， =若点D满足=（）A +B C D 【分析】由向量的运算法则，结合题意可得=，代入已知化简可得【解答】解：由题意可得=故选A【点评】本题考查向量加减的混合运算，属基础题6已知sincos=，且，则cossin=（）ABCD【分析】利用正弦函数与余弦函数的单调性可知当，时，则cossin0，于是可对所求关系式平方后再开方即可【解答】解：，cossin，即cossin0，设cossin

9、=t（t0），则t2=12sincos=1=，t=，即cossin=故选：D【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查正弦函数与余弦函数的单调性，判断知cossin0是关键，考查分析、运算能力，属于基本知识的考查7在ABC中，a=1，B=45°，SABC=2，则ABC的外接圆的直径为（）AB5C5D6【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将a，sinB以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理求出外接圆直径即可【解答】解：在ABC中，a=1，B=45°，SABC=2，acsinB=2，即c=4，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB=1+

10、328=25，即b=5，则由正弦定理得：d=5故选：C【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键8若函数y=sin（x+）（0）的部分图象如图，则=（）A5B4C3D2【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（）=，所以T=，所以=4故选B【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力9将函数的图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）ABCD【分析】函

11、数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），图象向左平移m（m0）个单位长度得到y=2sin（x+m）+=2sin（x+m+），所得的图象关于y轴对称，m+=k+（kZ），则m的最小值为故选B【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（x+）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键10在ABC中，D是BC的中点，|=3，点P在AD上，且满足=，则（+）=（）A4B2C2D4【分析】由题意可得

12、|=|=1，|=2，再由中点的向量表示，可得（+）=2，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求值【解答】解：由|=3，点P在AD上，且满足=，可得|=|=1，|=2，由D是BC的中点，可得2=+，即有（+）=2=2|=2×1×2=4故选D【点评】本题考查向量的数量积的定义，考查中点的向量表示形式，考查运算能力，属于中档题11已知函数f（x）=e|lnx|x|，则函数y=f（x+1）的大致图象为（）ABCD【分析】化简函数f（x）的解析式为，而f（x+1）的图象可以认为是把函数f（x）的图象向左平移1个单位得到的，由此得出结论【解答】解：函数f（x）=e|lnx|x|，当

13、x1 时，函数f（x）=x（x）=当 0x1 时，函数f（x）=（x+）=x，即 f（x）=函数y=f（x+1）的图象可以认为是把函数f（x）的图象向左平移1个单位得到的，故选A【点评】本小题主要考查函数与函数的图象的平移变换，函数y=f（x+1）的图象与函数f（x）的图象间的关系，属于基础题12已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间5，1上的所有实根之和为（）A5B6C7D8【分析】将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可【解答】解：f（x）=，且f（x+2）=f（x），f（x2）2=；又g（x）=，g

14、（x）=2+，g（x2）2=，当x2k1，kZ时，上述两个函数都是关于（2，2）对称，；由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间5，1上的实根有3个，x1=3，x2满足5x24，x3满足0x31，x2+x3=4；方程f（x）=g（x）在区间5，1上的所有实根之和为7故答案为；C【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=，则f（x）=【分析】由f（x）+g（x）=，知，由f（x）是奇函数，g

15、（x）是偶函数，知，由此能求出f（x）【解答】解：f（x）+g（x）=，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，+，得=，=故答案为：【点评】本题考查函数的奇偶性的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答14已知三条直线l1：4x+y=1，l2：xy=0，l3：2xmy=3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是【分析】利用交角公式可得l1关于l2对称的直线的斜率，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出【解答】解：设要求的直线的斜率为k，则=，解得k=l1关于l2对称的直线与l3垂直，×=1，解得m=故答案为：【点评】本题考查了直线交角公式、相互垂直的直线斜率之间的

16、关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x+y3=0【分析】先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线垂直的直线的方程【解答】解：由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，并设圆心坐标为（a，0），则由题意知：，解得a=3或1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=3，故所求的直线方程为x+y3=0故答案为：x+y3=0【点评】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们

17、解决直线与圆问题的能力16在锐角ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于2，AC的取值范围为（）【分析】（1）根据正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化简可得值；（2）由（1）得到AC=2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角ABC和B=2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可【解答】解：（1）根据正弦定理得： =，因为B=2A，化简得=即=2；（2）因为ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B=2A得到A+2A且2A=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故故答案为：2，（，）【点评】考查学生灵活运用正弦定理及二倍角的正弦公式

