高中数学压轴题系列——导数专题——双极值问题

1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学压轴题系列导数专题双极值问题1（2018新课标）已知函数f（x）=x+alnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：a2解：（1）函数的定义域为（0，+），函数的导数f（x）=1+=，设g（x）=x2ax+1，当a0时，g（x）0恒成立，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a0时，判别式=a24，当0a2时，0，即g（x）0，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，x，f（x），f（x）的变化如下表： x （0，） （，） （，+） f（x） 0+ 0 f（x） 递减

2、 递增递减综上当a2时，f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，在（0，），和（，+）上是减函数，则（，）上是增函数（2）由（1）知a2，0x11x2，x1x2=1，则f（x1）f（x2）=（x2x1）（1+）+a（lnx1lnx2）=2（x2x1）+a（lnx1lnx2），则=2+，则问题转为证明1即可，即证明lnx1lnx2x1x2，则lnx1lnx1，即lnx1+lnx1x1，即证2lnx1x1在（0，1）上恒成立，设h（x）=2lnxx+，（0x1），其中h（1）=0，求导得h（x）=1=0，则h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1），即2lnxx+0，故2lnxx，则a2成

3、立2（2018玉溪模拟）已知函数f（x）=xlnx（1）若函数f（x）在（0，+）上是减函数，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）在（0，+）上存在两个极值点x1，x2，且x1x2，证明：lnx1+lnx22解：（1）f（x）=xlnx在（0，+）上是减函数，f（x）=lnxmx0在定义域（0，+）上恒成立，m（）max，设h（x）=，则，由h（x）0，得x（0，e），由h（x）0，得xe，函数h（x）在（0，e）上递增，在（e，+）上递减，h（x）max=h（e）=m故实数m的取值范围是，+）证明：（2）由（1）知f（x）=lnxmx，函数f（x）在（0，+）上存在两个极值点x1，x2，

4、且x1x2，则，=，lnx1+lnx2=ln=，设t=（0，1），则lnx1+lnx2=，要证lnx1+lnx22，只需证，只需证lnt，只需证lnt0，构造函数g（t）=lnt，则g（t）=0，g（t）=lnt在t（0，1）上递增，g（t）g（1）=0，即g（t）=lnt0，lnx1+lnx223（2018银川三模）已知函数f（x）=xax2lnx（a0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）32ln2解：（1）f（x）=，（x0，a0），不妨设（x）=2ax2x+1（x0，a0），则关于x的方程2ax2x+1=0的判别式=18a，当

5、a时，0，（x）0，故f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递减，当0a时，0，方程f（x）=0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1x2，则当x（0，x1）及x（x2，+）时f（x）0，当x（x1，x2）时，f（x）0，f（x）在（0，x1），（x2，+）递减，在（x1，x2）递增；（2）证明：由（1）知当且仅当a（0，）时f（x）有极小值x1 和极大值x2，且x1，x2是方程的两个正根，则x1+x2=，x1 x2=，f（x1）+f（x2）=（x1+x2）a（x1+x2）22x1 x2（lnx1+lnx2）=ln（2a）+1=lna+ln2+1（0a），令g（a）=lna+ln2+1，

6、当a（0，）时，g（a）=0，g（a）在（0，）内单调递减，故g（a）g（）=32ln2，f（x1）+f（x2）32ln24（2018南开区一模）已知函数f（x）=ln2xax2+x（aR）（）若函数f（x）在其定义域内为减函数，求a的取值范围；（）讨论函数f（x）的极值点的个数；（）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）34ln2解：（）f（x）=2ax+1=要使f（x）在（0，+）单调递减 则2ax2x+10在（0，+）恒成立，即在（0，+）恒成立，在（0，+）恒成立，2a，a ，综上，a的取值范围是，+）（）（）a=0时，x（0，1），f（x）0，x（1，+），f

7、（x）0，所以x=1，f（x）取得极小值，x=1是f（x）的一个极小值点（）a0时，=18a0，令f（x）=0，得，显然，x10，x20，x（0，x1）时，f（x）0，x（x1，+）时，f（x）0f（x）在x=x1取得极小值，f（x）有一个极小值点（）a0时，=18a0，即a时，f（x）0，f（x）在（0，+）是减函数，f（x）无极值点当0时，=18a0，令f（x）=0，得得，当x（0，x1）和x（x2，+）f（x）0，x（x1，x2）时，f（x）0，f（x）在x1取得极小值，在x2取得极大值，所以f（x）有两个极值点综上可知：（）a0时，f（x）仅有一个极值点；（） 当a时，f（x）无极值点

