人教版高数选修45证明不等式的基本方法教师版

1、证明不等式的基本方法_教学重点： 掌握比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法；教学难点： 理解放缩法的解题及应用。1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系的方法，即通过“，；或，”来确定，大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。2、分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。3、综合法：从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。4、反证法：从否定

2、结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的。5.放缩法：放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须时刻注

3、意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。类型一： 比较法、分析法和综合法去证明不等式例1. 求证：x2 + 3 > 3x解析：(x2 + 3) - 3x = x2 + 3 > 3x答案：见解析练习1. 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：答案：a,b,m都是正数，并且a<b，b + m > 0 , b - a > 0 即：练习2. 已知a, b都是正数，并且a ¹ b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2答案：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b

4、5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正数，a + b, a2 + ab + b2 > 0又a ¹ b，(a - b)2 > 0 (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2例2. 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：解析：2bc,a0,2abc 同理 2abc 2abc 因为a，b，c不全相等，所以2bc, 2ca, 2ab三式

5、不能全取“=”号，从而、三式也不能全取“=”号答案：见解析。练习3. 已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：答案：左右=2（ab+bcac）a，b，c成等比数列，又a，b，c都是正数，所以例3. 求证解析：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得 即 因为成立，所以成立即证明了答案：见解析练习4. 已知a,b,c,dR,求证:ac+bd答案：(1)当时,显然成立(2)当时,欲证原不等式成立,只需证即证即证 即证 因为R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立类型二： 反证法和放缩法证明不等式例4. 若a, b, c, dÎR+，求证：解析：（用放缩法）记

6、m = a, b, c, dÎR+ 1 <m <2 即原式成立答案：见解析练习5. 当 n > 2 时，求证：答案：（用放缩法）n>2 n > 2时, 例5. 设0<a,b,c <1，求证：(1 -a)b,(1 -b)c,(1-c)a,不可能同时大于解析：（用反证法）设(1 - a)b >,(1 -b)c>,(1 -c)a>,则三式相乘：(1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a > 又0 <a,b,c <1 同理 ,将以上三式相乘 (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 此与矛盾(1 -a

7、)b,(1 -b)c,(1-c)a,不可能同时大于答案：见解析练习6. 已知a+b+c> 0，ab +bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0答案：（用反证法）设a < 0, abc>0, bc < 0又由a + b + c > 0, 则b+c>-a>0ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 此与题设矛盾又 若a = 0，则与abc > 0矛盾， 必有a > 0同理可证 b > 0, c > 01. 设a, b, c Î R，（1）求证：（2）求证：（3）若a

8、+ b = 1, 求证：答案：（1） （2）同理：， 三式相加：（3）由幂平均不等式：2.a , b, cÎR, 求证：（1）(2)(3) 答案：(1)法一：, , 两式相乘即得法二：左边 3+2+2+2 = 9(2)两式相乘即得(3)由上题： 即 3. 求证：答案：（用放缩法）4. 设x > 0, y > 0, ，求证：a < b答案：放缩法：5. 若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2答案：反证法：设2，2 x, y > 0，可得x + y 2 与x + y >2矛盾_基础巩固1. 设a, b Î R+，

9、求证：答案：作商：当a = b时， 当a > b > 0时， 当b > a > 0时，2. 证明lg9lg11 < 1答案：放缩法：3. 设0 < a, b, c < 2，求证：(2 - a)c, (2 - b)a, (2 - c)b,不可能同时大于1答案：反证法：(2 - a)c>1, (2 - b)a>1, (2 - c)b>1,则(2 - a)c(2 - b)a(2-c)b>1又因为设0 < a, b, c < 2，(2 - a) a,同理 (2 - b) b1, (2 - c) c1,所以(2 - a)c(2

10、 - b)a (2 - c)b1此与矛盾4. 证明答案：放缩法：5. 已知x>0,y>0，2x+y=1，求证：答案： 即：6. 求证答案： 为了证明原不等式成立，只需证明即 ，只需证明成立原不等式成立7. 设、是三角形的边长，求证答案：由不等式的对称性，不妨设，则 且， 8. 若a > b > c,则答案：9.证明 答案：左边10. 证明答案：11. 已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn < cn (n3, nÎR*)答案： ，又a, b, c > 0, an + bn < cn12. 若，证明

11、（ 且）答案： （1）当时，因为 ，所以 （2）当时，因为 所以 综合（1）（2）知13. 设，求证：答案： 又，14. 对于任意实数、，求证（当且仅当时取等号）答案： （当且仅当时取等号）两边同加，即： （1）又： （当且仅当时取等号）两边同加 （2）由（1）和（2）可得（当且仅当时取等号）15. 已知、，求证答案： ，同理：，。能力提升16已知，求证：答案： 1= 又 17. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ¹ n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？答案：设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，则： 可得：S, m, n都是正数，且m ¹ n，t1 - t2 < 0 即：t1 < t2从而：甲先到到达指定地点。18. 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大答案：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明为了证明上式成立，只需证明 两边同乘以正数，得因