高等代数习题

1、精选优质文档-倾情为你奉上高等代数习题第一章 基本概念 §1.1 集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合Z是不是X的子集？ 2、设a是集A的一个元素。记号a表示什么？ a A是否正确？ 3、设 写出 和 . 4、写出含有四个元素的集合 的一切子集 5、设A是含有n个元素的集合A中含有k个元素的子集共有多少个？ 6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正 (i) (ii) (iii) (iv) 7证明下列等式： (i) (ii) (iii) §1.2映射 1、设A是前100个正整数所成的集合找一个A到自身的映射，但不是满射 2、找一

2、个全体实数集到全体正实数集的双射 3、 是不是全体实数集到自身的映射？ 4设f定义如下： f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？ 5、令A=1,2,3.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？ 6、设a ,b是任意两个实数且a<b.试找出一个0,1到a ,b的双射. 7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，fg与gf一般不相等。 8、设A是全体正实数所成的集合。令 (i)g是不是A到A的双射？ (ii)g是不是f的逆映射？ (iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么？ 9、设 是映射，又令 ，证明 (i)如果 是单射，那么 也是单射； (ii)如果 是满射

3、，那么 也是满射； (iii)如果 都是双射，那么 也是双射，并且 10判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:   集 合 A 规 则 1 2 3 4 全体整数 全体整数 全体有理数 全体实数 §1.3数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 , 是任意自然数. 3、证明二项式定理:这里 ， 是 个元素中取 个的组合数. 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有 个元素的集合的一切子集的个数等于。§1.4整数的一些整除性质 1、对于下列的整数 ,分别求出以 除 所得的商和余数: ; ; ; . 2、设是整数且不全为0,而 , , .证明, 的一个最

4、大公因数必要且只要 . 3、设是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数叫做与的最小公倍数: ; 如果 且 ,则 .证明: 任意两个不等于零的整数 都有唯一的最小公倍数; 令 是 与 的最小公倍数而 ,则 . 4、设是一个大于1的整数且具有以下性质:对于任意整数 ,如果 ,则 或 .证明, 是一个素数(定理1.4.5的逆命题). 5、设是两两不相同的素数,而 . 证明 ; 利用 证明,素数有无限多个 §1.5数环和数域 1证明,如果一个数环 那么 含有无限多个数 2证明, 是数域 3证明, 是一个数环, 是不是数域? 4证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数

5、环的并是不是数环? 5设是一整数,令 由例1, 是一个数环.设 ,记 证明: 是一个数环 ,这里 是 与 的最大公因数 第二章 多项式 §2.1一元多项式的定义和运算 1设 和 是实数域上的多项式证明：若是 (6) ，那么 2求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式 和 3证明： §2.2 多项式的整除性 1求 被 除所得的商式和余式： ( i ) (ii) 2证明： 必要且只要 3令 都是数域F上的多项式，其中 且 证明： 4实数 满足什么条件时，多项式 能够整除多项式 5设F是一个数域， 证明： 整除 6考虑有理数域上多项式 这里 和 都是非负整数证明： 7证明： 整

6、除 必要且只要 整除 §2.3 多项式的最大公因式 1.      计算以下各组多项式的最大公因式： ( i ) (ii) 2.      设 证明：若 且 和 不全为零，则 反之，若 则 是 与 的一个最大公因式 3.      令 与 是 的多项式，而 是 中的数，并且 证明： 4 证明： （i） 是 和 的最大公因式； （ii） 此处 等都是 的多项式。 5 设 都是有理数域Q上的多项式。求 使得 6 设 令 是任意正整数，证明：

7、 由此进一步证明，对于任意正整数 ，都有 7 设 证明：    8 证明：对于任意正整数 都有 9 证明：若是 与 互素，并且 与 的次数都大于0，那么定理 里的 与 可以如此选取，使得 的次数低于 的次数， 的次数低于 的次数，并且这样的 与 是唯一的。 10 决定 ，使 与 的最大公因式是一次的。 11 证明：如果 那么对于任意正整数 ， 12 设 是数域F上的多项式。 与 的最小公倍式指的是Fx中满足以下条件的一个多项式 ：且 ； 如果 Fx且 ，那么 证明：Fx中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。 设 都是最高次项系数是1的多项

8、式，令 表示 和 的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明 13 设 并且 证明： 14 设 证明： 互素的充要条件是存在多项式 使得 15 设 令 比照定理1.4.2，证明： 有最大公因式提示：如果 不全为零，取 是I中次数最低的一个多项式，则 就是 的一个最大公因式 §2.4 多项式的分解 1.      在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积： 2.      分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积. 3.   

