2012届北京各区一模分类汇编——创新大题

1、（大兴一模理20）已知数列的各项均为正整数，且，设集合。性质1 若对于，存在唯一一组（）使成立，则称数列为完备数列，当k取最大值时称数列为k阶完备数列。性质2 若记，且对于任意，都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶完整数列。性质3 若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列为完美数列，当取最大值时称为阶完美数列；（）若数列的通项公式为，求集合，并指出分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（）若数列的通项公式为，求证：数列为阶完备数列，并求出集合中所有元素的和。（）若数列为阶完美数列，求数列的通项公式。【解答】（I）；为2阶完备数列，阶完整数列，2阶完美数列；（II）

2、；（III）（东城一模文理20）设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中 称为数组的“元”，称为的下标. 如果数组中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”，则称为的子数组. 定义两个数组，的关系数为.（）若，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；（）若，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值.（文科不考）若数组中的“元”满足设数组含有四个“元”，且，求与的所有含有三个“元”的子数组的关系数的最大值【解答】（I）2（II）1（III）（海淀一模理20）设为平面直角坐标系上的两点，其中令，若，且，则称点为点的“相关点”，记作： 已知为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为

3、，其中 请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； 求证：若与重合，一定为偶数； 若，且，记，求的最大值（文科）（）已知点，若点满足，求点的坐标；（）已知为一个定点，点列满足：其中，求的最小值.【解答】（I）8个，（III）（文科）（II）或（III）当时，的最小值为；当时，的最小值为0；当时，的最小值为1（西城一模理20）已知集合；对于，定义；与之间的距离为 当时，设，若，求； 证明：若，且，使，则； 设，且，是否一定，使？说明理由； 记，若，且，求的最大值（房山一模理20）对于实数，将满足“且为整数”的实数称为

4、实数的小数部分，用记号表示例如对于实数，无穷数列满足如下条件：， 其中 （）若，求数列的通项公式；（）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；（）若是有理数，设 （是整数，是正整数，,互质），对于大于的任意正整数，是否都有成立，证明你的结论（文科）（I）若，求数列的通项公式；（）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；（）设 （是正整数，与互质），对于大于的任意正整数，是否都有成立，证明你的结论【解答】（I）；（II），；（III）成立（文科）（I）（II）.（III）成立（丰台一模理20）设满足以下两个条件的有穷数列为n（n=2,3,4,）阶“期待数列”： ； .（）分别

5、写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（）若某2k+1()阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（）记n阶“期待数列”的前k项和为，试证：（1）； （2） （文科）（）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（）记n阶“期待数列”的前k项和为，试证：.【解答】（I）；（II）d>0时，；d<0时，（文科）（II）（门头沟一模理20）对于集合，定义函数，对于两个集合，定义集合已知，（）写出与的值，并用列举法写出集合；（）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；（III）有多少个集合对，满足，且【解答】（I），；（II）7；（III）512（门头沟一模文20）已知数列的前项和为，满足下列条件；点在函数的图象上；（I）求数列的通项及前项和；（II）求证：【解答】（I），；（延庆一模理20）是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：(1)对任意，都有 ；(2)存在常数，使得对任意的，都有.()设，证明：；()设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；()（文科不考）设，任取，令证明:给定正整数,对任意的正整数,不等式成立.（朝阳一模理20）设是数