人教版数学必修二30228

1、人教版数学必修二第四章圆与方程 重难点解析第四章 课文目录 41 圆的方程 42 直线、圆的位置关系 43 空间直角坐标系重点：1、圆的标准方程。2、圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F3、直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法4、用坐标法判断圆与圆的位置关系5、直线与圆的方程的应用难点：1、会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。2、对圆的一般方程的认识、掌握和运用3、用坐标法判直线与圆的位置关系4、用坐标法判断圆与圆的位置关系5、直线与圆的方程的应用一、圆的标准方程1、圆心为，半径为的标准方程为：由圆的标准方程知它含有三

2、个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。特别地，若圆心为原点，此时，圆的标准方程为2、过圆上一点的切线方程：在圆上，过M的切线方程为当在圆上，过M的圆的切线方程为3、满足如下两点，才可称方程是以为圆心，为半径的圆的方程：(1)若点在以为圆心，为半径的圆上，则必须满足方程；(2)满足方程的点一定在以为圆心，为半径的圆上。4、判断点P在圆上、圆内、圆外的依据是比较点P到圆心的距离与半径的大小关系：点P在圆外；=点P在圆上；点P在圆外；=点P在圆上；点P在圆内。例3：求过点A(1，-1)、B(-1,1)且圆心在直线上的圆的方程。(2001年全国文科高考题)点拨本题关键是求出圆心C的坐标，而圆

3、心C应是AB的垂直平分线与已知直线的交点。解答线段AB的垂直平分线方程为由得圆心C的坐标为(1,1)所求圆的半径=|CA|=2所求圆的方程为总结在求解解析几何问题时，要强调图形在分析问题中的辅助作用，要适当地应用几何知识来帮助解题，这是简化解题过程中运算量的一个有效技巧。这里的几何知识主要包括两方面的内容：一是应用平面几何中的有关定理(通常在涉及直线和圆的问题中用得上)；二是在求解圆锥曲线的某些问题时，应注意它们的几何定义。例4：求以为圆心，且与直线相切的圆的方程点拨关键是求半径，而由直线和圆相切知半径即为圆心到直线的距离。解答设圆的半径为r 圆与直线相切 圆心到直线距离 圆的标准方程为：例5

4、：已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程。点拨求直线方程，已知了一个点，还需求一个点或斜率，此题求斜率好，因为有直线互相垂直，斜率有关系 。或者用轨迹法，根据题目条件列出一关系式。解答法一、如图，设切线斜率为，半径OM的斜率为，切线方程为 ，整理得当点M在坐标上时，上述方程同样适用。法二、设P(x,y)是切线上任意一点，则 即 整理得 即 切线方程为:法三、设P(x,y)是切线上任意一点，则 即 整理得 切线方程为：二、圆的一般方程1、圆的一般方程： 将圆的标准方程的展开式为：取得这个方程是圆的方程反过来给出一个形如的方程，它表示的曲线一定是圆吗？再将上方程配方，得不难看出，此方程与圆的标准

5、方程的关系（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；（2）当时，方程只有实数解，即只表示一个点（-，-）;（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程表示的曲线不一定是圆只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程。2、圆的一般方程的特点：（1）和的系数相同，且不等于0；没有这样的二次项（2）确定圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数就可以了（3）与圆的标准方程比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。3、用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或

6、一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程注意：关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程典型例题：例1：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。点拨据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程解答设所求的圆的方程为

7、：在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，即解此方程组，可得：所求圆的方程为：；得圆心坐标为（4，-3）.或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)例2：求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1x2+y2-2x+10y-24=0和C2x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程解答法一：(0，2)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10法二：设所求圆的方程为：x2+ y2-2x+10y-24+(x2+

8、y2+2x+2y-8)=0(-1)整理并配方得：由圆心在直线l上得=-2将=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0例3：已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。点拨如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。解答设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是上运动，所以点A的坐标满足方程,即把代入，得例4：已知一曲线是与两个定点距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。点拨在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，