9、60;  证明： 当且仅当 4.      求 在 内的典型分解式； 求 在 内的典型分解式 5.证明：数域F上一个次数大于零的多项式 是 中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意 或者 或者存在一个正整数 使得 6设 是 中一个次数大于零的多项式.如果对于任意 只要 就有 或 那么 不可约. §2.5 重因式 1.      证明下列关于多项式的导数的公式： 2.      设 是 的导数 的 重因式.证明： 未必是

10、 的 重因式； 是 的 重因式的充分且必要条件是 3. 证明有理系数多项式 没有重因式. 4. 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？ 5. 证明：数域F上的一个 次多项式 能被它的导数整除的充分且必要条件是 ， 这里的 是F中的数 。§2.6 多项式函数 多项式的根 1设 ,求 . 2数环R的一个数 说是 的一个 重根,如果 可以被 整除,但不能被 整除.判断5是不是多项式 的根.如果是的话,是几重根? 3设 求 提示:应用综合除法 4将下列多项式 表成 的多项式. ; . 5求一个次数小于4的多项式 ,使 6求一个2次多项式,使它在 处与函数 有相同的值. 7令 是

11、两个多项式,并且 可以被 整除. 证明 8令 是一个复数,并且是 中一个非零多项式的根,令 证明: 在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式 ,使得 中每一多项式 都可以写成 的形式,这里 .在 中不可约. 如果 ,求上述的 提示:取 是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式. 9设 中多项式 且 , 是一个大于1的整数. 证明: 的根只能是零或单位根. 提示:如果 是 的根,那么 都是 的根. §2.7 复数和实数域上多项式 1设 次多项式 的根是 .求 以 为根的多项式,这里 是一个数。 （ii）以,(假定 都不等于零)为根的多项式.2设 是一个多项式,用 表示把 的系数分别换

12、成它们的共轭数后所得多项式.证明: 若是g ,那么 ; 若是 是 和 的一个最大公因式,并且 的最高次项系数是1,那么 是一个实系数多项式). 3给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 4在复数和实数域上,分解 为不可约因式的乘积. 5证明:数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根. §2.8 有理数域上多项式1证明以下多项式在有理数域上不可约: ; ; . 2利用艾森斯坦判断法,证明:若是 是 个不相同的素数而 是一个大于1的整数,那么 是一个无理数. 3设 是一个整系数多项式.证明:若是 和 都是奇数,那么 不能有整数根.4求以下多项式的有理根: ; ;

13、.  第三章 行列式§3.1 线性方程组和行列式 §3.2 排列1计算下列排列的反序数： ； 2假设n个数码的排列 的反序数是k,那么排列 的反序数是多少？ 3写出4个数码的一切排列 §3.3 阶行列式 1确定六阶行列式 D= 中以下各乘积的符号： 2写出下列四阶行列式 中一切带有负号且含元素 的项。 3证明： 阶行列式 4考察下列行列式： ， ， 其中 是 这 个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？ 5计算 阶行列式 6计算行列式 7证明：行列式 8设在 阶行列式 中，§3.4 子式和代数余式 行列式的依行依列展开 1把行列式 依第三行

14、展开，然后加以计算  2计算以下行列式:   提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。 3令 计算行列式 。 §3.5 克拉默规则 1解以下线性方程组： 2设 是 个不同的数, 是任意 个数,而多项式 有以下性质: , .用线性方程组的理论证明, 的系数 是唯一确定的,并且对 的情形导出拉格朗日插值公式. 3设 .用线性方程组的理论证明,若是 有 个不同的根,那么 是零多项式. 第四章 线性方程组§4.1 消元法 1解以下线性方程组： 2证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。 3设 阶行