8、；（）当0时，f（x）有两个极值点（）证明：由（1）知，当且仅当a（0，）时，f（x）有极小值点x1和极大值点x2，且x1，x2是方程2ax2x+1=0的两根，.，）=，（0），h（a）在（0，）单调递减，h（a）h（）=34ln2，即f（x1）+f（x2）34ln25（2018济南二模）已知函数f（x）=1n（x+1）+ax2x（1）当x0时，f（x）0恒成立，求a的取值范；（2）若函数g（x）=f（x）+x有两个极值点x1，x2，且x1x2，求证：解：（1）【解法一】f（x）=+2ax1=，x0，+）设h（x）=2ax+2a1a0时，h（x）0，f（x）在0，+）上单调递减，f（x）f（0

9、）=0，不合题意，舍去；当a0时，（i）若2a10，即时，当h（x）0，f（x）在0，+）上单调递增，f（x）f（0）=0，符合题意；（ii）若2a10，即时，当时，h（x）0，f（x）单调递减：当时，h（x）0，f（x）单调递增；，不合题意，舍去；综上：；【解法二】若a0，而f（1）=1n2+a10，不合题意，故a0；易知：f（0）=0，x0，+），f'（0）=0设h，h'（0）=2a1若2a10，即时，h'（x）在0，+）上单调递增，h'（x）h'（0）=2a10，h'（x）在0，+）上单调递增，h'（x）h'（0）=0，符合

10、题意；若2a10，即时，h'（x）在0，+）上是单调递增函数，令h'（x）=0，记，当x0，x0）时，h'（x）0，h'（x）在0，x0）上是单调递减函数，h'（x）h'（0）=0，f（x）在0，x0）上是单调递减函数，f（x）f（0）=0，不合题意：综上：；证明：（2）【解法一】g（x）1n（1+x）+ax2，=，设（x）=2ax2+2ax+1，若a=0，（x）=10，g'（x）0，g（x）在（1，+）上单调递增，不合题意：当a0时，（1）=（0）=1，（x）=0在（1，+）上只有一个根，不合题意：当a0时，（1）=（0）=1，要使方程

11、（x）=2ax2+2ax+1=0有两个实根x1，x2，只需，即a2，（1）=（0）=1，g（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增；g（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，符合题意；，=设，m（t）在上是增函数，【解法二】g（x）=1n（1+x）+ax2，设（x）=2ax2+2ax+1，若a=0，（x）=10，g'（x）0，g（x）在（1，+）上单调递增，不合题意；当a0时，（1）=（0）=1，（x）=0在（1，+）上只有一个根，不合题意；当a0时，（1）=（0）=1，要使方程（x）=2ax2+2ax+1=0有两个实根x1，x

12、2，只需，即a2，（1）=（0）=1，g（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）单调递减，在（x2，+）上单调递增；g（x）在x=x1处取最大值，在x=x2处取最小值，符合题意；,设2ax2=t，则tx2+t+1=0，g（x2）=1n（1+x2）设，=，m（t）在（2，1）单调递增，6.（2009全国卷）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1x2，（）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（）证明：f（x2）解：（I） 令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x（1

13、，x1）时，f'（x）0，f（x）在（1，x1）内为增函数；（2）当x（x1，x2）时，f'（x）0，f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x（x2，+）时，f'（x）0，f（x）在（x2，+）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a0，a=（2x22+2x2）f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2（2x2+2x）ln（1+x），（x0）则h'（x）=2x2（2x+1）ln（1+x）2x=2（2x+1）ln（1+x）（1）当时，h'（x）0，h（x）在单调递增；（2）当x（0，+）时，h'（x）0，h（x）在（0，+）单调递减故7（2018涪城区校级模拟）已知函数f（x）=alnxbx3（aR且a0）（1）若a=b，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，设g（x）=f（x）+3，若g（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx22解：（1）由f（x）=alnxbx3知f（x）=，当a0时，函数f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+），当a0时，函数f（x）的单调增区间是（1，+），单调减区间是（0，1）证明：（2）g（x）