一元二次不等式恒成立中求参数范围的优化策略

1、一元二次不等式恒成立中求参数范围的优化策略1 程序化思维过程1.1解题案例:一道高考题的四种解法 例1 (2008年全国理科题) 已知函数，设函数在区间内是减函数，求的取值范围 解法1 (直接求最值) 题意等价于导函数对恒成立,即因为二次函数开口向上, 只可能是或 由和,解得2 解法2 (分离参数法) ,解出 而在时递增, 时递减 所以 解法3 (分类讨论求二次函数的最大值) 二次函数开口向上,对称轴是 当时, 在上递增,故 当时, 只可能是或由和,解得2,而,故取 当时,在上递减, 综上所述解法4 (转换为一元二次方程根的分布)导函数对恒成立,即对应方程的两根一根比大, 一根比小,由根的分布

2、和,解得21.2 案例分析:程序化的解答策略追求解题过程的简单,追求思维过程的经济,是解题研究的一项基本任务,通过对解答充分地探讨总结,明确优化的解题途径,以利于解同类问题时能节省解题能量,缩短解题时间,提高解题效率.解法1和解法3都是把求出的最大值作为解题目标.但解法1抓住二次函数开口向上最大值只能在端点处取到的特点,节省了解题时间;而解法3则拘泥于依对称轴与区间的不同位置关系,按部就班来分类探求最大值,解法相对冗长.解法2则采用”分离参数”转换为求的最值手段,这是解恒成立问题中最常用的方法,但不如解法1快捷.解法4则利用二次函数图象过渡,将不等式恒成立转换为方程根的分布,充分体现了三个二次

3、之间的联系因此,处理一元二次不等式恒成立问题,其程序化的思维过程应当是:首先考虑能否直接求最值(譬如二次函数开口向上时只考虑最大值;而开口向下时只考虑最小值,这两种情形的最值只可能出现在端点处);再考虑用分离参数转换或者用分类讨论直接求函数的最值 显然,言必谈分离不是解法排行榜上的首选,至少不是思维过程的第一步所想2 合理化的转换:三类函数的最值探求是求解的终点 例2 (2004年全国改编)已知（）在R上是减函数，求的取值范围. （II）在上是减函数，求的取值范围.解：函数f(x)的导数：（）当（）时，是减函数. 所以，当是减函数； （II）在恒成立,分离参数得 令,而,故时, 例3 (200

4、5年湖北省高考题) 已知向量在区间（1，1）上是增函数，求t的取值范围.解：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间（1，1）上恒成立 .结合前面例题,可以看到解答时通常转换为三类常见的函数的最值 若不等式在上恒成立,只要或(见例2)若三个字母中只有一个是参数,另两个是常数时, 常转换为三类常见的函数当为参数时,分离参数为,问题转换为二次函数的最值问题,当为参数时,则转换为,或者(见例1)而其中(同号)时,对应函数,即为常见的”对勾函数”,其单调区间分别是和(因其为奇函数,只考虑了的情形)若(异号)时,对应函数也是奇函数,其在和上都单调.当为参数时,则转换为,还是求二次函数的最值问题因此,对三类函

5、数:二次函数,对勾函数及函数的单调性如能了如指掌,会大大提高解题速度.3 解一元二次不等式恒成立要注意的两个问题3.1 分清主元和参数,主元的一次函数可直接求最值 例4 (2006年四川高考文科题) 已知函数其中是的f(x)的导函数。对满足的一切的值， 都有求实数的取值范围；解：由题意 令是的 一次函数，对，恒有，即 即解得故时，对满足的一切的值，都有可见在程序化思维中还要加在直接求最值中加上是否为主元的一次函数这种情形3.2 若参数不能直接分离 例5 (2006年全国卷文史类) 设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。解 ,题意等价于在和上恒成立.其中当时, ,在R上递增,满足条件当时,转换为方程的两根在内,则,解得综上所