15、列式 0. 证明：用行初等变换能把 行 列矩阵 化为 。 4证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把 化为 §4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 1对第一和第二种行初等变换证明定理4.2.1 2利用初等变换求下列矩阵的秩： 3证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1 4证明：含有 个未知量 个方程的线性方程组 有解的必要条件是行列式 这个条件不是充分的，试举一反例 5 有解？ 6 取怎样的数值时，线性方程组 有唯一解，没有解，有无穷多解？ §4.3 线性方程组的公式解 1考虑线性方程组：这里 2 3设线性方程组： （9） 有解，并且添加一

16、个方程： 于方程组（9）所得的方程组与（9）同解证明：添加的方程是（9）中 个方程的结果 4设齐次线性方程组 的系数行列式 ，而 中某一元素 的代数余子式 证明：这个方程组的解都可以写成 的形式,此处k是任意数. 5设行列式 令 是元素 的代数余子式.证明:矩阵 的秩 第五章 矩 阵 §5.1 矩阵的运算 1计算 ； ； ； ； 2证明，两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A 3可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律： (i) 设B=( )是一个n p矩阵令 = 是B的第j列，j=1,2,p又设 是任意一个p 1矩阵证明：B = (ii)

17、设A是一个m n矩阵利用(i)及习题2的结果，证明： A(B )=(AB) (iii)设C是一个pxq矩阵利用(ii)，证明： A(BC)=(AB)C 4设 A= 证明：当且仅当 B= 时，AB=BA。 5令 是第i 行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵求 6求满足以下条件的所有n阶矩阵A (i) i,j=1,2,n, (ii)AB=BA ；这里B是任意n阶矩阵。 7举例证明，当AB=AC时，未必B=C 8证明，对任意n阶矩阵A和B，都有AB-BAI提示，考虑AB-BA的主对角线上的元素的和 9令A是任意n阶矩阵，而I是n阶单位矩阵，证明： ( )( )= 10.对任意n阶矩阵A，必有

18、n阶矩阵B和C，使A=B+C，并且 §5.2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式 1设对5阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？ 2证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵 3求下列矩阵的逆矩阵： 4设 A是一个n阶矩阵，并且存在一个正整数m使得 (i) 证明 可逆，并且 (ii)求下列矩阵的逆矩阵 。 5设 证明， 总可以表成 和 型初等矩阵的乘积 6令 是n阶矩阵 的伴随矩阵，证明 (区别detA0和detA=0两种情形) 7设A和B都是n阶矩阵证明，若AB可逆,则A和B都可逆 8设A和B都是n阶矩阵证

19、明，若AB=I,则A和B互为逆矩阵 9证明，一个n阶矩阵A的秩1必要且只要A可以表为一个n 1矩阵和一个1 n矩阵的乘积 10.证明：一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和 11设A是一个n n矩阵， 都是n 1矩阵用记号 表示以 代替A的第i列后所得到的 矩阵 (i)线性方程组 可以改写成 I是n阶单位矩阵 (ii)当detA0时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则 §5.3 矩阵的分块 1求下面矩阵的逆矩阵2设A，B都是n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，证明 3设 都是n=r+s阶矩阵，而 是一个n阶矩阵，并且与S,T有相同的分法求SA,AS,TA和AT.由此能得

20、出什么规律？ 4证明，2n阶矩阵 总可以写成几个形如 的矩阵的乘积 5设 是一个对角线分块矩阵证明: 6证明，n阶矩阵 的行列式等于(detA)(detB) 7设A,B,C,D都是n阶矩阵，其中detA0并且AC=CA，证明 第六章 向量空间 §6.1 定义和例子 1令F是一个数域，在F3里计算 （i） （2，0，-1）+（-1，-1，2）+ （0，1，-1）； （ii）5（0，1，-1）-3（1， ，2）+（1，-3，1） 2证明：如果 a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0）， 那么a = b = c = 0 3找出不全为零的三个有理数a，b，c

