51二项式定理

1、§5二项式定理51二项式定理学习目标1能用计数原理证明二项式定理2掌握二项式定理及其展开式的通项公式3会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识链接1二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？答二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念二项式系数是指C，C，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关2二项式(ab)n与(ba)n展开式中第r1项是否相同？答不同(ab)n展开式中第r1项为Canrbr，而(ba)n展开式中第r1项为Cbnrar.预习导引1二项式定理(ab)nCanCan1

2、bCanrbrCbn这个公式就称为二项式定理2二项式定理的有关概念(1)二项展开式在(ab)nCanCan1bCan2b2CanrbrCbn中，右边的多项式叫作(ab)n的二项展开式(2)二项式展开式的通项在二项展开式中，Canrbr叫作二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项为展开式的第r1项Tr1Canrbr(其中0rn，rN，nN)此公式也称为二项展开式的通项公式(3)二项式系数在展开式中，每一项Canrbr的系数C称为二项式系数.要点一二项式定理的正用、逆用例1(1)求(3)4的展开式；(2)化简(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)解(1)法一(3)4C(3)4C

3、(3)3·C(3)2·()2C(3)·()3C·()481x2108x54.法二(3)4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式C(x1)5C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C1(x1)151x51.规律方法运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数跟踪演练1(1)展开(2)6；(2)化简：12C4C2n

4、C.解(1)(2)6(2x1)6C(2x)6C(2x)5C(2x)4C(2x)3C(2x)2C(2x)C64x3192x2240x160.(2)原式12C22C2nC(12)n3n.要点二二项展开式通项的应用例2若()n展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次项；(2)展开式中的所有有理项解(1)由已知可得CC·2C·，即n29n80，解得n8，或n1(舍去)Tr1C()8r·()rC·2r·x4r，令4r1，得r4.所以x的一次项为T5C24xx.(2)令4rZ，且0r8，则r0，4，8，所以含x的有理项分别为T1x4，T5

5、x，T9.规律方法利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型常见的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某字母的r次方的项等等其通常解法就是根据通项公式确定Tr1中r的值或取值范围以满足题设的条件跟踪演练2已知二项式(x2)10.(1)求展开式中的第5项；(2)求展开式中的常数项解(1)(x2)10的展开式的第5项为T5C·(x2)6·()4C·()4·x12·()4x10.(2)设第r1项为常数项，则Tr1C·(x2)10r·()rC·x20r·()r(r0，1，2，

6、10)，令20r0，得r8，所以T9C·()8，即第9项为常数项，其值为.要点三二项式定理的应用例3(1)用二项式定理证明：34n252n1能被14整除；(2)求9192除以100的余数(1)证明34n252n192n152n1(95)52n152n1(145)2n152n1142n1C×142n×5C×142n1×52C×14×52nC×52n152n114(142nC×142n1×5C×142n2×52C×52n)上式是14的倍数，能被14整除，所以34n252

7、n1能被14整除(2)解法一9192(1009)9210092C×10091×9C×10090×92C×100×991992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数992(101)921092C×1091C×1090C×102C×10(1)921092C×1091C×1090C×1029201(1092C×1091C×1090C×1021 000)81，被100除的余数为81，即9192除

8、以100的余数为81.法二由9192(901)92C×9092C×9091C902C×901，可知前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C×9018 2818 20081，故9192除以100的余数为81.规律方法利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系跟踪演练3求证：51511能被7整除证明51511(492)511C4951C4950×2C×49×250C×2511.易知除(C×2511)以外各项都能被7整除又

9、2511(23)171(71)171C×717C×716C×7C17(C716C715C)，显然能被7整除，所以(51511)能被7整除.1若(1)4ab(a，b为有理数)，则ab等于()A33 B29 C23 D19答案B解析(1)41412841712ab，又a，b为有理数，a17，b12.ab29.2在(1x)5(1x)6的展开式中，含x3的项的系数是()A5 B5 C10 D10答案D解析(1x)5中x3的系数C10，(1x)6中x3的系数为C·(1)320，故(1x)5(1x)6的展开式中x3的系数为10.3求(2x)5的展开式解先化简再求展开

10、式，得(2x)5C(4x3)5C(4x3)4(3)C(4x3)3(3)2C(4x3)2(3)3C(4x3)(3)4C(3)532x5120x2.1注意区分项的二项式系数与系数的概念2要牢记Canrbr是展开式的第r1项，不要误认为是第r项3求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值.一、基础达标1(x2)6的展开式中x3的系数是()A20 B40 C80 D160答案D解析法一设含x3的项为第r1项，则Tr1Cx6r·2r，令6r3，得r3，故展开式中x3的系数为C×23160.法二根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x与2

11、分得的次数和为6，则根据条件满足条件x3的项按3与3分配即可，则展开式中x3的系数为C×23160.2(2013·江西理)(x2)5展开式中的常数项为()A80 B80 C40 D40答案C解析展开式的通项公式为Tr1C(x2)5r()rCx105r(2)r.由105r0，得r2，所以常数项为T21C(2)240.3(xy)10的展开式中x6y4项的系数是()A840 B840 C210 D210答案A解析在通项公式Tr1C(y)rx10r中，令r4，即得(xy)10的展开式中x6y4项的系数为C·()4840.4(2013·辽宁理)使得(3x)n(nN

12、*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4 B5 C6 D7答案B解析展开式的通项公式为Tr1C(3x)nr·()rC3nrxn.由n0得n，所以当r2时，n有最小值5.5求(3b2a)6的展开式中的第3项的系数为_，二项式系数为_答案4 860156(2013·四川理)二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)答案10解析设二项式(xy)5的展开式的通项公式为Tr1，则Tr1Cx5ryr，令r3，则含x2y3的项的系数是C10.7已知在()n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为563，求展开式中的常数项解T5C()n424x816Cx，T

13、3C()n222x44Cx.由题意知，解得n10.Tr1C()10r2rx2r2rCx，令0，解得r2，展开式中的常数项为C22180.二、能力提升8设S(x1)33(x1)23(x1)1，则S等于()A(x1)3 B(x2)3 Cx3 D(x1)3答案C解析SC(x1)3C(x1)2×1C(x1)×12C×13(x1)13x3，故选C.9(2013·新课标)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于()A4 B3 C2 D1答案D解析(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为Ca·C5，解得a1.10对于二项式(x3)n(nN

14、*)，有以下四种判断：存在nN*，展开式中有常数项；对任意nN*，展开式中没有常数项；对任意nN*，展开式中没有x的一次项；存在nN*，展开式中有x的一次项其中正确的是_答案与解析二项式(x3)n的展开式的通项公式为Tr1Cx4rn，由通项公式可知，当n4r(rN*)和n4r1(rN*)时，展开式中分别存在常数项和一次项11()n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数解CC，n17，Tr1Cx·2r·x，1，r9，T10C·x4·29·x3C·29·x，其一次项系数为C29.12已知在(x2)n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数解已知二项展开式的通项Tr1C(x2)nr·()r(1)r()nrCx2nr.(1)因为第9项为常数项，即当r8时，2nr0，解得n10.(2)令2nr5，得r(2n5)6，所以x5的系数为(1)6()4C.(3)要使2nr，即为整数，只需r为偶数，由于r0，1，2，3，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项三、探究与创新13已知f(x)(12x)m(14x