一元二次方程应用

1、一元二次方程的应用（一） 实际问题1、 典例分析1、 增长率问题例：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被感染，第二轮后共有（1+x）+x（1+x）即（1+x）2台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有（1+x）3台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断【解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑， 依题意得：1+x+（1+x）x

2、=81， 整理得（1+x）2=81， 则x+1=9或x+1=-9， 解得x1=8，x2=-10（舍去）， （1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+8）3=729700答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台【小结】本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键2. 销售问题例：春秋旅行社为吸引市民组团去天目湖风景区旅游，推出了如图对话中收费标准某单位位组织员工去天目湖风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元请问该单位这次共有多少员工去天目湖风景区旅游？【分析】首先根据共支付给春秋

3、旅行社旅游费用27 000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去天目湖风景区旅游即可由对话框，超过25人的人数为（x-25）人，每人降低20元，共降低了20（x-25）元实际每人收了1000-20（x-25）元，列出方程求解【解答】解：设：去了x员工 25×1000=2500027000 x25， 由题：x1000-20（x-25）=27000， 解得：x=45（舍去）或x=30 答：有30人去天水湾风景区旅游【小结】此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的

4、条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解3. 面积问题例：将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1） 要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2） 两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.【分析】（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5-x）cm，根据“两个正方形的面积之和等于17cm2”作为相等关系列方程，解方程即可求解；（2）设两个正方形的面积和为y，可得二次函数，利用二次函数的最值的求法可求得y的最

5、小值是12.5，所以可判断两个正方形的面积之和不可能等于12cm2【解答】解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5-x）cm， 依题意列方程得x2+（5-x）2=17， 整理得：x2-5x+4=0， （x-4）（x-1）=0， 解方程得：x1=1，x2=4， 则：1×4=4cm，20-4=16cm； 或4×4=16cm，20-16=4cm 答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm； （2）两个正方形的面积之和不可能等于12cm2 理由：设两个正方形的面积和为y，则 y=120， 当x=时，y的最小值=12.512， 两个正方形的面积之和

6、不可能等于12cm2； 另解：由（1）可知x2+（5-x）2=12， 化简后得2x2-10x+13=0， =（-10）2-4×2×13=-40， 方程无实数解； 两个正方形的面积之和不可能等于12cm2【小结】此题等量关系是：两个正方形的面积之和=17或12读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键2、 反馈练习（1） 选择题：1、已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的第三边是 （ ） 2、 使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长 方形的两边长，设墙的对边长为x m，可得方程 （ ）A、 x (13x) =

7、20 B、x·=20C、 x (13 x ) =20 D、 x·=203、若是一元二次方程的两个根，则的值是 （ ）A、 B、 C、 D、74、一元二次方程x2x3=0的两根的倒数和为 （ ）A、 B、3 C、 D、3（二）填空题：1、兰州市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元若每次平均降价的百分率为，由题意可列方程为_2、临汾市国民生产总值2004年为亿元，2006年增加到591.6亿元，设平均每年的增长率为，则所列方程是 3、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请个

8、球队参加比赛4、一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条，剩下的面积是，则原来这块钢板的面积是 5、我国城镇居民2010年人均收入为18800元，2012年为22748元，假设这两年内人均收入平均年增长率相同，则年增长率为 （三）解答题 1、某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），求彩纸的宽度2、某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游下面是邻队与旅行社导游收费标准的一段对话：领队：组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少？导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元

9、领队：超过25人怎样优惠呢？导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元该单位按旅行社的收费标准组团浏览“星星竹海”结束后，共支付给旅行社2700元请你根据上述信息，求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人？3、据报道，2011年“五一”黄金周宜昌市共接待游客约80万人，旅游总收入亿元其中县区接待的游客人数占全市接待的游客人数的，而游客人均旅游消费（旅游总收入游客总人数）比城区接待的游客人均旅游消费少50元（1）2011年“五一”黄金周，宜昌市城区与县区的旅游收入分别是多少万元？（2）预计2012年“五一”黄金周与2007年同期相比，全市旅游总收入

10、增长的百分数是游客人均旅游消费增长百分数的倍，游客人数增长的百分数是游客人均旅游消费增长百分数的倍请估计2012年“五一”黄金周全市的旅游总收入是多少亿元？（保留3个有效数字）4、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元在规定时间内：A请甲队单独完成此项工程出B请乙队单独完成此项工程；C请甲、乙两队合作完成此项工程以上三种方案哪一种花钱最少？5、利达经

11、销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。三、反馈练习答案（一）、选择题1、B 2、B

12、 3、A 4、A（二）、填空题1、 2、 3、7 4、81 5、10%（三）解答题1、解：设彩纸的宽为cm，根据题意，得， 整理，得， 解之，得，（不合题意，舍去）， 答：彩纸的宽为5cm2、解：设该单位这次参加旅游的共有人， 依题意，得，整理，得解得，当时，符合题意当时，不符合题意，舍去答：该单位这次参加旅游的共有30人3、解：（1）方法一：设城区与县区旅游收入分别为万元和万元，依据题意可列方程组： 解方程组得： 答：城区与县（市）区的旅游收入分别是11200万元和14400万元 方法二：设城区游客人均消费元，则县区游客人均消费元，依据题意可列方程：， 解得： （万元），（万元）答：城区与县

13、（市）区的旅游收入分别是11200万元和14400万元 （2）设2012年与2011年相比，旅客人均旅游消费增长的百分数为，则旅游总收入增长的百分数为，依据题意可列方程： 化简并整理得：，解得：或（舍去） 2012年“五一”黄金周宜昌市的旅游总收入为：（万元）（亿元）（亿元）答：估计2011年“五一”黄金周全市的旅游总收入是2.96亿元4、解：（1）设乙队单独完成此项工程需用x天依题意得去分母，整理得x2-34x+120=0解这个方程得x1=4，x2=30经检验，知x1=4，x2=30都是原方程的解因为x=4不合题意，所以只取x=30答：单独完成此项工程甲队需20天，乙队需30天。（2）因为，请甲队需2000×20=40000元，请乙队需1400×30=42000元，请甲、乙两队合作需（2000+1400）×12=40800元，所以单独请甲队完成此项工程花钱最少5、解：（1）当每吨售价是240元时，此