21、（即a，b，c中至少有一个不是0），使得 a (1，2，2) + b（3，0，4）+ c (5，-2，6) = （0，0，0） 4令 1 = （1，0，0）， 2 = （0，1，0）， 3 =（0，0，1）证明，R3中每个向量 可以唯一地表示为 = a1 1 + a2 2 + a3 3 的形式，这里a1，a2，a3 R 5证明，在数域F上向量空间V里，以下算律成立： （i）a ( ) = a - a ； (ii) (a- b) = a - b , 这里a，b F ， , V 6证明：数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量 7证明，对于任意正整数n 和任意向量 ，都

22、有 n = + 8证明，向量空间定义中条件3º，8）不能由其余条件推出 9验证本节最后的等式： （ 1， n）(AB) =（ 1， n）A）B   §6.2子空间 1判断R n中下列子集哪些是子空间： (i)                  （a1，0，0，an）| a1，an R； (ii)        

23、0;       （a1 ，a2 ，an ）| ai =0； (iii)               （a1 ，a2 ，an ）| ai =1； (iv)              （a1 ，a2 ，an ）| ai Z ，i = 1，n. 2Mn (F)表示数域F上一

24、切n阶矩阵所组成的向量空间（参看6.1，例2）令 S= A Mn (F) |A= A， T= A Mn (F) |A= A 证明，S和T都是 Mn (F)的子空间，并且 Mn(F) = S + T，S T=0 3设W1，W2是向量空间V的子空间，证明：如果V的一个子空间既包含W1又包含W2 ，那么它一定包W1 +W2 在这个意义下，W1+W2是V的既含W1又含W2的最小子空间 4设V是一个向量空间，且V 0证明：V不可能表成它的两个真子空间的并集 5设W，W1，W2都是向量空间V的子空间，其中W1 W2且W W1=W W2， W + W1=W + W2 .证明：W1=W2 6设W1，W 2是数

25、域F上向量空间V的两个子空间， , 是V的两个向量，其中 W2，但 W1，又 W2，证明： （i）                   对于任意k F, +k W2 ； （ii）                 至多有一个k F，使得 +k W1 7设W1，W

26、2 ，Wr 是向量空间V的子空间，且Wi V，i=1，r. 证明：存在一个向量 V，使得 Wi， i=1，r提示：对r作数学归纳法并且利用第6题的结果 §6.3 向量的线性相关性 1.下列向量组是否线性相关: (i)（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）；(ii) （2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）；(iii) （2，-1，3，2），（-1，2，2，3），（3，-1，2，2），（2，-1，3，2）2证明，在一个向量组 里，如果有两个向量 与 成比例，即 =k ， ，那么 线性相关3令 。证明 线性相关必要且只要行列式 = 04设 ，线性无关对每一个 任意添

27、上p个数，得到 的m个向量 证明 1 ， 2 ， m也线性无关5设 线性无关，证明 也线性无关6设向量组 ( 线性无关，任取 证明，向量组 线性无关7下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例： (i) 如果当 ，那么 线性无关(ii) 如果 线性无关，而 不能由 线性表示，那么 ， 也线性无关(iii) 如果 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合 (iv) 如果 线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合8设向量 可以由 表示，但不能由 线性表示证明，向量组 与向量组 ， 等价9设向量组 中 并且每一 都不能表成它的前 个向量 的线性组合证

28、明 线性无关10设向量 线性无关，而 ， ， 线性相关，证明，或者 与 中至少有一个可以由 线性表示，或者向量组 ， 与 ， 等价 §6.4 基和维数 1令Fn x表示数域F上一切次数 n的多项式连同零多项式所组成的向量空间这个向量空间的维数是几？下列向量组是不是F3 x的基： (i)x3+1，x+1，x2+x，x3+x2+2x+2； (ii)x-1，1-x2，x2+2x-2，x3. 2求下列子空间的维数： （i）L ( (2，-3，1)，（1，4，2），（5，-2，4）) R3 (ii) L(x-1，1-x2，x2-x) Fx； (iii) L(ex，e2x，e3x) C a，b.