18、化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B=2A变换角得到角的范围三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设R是直线OP上的一点，其中O是坐标原点（）求使取得最小值时的坐标的坐标；（）对于（1）中的点R，求与夹角的余弦值【分析】（）利用坐标法求出的坐标，结合向量数量积的定义转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行求解（）根据向量数量积的应用进行求解即可【解答】解（1）由题意，设=t=（2t，t），则=（12t，7t），=（52t，1t）所以=（12t）（52t）+（7t）（1t）=5t220t+12=5（t

19、2）28，所以当t=2时， 最小，即=（4，2）（2）设向量与的夹角为，由（1）得=（3，5），=（1，1），所以cos=【点评】本题主要考查向量夹角和向量数量积的应用，根据向量数量积的应用是解决本题的关键18如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上（1）求渔船甲的速度；（2）求sin的值【分析】（1）由题意推出BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出渔船甲的速度；（2）方法一：在ABC中，直接利用正弦定理求出

20、sin方法二：在ABC中，利用余弦定理求出cos，然后转化为sin【解答】解：（1）依题意，BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，BCA=122+2022×12×20×cos120°=784解得BC=28（6分）所以渔船甲的速度为海里/小时答：渔船甲的速度为14海里/小时（7分）（2）方法1：在ABC中，因为AB=12，BAC=120°，BC=28，BCA=，由正弦定理，得（9分）即答：sin的值为（12分）方法2：在ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，BCA=，由余弦定理，得（9分）即因为为锐角

21、，所以=答：sin的值为（12分）【点评】本题是中档题，考查三角函数在实际问题中的应用，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力19如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中ABAD，AB=BC=1且AD=AA1=2（1）求证：直线C1D平面ACD1；（2）试求三棱锥A1ACD1的体积【分析】（1）通过证明C1DCD1，C1DAC，说明AC与CD1是平面ACD1内的两条相交直线，利用直线与平面垂直的判定定理证明直线C1D平面ACD1；（2）求三棱锥A1ACD1的体积转化为三棱锥CAA1D1的体积，求出底面面积与高，即可求解棱锥的体积【解答】解：（1）证明：在梯

22、形ABCD内过C点作CEAD交AD于点E，则由底面四边形ABCD是直角梯形，ABAD，AB=BC=1，以及可得：CE=1，且，ACCD又由题意知CC1面ABCD，从而ACCC1，而CC1CD=C，故ACC1D因CD=CC1，及已知可得CDD1C1是正方形，从而C1DCD1因C1DCD1，C1DAC，且ACCD1=C，所以C1D面ACD1因三棱锥A1ACD1与三棱锥CAA1D1是相同的，故只需求三棱锥CAA1D1的体积即可，而CEAD，且由AA1面ABCD可得CEAA1，又因为ADAA1=A，所以有CE平面ADD1A1，即CE为三棱锥CAA1D1的高故（12分）【点评】本题考查空间几何体直线与平

23、面垂直的判断与证明，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力20函数是定义在（1，1）上的奇函数，且（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t1）+f（t）0【分析】（1）根据奇函数性质有f（0）=0，可求出b，由可求得a值（2）根据函数单调性的定义即可证明；（3）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可【解答】解：（1）因为f（x）为（1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0又f（）=，所以=，解得a=1所以f（x）=（2）任取1x1x21，则f（x1）f（x2）=，因为1x1x2

24、1，所以x1x20，1x1x20，所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）所以函数f（x）在（1，1）上是增函数；（3）f（t1）+f（t）0可化为f（t1）f（t）又f（x）为奇函数，所以f（t1）f（t），f（x）为（1，1）上的增函数，所以t1t，且1t11，1t1；联立解得，0t所以不等式f（t1）+f（t）0的解集为【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理21已知f（x）=sin2x+2+2cos2x（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC中，a，b，c分别是角

25、A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，ABC的面积为，求a的值【分析】（1）由三角函数恒等变换公式可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得其最小正周期，进而由2k2x+2k+，解可得f（x）的单调递减区间；（2）根据题意，由f（A）=4可得sin（2A+）=，结合A的范围可得A=，由正弦定理可得b=1，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，代入数据计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，f（x）=sin2x+2+2cos2x=sin2x+2+2=sin2x+cos2x+3=2sin（2x+）+3，其最小正周期T=，由2k2x+2k+，解可得：kxk+，单调递减区间k，k+kz；（2）根据题意，若f（A）=4，则f（A）=2sin（2A+）+3=4，则sin（2A+）=