9、所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出解答设点是曲线上的任意一点，也就是点属于集合即,整理得：所求曲线方程即为：，将其左边配方，得。此曲线是以点为圆心，为半径的圆.如右上图所示 变型：（1）已知一动点到定点与到距离之比为常数，求动点的轨迹。当时，方程为，轨迹为线段的垂直平分线；当时，方程为，轨迹时以 为圆心，为半径的圆。（2）已知定点，动点满足射线，求动点的轨迹。由内分定理知，由（1）知方程为，轨迹是圆。三、直线、圆的位置关系1、直线与圆的位置关系的判定:代数法：由方程组，得，方程组有两解相交方程组有一解相切方程组无解相离几何法：直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离位置关系几何特征方程

10、特征几何法代数法相交有两个公共点方程组有两个不同实根d0相切有且只有一公共点方程组有且只有一实根d=r=0相离没有公共点方程组无实根dr两圆外离；=两圆外切；两圆相交；=两圆内切；d两圆内含。典型例题：例1：设m0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为A.相切 B.相交C.相切或相离D.相交或相切解答圆心到直线的距离为d=，圆半径为.dr=（m2+1）=（1）20，直线与圆的位置关系是相切或相离.例2：圆x2y24x+4y+6=0截直线xy5=0所得的弦长等于A.B.C.1 D.5解答圆心到直线的距离为，半径为，弦长为2=.例3：（2004年全国卷，4）圆x2+y24x=

11、0在点P（1，）处的切线方程为A.x+y2=0B.x+y4=0C.xy+4=0D.xy+2=0解答解法一：x2+y24x=0y=kxk+x24x+（kxk+）2=0.该二次方程应有两相等实根，即=0，解得k=.y=（x1），即xy+2=0.解法二：点（1，）在圆x2+y24x=0上，点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.又圆心为（2，0），k=1.解得k=，切线方程为xy+2=0.例4：（2004年上海，理8）圆心在直线2xy7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，4）、B（0，2），则圆C的方程为_.解答圆C与y轴交于A（0，4），B（0，2），由垂径定理得圆心在y=3这条直线上.又已知圆

12、心在直线2xy7=0上，解得x=2，联立y=3，2xy7=0.圆心为（2，3），半径r=|AC|=.所求圆C的方程为（x2）2+（y+3）2=5.答案：（x2）2+（y+3）2=5例5：若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是_.解析：利用数形结合.答案：1k1或k=例6：已知圆x2+y2+x6y+m=0和直线x+2y3=0交于P、Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.点拨由于OPOQ，所以kOPkOQ=1，问题可解.解答将x=32y代入方程x2+y2+x6y+m=0，得5y220y+12+m=0.设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条

13、件y1+y2=4，y1y2=.OPOQ，x1x2+y1y2=0.而x1=32y1，x2=32y2，x1x2=96（y1+y2）+4y1y2.m=3，此时0，圆心坐标为（，3），半径r=.总结在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.例7：求经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，且圆心在直线xy4=0上的圆的方程.点拨根据已知，可通过解方程组得圆上两点，（x+3）2+y2=13，x2+（y+3）2=37由圆心在直线xy4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方

14、程为（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0，再由圆心在直线xy4=0上，定出参数，得圆方程.解答因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0.展开、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+.圆心为（，），代入方程xy4=0，得=7.故所求圆的方程为（x+）2+（y+）2=.总结圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+（x2+y2+D2x+E2y

15、+F2）=0（R且1）.它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.例8：已知圆C：（x1）2（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.点拨直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.解答（1）证明：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0.得mR，2x+y7=0，x=3，x+y4=0，y=1，即l恒过定点A（3，1）.圆心C（1，2），AC5（半径），点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，lAC，由kAC，l的方程为2xy5=0.