29、 3把向量组（2，1，-1，3），（-1，0，1，2）扩充为R4的一个基 4令S是数域F上一切满足条件A=A的n阶矩阵A所成的向量空间，求S的维数 5证明，复数域C作为实数域R上向量空间，维数是2如果C看成它本身上的向量空间的话，维数是几？ 6证明定理6.4.2的逆定理：如果向量空间V的每一个向量都可以唯一地表成V中向量 的线性组合，那么dimV = n. 7设W是R n 的一个非零子空间，而对于W的每一个向量（a1，a2，an）来说，要么a1 = a2= = an = 0，要么每一个ai 都不等于零，证明dimW = 1 8设W是n维向量空间V的一个子空间，且0< dimW <

30、n证明：W在V中有不只一个余子空间 9证明本书最后的论断 §6.5坐标 1设1 ，2 ，n是V的一个基求由这个基到 2 ，n ，1的过渡矩阵 2证明，x3，x3+x，x2+1，x+1是F3 x（数域F上一切次数 3的多项式及零）的一个基求下列多项式关于这个基的坐标： （i）x2+2x+3； （ii）x3； （iii）4；（iv）x2-x 3设 1 =(2，1，-1，1)， 2=（0，3，1，0）， 3=（5，3，2，1）， 4=（6，6，1，3）证明 1 ， 2 ， 3， 4 作成R4的一个基在R4中求一个非零向量，使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同 4设 1 =(1，2，-

31、1)， 2=（0，-1，3）， 3=（1，-1，0）； 1=（2，1，5）， 2=（-2，3，1）， 3=（1，3，2） 证明 1 ，2 ，3 和 1 ，2 ，3都是R3的基求前者到后者的过渡矩阵 5设 1 ， 2 ， n是F上n维向量空间V的一个基A是F上一个n s矩阵令 ( 1 ， 2 ， s)=( 1 ， 2 ， n)A 证明 dimL( 1 ， 2 ， s)=秩A  §6.6 向量空间的同构 1证明,复数域C作为实数域R上向量空间,与V2同构 2设 是向量空间V到W的一个同构映射,V1是V的一个子空间.证明 是W的一个子空间 3证明:向量空间 可以与它的一个真子空间

32、同构 §6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 1证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关 2证明，秩（A+B） 秩A+秩B 3设A是一个m行的矩阵，秩A=r，从A中任取出s行，作一个s行的矩阵B证明，秩B r+s m 4设A是一个m n矩阵，秩A=r从A中任意划去ms行与nt列，其余元素按原来位置排成一个s t矩阵C，证明，秩C r+s+tmn 5求齐次线性方程组 x1 + x2 + x3 + x4 + x5=0， 3x1 +2x2 + x3 +x4 3x5 =0， 5x1 + 4 x2 + 3x3 +3x4x5 =0， x2 + 2x3 + 2x4 + x5

33、=0 的一个基础解系 6证明定理6.7.3的逆命题：Fn的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间 7证明，Fn的任意一个Fn的子空间都是若干n1维子空间的交 第七章 线性变换 §7.1 线性映射 1令 =（x1，x2，x3）是R3的任意向量下列映射 哪些是R3到自身的线性映射？ （1） () = + ，是R3的一个固定向量 （2） () = (2x1x2 + x3 ，x2 + x3 ，x3) （3） () =（x12 ，x22 ，x32） （4） () =（cosx1，sinx2，0） 2设V是数域F上一个一维向量空间证明V到自身的一个映射 是线性映射的充要条件是

34、：对于任意 V，都有 ( ) = a ，这里a是F中一个定数 3令Mn (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间取定A Mn (F).对任意X Mn (F)，定义 (X) = AXXA (i)                  证明： 是Mn (F)是自身的线性映射。 (ii)            &

