第16讲导数在函数中的应用

1、 掌握利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和最值的方法 1()0()0()()2()0 )(1 0()aby f xfxy f xabfxababf xaby f xfxfxababf x对于定义在区间 ， 内连续不间断的函数 =，由=在 ， 内单调递增在 ， 内恒成立，其中 ，为的单调递增区间；对于定义在区函数的单调性间 ， 内连续不间断的函数 =，由在 ， 内恒成立，其中区间 ，为的单与调其导数的关系递减区间 00000000001_22f xxxxxf xf xyf xxf xf xyf xxxf x极大值极小值极值与极值点：设函数在点 及其附近有定义，如果对 附近的异于 的所有点 ，

2、都有，则称为的极大值，记作=， 为极大值点反之，若，则称为的极小值，记作=， 为极小值点，极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为函数极值点若 为可导函数的极值与其导数的关的极值点系，则有_；反之，不一定成立 00max00min01 _2_3y f xIxxIf xyf xf xyf xy f xabab函数的最值：如果在函数 =的定义域 内存在，使得对任意的，都有，则称为函数的最大值，记作=；反之，若有，则称为函数的最小值，记作=最大值和最小值统称为最值；如果函数的最函数 =在闭区间 ， 上的图象是的曲线，则该函数在闭区间值与其的关系，导数上一定能够取得最大值与最小值4()()(

3、)()()()()ab极值是反映函数的局部性质，最值是反映函数的整体性质极大 小 值不一定是最大 小 值，最大小 值也不一定是极大 小 值，极大值不一定比极小值大但如果函数的图象是一条不间断的曲线，在区间 ， 内只有一个极值极值与最值的区，那么极大 小 值就别与是最大系小联值 00000()0y f xabf xf xf xf xfxf xf xf xf x【要点指 =在 ， 内单调递减；= ；一条南】连续不间断 一一 函数的单调性与导数函数的单调性与导数 二函数的极值与导数二函数的极值与导数 三三 函数的最大值、最小值与导数函数的最大值、最小值与导数 112034f xfxf xf xfxf

4、xf x求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：确定函数的定义域；令= ，求出此方程在的定义域内的一切实根；把函数无定义的点的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，这些点把定义域分成若干个小区间；确定在各小开区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应的小开区间的增减性 21203y f xfxfxfxf xf x求可导函数 =的极值的方法：求导数；求方程= 的根；检验在每个根左、右的符号，如果根的左侧附近为正，右侧附近为负，则在这个根处取得极大值；如果根的左侧附近为负，右侧附近为正，则在这根处取得极小值 31()24120“”f xabf xabf af bfx求可导函数在闭区间 ，上的最值的方法：求在 ， 内的极值；将求得的极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值注意：利用导数求单调区间时，必须先求定义域；使导函数= 的点称为函数的驻点，则可导函数