16、例9：求圆心为（2,1），且与已知圆相交所得的公共弦所在直线过点（5，2）的圆的方程。点拨由于已知圆心坐标，为此要求圆的方程只需求得圆的半径即可。解答设所求圆的方程为，即已知圆方程为，得公共弦所在直线的方程为公共弦所在直线过点（5，2），5450，4，所求圆的方程为总结当已知曲线类型时，求其曲线方程的常用方法是待定系数法。例10：已知圆：，圆：（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程；（3）求公共弦的长度。解答（1）圆的圆心为（3,0），半径为，圆的圆心为（0，2），半径为，又，圆与相交。（2）由，得公共弦所在的直线方程为。（3）圆心到直线的距离为，两圆公共弦的长度为。例11：

17、求以圆和圆：的公共弦为直径的圆的方程点拨求出两圆的交点坐标，再求出圆心和半径；或利用圆系方程求解。解答解法一：相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0再由解得两圆的交点坐标A（1,2）、B（5,6）所求圆以AB为直径，所求圆的圆心是AB的中点M（2，2），圆的半径为rAB5于是所求圆的方程为解法二：设所求圆的方程为：即圆心坐标为C圆心C应在公共弦AB所在直线上， 所求圆的方程为总结解法一体现了确定圆的条件，求圆心和半径的这一基本方法；解法二采取了设所求圆的方程为圆系方程，再用求待定系数求解，解法二比较简练例12：求与圆相切于点P（3,6），且经过点Q（5,6）的圆的方程。点拨可将点P看成一

18、个特殊的圆，利用圆系方程求解。解答切点P（3,6）在已知圆上，将它视为“点圆”：，故可建立圆系方程所求圆经过点Q（5，6），代入上述方程，解得2故所求圆的方程为总结在求与已知直线或已知圆相切于某一已知点的圆的方程时，把切点视为“点圆”，并运用圆系方程求解，是一个重要的方法和技巧。例13：求证：C：与C：在同一交点处的切线互相垂直。点拨利用圆的几何性质证明，即证交点处的一圆的半径与另一圆在此处的半径垂直。解答设两圆交于点A、B，连CA、CA，|CA|=4，| CA|=2，即 由平面几何知识知：CA所在直线是C的切线，CA所在直线是C的切线，C与C在交点A处的切线互相垂直。 同理可证：C与C在交点

19、B处的切线互相垂直。总结本题利用了圆的几何性质，思路清晰、明快。可见，认真审题，充分利用图形的几何性质，有效地实施命题转换，寻找证题思路是十分重要的，这也是能力的体现。例14：已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长点拨因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去项、项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长解答设两圆交点为、，则两点坐标满足方程组，得因为，两点坐标都满足此方程，所以，即为两圆公共弦所在的直线方程易知圆的圆心，半径又到直线的距离为所以，即两圆的公共弦长为总结本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要 注重分析例15：求过两圆的交点

20、，且圆心在直线上的圆的方程点拨所求圆圆心是两已知圆连心线和已知直线的交点，再利用弦心距、弦长、半径之间的关系求圆半径解答（法一）可求得两圆连心线所在直线的方程为由得圆心利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长， 所以，圆半径所以，所求圆方程为，即（法二）设所求圆的方程为即故此圆的圆心为，它在直线上， 所以，所以所以所求圆方程为ABCzxyOABCD总结“解法二”中设出的经过两已知圆交点的圆方程叫做经过两已知圆的圆系方程四、空间直角坐标系1、 定义：如图，OABCDABC是单位正方体，以O为原点分别以射线OA，OC，OD的方向为正方向，以线段OA，OC，OD的长为单位长，建立三条数轴：X轴

21、、Y轴、Z轴。这时我们说建立了一个空间直角坐标 图（1）系Oxyz。其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。zxyORPQMM说明：右手直角坐标系。2、空间直角坐标系的画法：斜二测方法3、空间一点坐标M（x,y,z）其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标， 图（2）z叫做点M的竖坐标。4、空间直角坐标系的卦限：类比平面直角坐标系有四个象限及点关于坐标轴对称点坐标的变化，启发学生想象，坐标平面把空间分成八部分，介绍空间直角坐标系的卦限的概念，并归纳总结空间点关于坐标轴对称时点的坐标变化。5、空间的点M用