35、#160;   证明：对于任意X，Y Mn (F)， (XY) = (X)Y+X (Y) 4令F4表示数域F上四元列空间，取 A= 对于 F4，令 ( ) = A 求线性映射 的核和像的维数 5设V和W都是数域F上向量空间，且dimV = n令 是V到W的一个线性映射我们如此选取V的一个基： 1， s， s+1， n，使得 1， s，是Ker( )的一个基证明： （i） ( s+1)， ( n)组成Im( )的一个基； （ii）dim Ker( ) + dim Im( ) = n.。 6设 是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射W1，W2是V的子空间，并且V = W1

36、 W2证明： 有逆映射的充要条件是V = (W1) (W1) §7.2 线性变换的运算 1举例说明，线性变换的乘法不满足交换律 2在Fx中，定义 ：f (x) f(x) ， ：f (x) xf (x) ， 这里f(x)表示f(x)的导数证明, , 都是Fx的线性变换，并且对于任意正整数n都有 n n = n n-1 3设V是数域F上的一个有限维向量空间证明，对于V的线性变换 来说，下列三个条件是等价的： （i） 是满射； (ii)Ker( ) = 0; (iii) 非奇异 当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？ 4设 L (V)， V，并且 ， ( )， k-1( )都不等于零

37、，但 k( ) = 0证明： ， ( )， k-1( ) 线性无关 5 L (V) 证明 (1) Im( ) Ker( )当且仅当 2 = ； (2)   Ker( ) Ker( 2) Ker( 3) ； (3)   Im( ) Im( 2) Im( 3) 6设Fn = (x1，x2 ，xn ) | xi F 是数域F上n 维行空间定义 (x1，x2 ，xn ) = (0，x1 ，xn-1 ) (i) 证明： 是Fn的一个线性变换，且 n = ； (ii) 求Ker( )和Im( ) 的维数 §7.3 线性变换和矩阵 1令Fnx表示一切次数不大

38、于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间， ：f (x) f(x) ，求关于以下两个基的矩阵： (1) 1，x ，x2 ，xn， (2) 1，xc， ， ，c F 2设F上三维向量空间的线性变换 关于基 1 ， 2， 3的矩阵是 求 关于基 1 = 2 1 +3 2 + 3， 2 = 3 1 +4 2 + 3， 3 = 1 +2 2 +2 3， 的矩阵 设 = 2 1 + 2 3求 ( )关于基 1， 2， 3的坐标 3设 1， 2， n是n维向量空间V的一个基 j = ， = ， j = 1，2，n， 并且 1 ， 2， n线性无关又设 是V的一个线性变换，使得 ( j) = ，j = 1，

39、2，n，求 关于基 ， ， 的矩阵 4设A，B是n阶矩阵，且A可逆，证明，AB与BA相似 5设A是数域F上一个n阶矩阵，证明，存在F上一个非零多项式f (x)使得f (A) = 0 6证明，数域F上n维向量空间V的一个线性变换 是一个位似（即单位变换的一个标量倍）必要且只要 关于V的任意基的矩阵都相等 7令Mn (F)是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间取定一个矩阵A Mn (F) 对任意X Mn (F)，定义 (X) = AXXA 由7.1习题3知 是Mn (F)的一个线性变换，设 A = 是一个对角形矩阵证明， 关于Mn (F)的标准基Eij |1 (见6.4，例5)的矩阵也是对角形矩阵，

40、它的主对角线上的元素是一切aiaj (1 ).建议先具体计算一下n = 3的情形 8设 是数域F上n维向量空间V的一个线性变换证明，总可以如此选取V的两个基 1 ， 2， n和 1， 2， n，使得对于V的任意向量 来说，如果 = ，则 ( ) = ，这里0 是一个定数。提示：利用7.1，习题5选取基 1 ， 2， n §7.4 不变子空间 1设 是有限维向量空间V的一个线性变换，而W是 的一个不变子空间，证明，如果 有逆变换，那么W也在 -1之下不变 2设 是向量空间V的线性变换，且 证明Im( )和Ker( )都在 之下不变 3 是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件

41、2 = 证明： (i) Ker( ) = ； (ii)V = Ker( ) Im( )； (iii)如果 是V的一个线性变换，那么Ker( )和Im( )都在 之下不变的充要条件是 4设 是向量空间V的一个位似（即单位变换的一个标量倍）证明，V的每一个子空间都在 之下不变 5令S是数域F上向量空间V的一些线性变换所成的集合V的一个子空间W如果在S中每一线性变换之下不变，那么就说W是S的一个不变子空间S说是不可约的，如果S在V中没有非平凡的不变子空间，设S不可约，而 是V的一个线性变换，它与S中每一线性变换可交换。证明 或者是零变换，或者是可逆变换提示：令W = Ker .证明W是要的一个不变子

42、空间 §7.5 本征值和本征向量 1求下列矩阵在实数域内的特征根和相应的特征向量： (i) ； (ii) ；(iii) 2证明：对角形矩阵 与 相似必要且只要b1，b2，bn是a1，a2，an的一个排列 3设 A = 是一个实矩阵且adbc = 1 证明： (i) 如果| trA |>2，那么存在可逆实矩阵T，使得 T-1AT = 这里 且 ，1，-1 (ii) 如果| trA | = 2且A ，那么存在可逆实矩阵T，使得 T-1AT = 或 .(iii) 如果| trA | < 2则存在可逆实矩阵T及 ，使得 T-1AT = 提示 在(iii)，A有非实共轭复特征根 =

43、1.将 写成三角形式令 是A的属于 的一个特征向量，计算A 和A 4设a，b，c 令 A= ，B= ，C= (i) 证明，A，B，C彼此相似； (ii) 如果BC=CB，那么A，B，C的特征根至少有两个等于零 5设A是复数域C上一个n阶矩阵 (i) 证明：存在C上n阶可逆矩阵T使得 T-1AT = (ii) 对n作数学归纳法证明，复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个“上三角形”矩阵 相似，这里主对角线以下的元素都是零 6设A是复数域C上一个n阶矩阵， 是A的全部特征根（重根按重数计算） (i) 如果f (x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f ( 是f(A)的全部特征根 (ii) 如果A可

44、逆，那么 ，并且 是A-1的全部特征根 7令 A = 是一个n阶矩阵。 (i) 计算 (ii) 求A的全部特征根 8 是任意复数，行列式 D = 叫做一个循环行列式，证明： D = ， 这里 ，而 是全部n次单位根提示：利用6.7两题的结果 9设A，B是复数域上n阶矩阵证明，AB与BA有相同的特征根，并且对应的特征根的重数也相同提示：参看5.3习题2 §7.6 可以对角化的矩阵 1检验7.5习题1中的矩阵哪些可以对角化如果可以对角化，求出过渡矩阵T 2设 ， 求A10 3设 是数域F上n维向量空间V的一个线性变换令 是 的两两不同的本征值， 是属于本征值 的本征子空间证明，子空间的和

45、 是直和，并在 之下不变 4数域F上n维向量空间V的一个线性变换 叫做一个对合变换，如果 2 =,是单位变换，设 是V的一个对合变换，证明: (i) 的本征值只能是 ； (ii) V = V1 ，这里V1是 的属于本征值1的本征子空间，V 是 的属于本征值 1 的本征子空间提示：设 5数域F上一个n 阶矩阵A叫做一个幂等矩阵，如果 ,设A是一个幂等矩阵.证明： (i)I + A 可逆，并且求 (ii)秩A + 秩 提示：利用7.4，习题3 (ii) 6数域F上n维向量空间V的一个线性变换 叫做幂零的，如果存在一个自然数m使 m = 0.证明： (i) 是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零