22、有序实数对(x, y, z)表示：设点M为空间直角坐标系中的一点，过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于P、Q、R点，设点P、Q、R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就有唯一确定的有序实数组(x, y, z)；反过来，给定有序实数组(x, y, z)，可以在x轴、y轴、z轴上依次取坐标为x、y和z的点P、Q和R，分别过P、Q和R点各作一个平面，分别垂直于x轴、y轴、z轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组(x, y, z)确定的点M。6、特殊点的规律：在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都

23、是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零。7、注意：（1）、在建立空间直角坐标系O-xyz时，要注意使，且使y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半。（2）、在确定给出空间图形各顶点的坐标时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，以便于计算所需确定的点的坐标。（3）、对于空间直角坐标系中的问题，要善于用类比于平面直角坐标系中相关问题的求解方法解决。典型例题：M（6，-2,4）Oxyz624例1：在空间直角坐标系中，作出点M(6，2,4)。点拨点M的位置可按如下步骤作出：先在

24、x轴上作出横坐标是6的点，再将沿与y轴平行的方向向左移动2个单位得到点，然后将沿与z轴平行的方向向上移动4个单位即得点M。解答M点的位置如图所示。总结对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步培养空间想象能力。例2：已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。点拨先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系。解答正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，正四棱锥的高为。以正四棱锥

25、的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，-2,0)、B(2,2，0)、C(-2,2，0)、D(-2，-2,0)、P(0,0，)。总结在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标。例3：在长方体中，AB=12，AD=8，=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。解答以A为原点，射线AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)、B(12,0，0)、C(12,8，0)、D(0,8，0)、(0,0，5)、(12,0，

26、5)、(12,8，5)、(0,8，5)。例4：在空间直角坐标系中，求出经过A(2,3，1)且平行于坐标平面yOz的平面的方程。点拨求与坐标平面yOz平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz平行的平面内的点的特点来求解。解答坐标平面yOzx轴，而平面与坐标平面yOz平行，平面也与x轴垂直，平面内的所有点在x轴上的射影都是同一点，即平面与x轴的交点，平面内的所有点的横坐标都相等。平面过点A(2,3，1)，平面内的所有点的横坐标都是2，平面的方程为x=2。总结对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中

27、的问题。本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与x轴(或y轴)平行的直线的方程。ABCABCDzxyO例5：如图，在长方体OABC-DABC中，|OA|=3，|OC|=4，|OD|=2。写出D，C，A，B四点的坐标。解答D在Z轴上，且|OD|=2它的竖坐标是2，它的横坐标x与纵坐标y都是零，所以点D的坐标是（0，0，2）同理点C的坐标是（0，4，0）点A的坐标是（3，0，2）点B在xOy平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同。在xOy平面上，点B横坐标x=3，纵坐标y=4。点B在z轴上的射影是D，它的竖坐标与点D的竖坐标相同，点D的竖坐标z=2。所以点B

28、的坐标是（3，4，2）。例6：结晶体的基本单位称为晶胞如图是食盐晶胞的示意图。其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子。建立空间直角坐标系Oxyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。yxzO解答把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标。下层的原子全部在xOy平面上所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为：（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0）（0，1，0），（，0）中层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为，所以这四个钠原子所在位置的坐标分别是（，0，），（1，），（，1，），（0，）上层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以这五个钠原子所在

29、位置的坐标分别是（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（，1）。第四章圆与方程单元测试题一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a、b、c的值依次为（A）2、4、4； （B）-2、4、4； （C）2、-4、4； （D）2、-4、-42.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y2=9截得的弦长为（ ） (A) (B)4 (C) (D)23.点的内部，则的取值范围是（ ）(A) (B) (C) (D) 4.自点的切线，则切线长为（ ）(A) (B) 3 (C) (D) 55.已