46、； (ii) 如果一个幂零变换 可以对角化，那么 一定是零变换 7设V是复数域上一个n维向量空间，S是V的某些线性变换所成的集合，而 是V的一个线性变换，并且 与S中每一线性变换可交换，证明，如果S不可约 (参看7.4，习题5)，那么 一定是一个位似 提示：令 是 的一个本征值，考虑 的属于 的本征子空间，并且利用7.4，习题5的结果 8设 是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换，令 是 的全部本征值证明，存在V的线性变换 ，使得 (i) ； (ii) (iii) (iv) (v) 的属于本征值 的本征子空间， 9令V是复数域C上一个n维向量空间， ， 是V的线性变换，且 (i)

47、证明， 的每一本征子空间都在 之下不变； (ii) 与 在V中有一公共本征向量第八章 欧氏空间和酉空间 §8.1向量的内积 1证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量 ,以下等式成立: (1) ； (2) 在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2在区氏空间 里,求向量 与每一向量 , 的夹角. 3在欧氏空间 里找出两个单位向量,使它们同时与向量 中每一个正交. 4利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形 5设 是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明: (勾股定理) 6设 都是一个欧氏空间的向量,且 是 的线性组合.证明,如果 与 正交

48、, ,那么 . 7设 是欧氏空间的 个向量.行列式 叫做 的格拉姆(Gram)行列式.证明 =0,必要且只要 线性相关. 8设 是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件: 和 都是 的整数. 证明: 的夹角只可能是 . 9.证明:对于任意实数 , ). §8.2 正交基1已知 ,，, 是 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出 的一个规范正交基 2在欧氏空间 里,对于线性无关的向量级1, , , 施行正交化方法,求出一个规范正交组 3令 是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即 4令 是 维欧氏空间V的一个

49、规范正交基,又令 K叫做一个 -方体.如果每一 都等于0或1, 就叫做K的一个项点.K的顶点间一切可能的距离是多少? 5设 是欧氏空间V的一个规范正交组.证明,对于任意 ,以下等式成立: . 6设V是一个 维欧氏空间.证明 如果W是V的一个子空间,那么 . 如果 都是V的子空间,且 ,那么 如果 都是V的子空间,那么 7证明, 中向量 到平面 的最短距离等于 8证明,实系数线性方程组 有解的充分且必要条件是向量 与齐次线性方程组 的解空间正交. 9令 是 维欧氏空间V的一个非零向量令 称为垂直于 的超平面,它是V的一个 维子空间.V中有两个向量 , 说是位于 的同侧,如果 同时为正或同时为负.

50、证明,V中一组位于超平面 同侧,且两两夹角都 的非零向量一定线性无关 提示:设 是满足题设条件的一组向量.则 ,并且不妨设 .如果 ,那么适当编号,可设 , ,令 ,证明 .由此推出 . 10设U是一个正交矩阵.证明: U的行列式等于1或-1; U的特征根的模等于1; 如果 是U的一个特征根,那么 也是U的一个特征根; U的伴随矩阵 也是正交矩阵. 11.设 ,且 . 证明, 可逆,并且 12.证明:如果一个上三角形矩阵 是正交矩阵,那么A一定是对角形矩阵,且主对角线上元素 是1或-1. §8.3正交变换1证明: 维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是

51、一个正交变换. 2设 是 维欧氏空间V的一个正交变换.证明:如果V的一个子空间W在 之下不变,那么W的正交补 也在 下不变. 3设V是一个欧氏空间, 是一个非零向量.对于 ,规定 . 证明, 是V的一个正交变换,且 , 是单位变换. 线性变换 叫做由向量 所决定的一个镜面反射.当V是一个 维欧氏空间时,证明,存在V的一个标准正交基,使得 关于这个基的矩阵有形状: 在三维欧氏空间里说明线性变换 的几何意义. 4设 是欧氏空间V到自身的一个映射,对 有 证明 是V的一个线性变换,因而是一个正交变换. 5设U是一个三阶正交矩阵,且 .证明: U有一个特征根等于1; U的特征多项式有形状 ，这里 . 6设 和 是 维欧氏空间V的两个规范正交基. 证明:存在V的一个正交变换 ,使 . 如果V的一个正交变换 使得 ,那么 所生成的子空间与由 所生成的子空间重合. 7令V是一个 维欧氏空间.证