人教版高二数学暑期课程 理 正余弦定理的综合应用 学案

1、第四讲 正、余弦定理的综合运用适用学科数学适用年级高二（理）适用区域通用课时时长（分钟）120知识点1、应用正、余弦定理解三角形2、应用正、余弦定理解决实际问题3、应用正、余弦定理求解面积、周长和最值问题学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。学习重点正确快速的应用正余弦定理解三角形，求解三角形的面积、周长和最值等综合问题。学习难点正确快速的应用正余弦定理解三角形，求解三角形的面积、周长和最值等综合问题。学习过程一、知识讲解考点/易错点1（一）解三角形过程中常用三角恒等变换公式1、同角三角函数之间的关系（1）平方关系: （2）商的关系： （3）倒数

2、关系： 2、诱导公式“奇变偶不变、符号看象限”： 奇变偶不变是指：先将公式中的角化为（）的形式，其中的奇、偶是指的奇偶性，变与不变是指三角函数名称的变化，若为奇数，则与互变，与互变；若为偶数，则三角函数名称不变。符号看象限是指：把看成锐角后，所在象限的原三角函数值的符号即为诱导公式中新三角函数的符号。3、两角和差公式（1） （2） （3） 4、倍角公式5、辅助角公式形如（其中不全为零）的式子称为辅助角公式,，其中的系数符号为正。6、三角形内角关系在中，；7、三角形面积公式（二）正余弦定理及其变形1、正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一： (解三角形的重要工具)形式二

3、： (边角转化的重要工具)形式三：形式四：2、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： 考点/易错点2根据正余弦定理求三角形的面积和周长问题根据已知条件，可以应用正余弦定理进行边角转化，进而求出一个角的大小，或角与角之间的关系，再应用余弦定理，求面积或求边的长度。注意：若给出的已知条件中含有平方或求面积时，一般会用到余弦定理进行求解；若已知条件中给出两边的和，如，可以对其进行平方，得到边的平方与乘积的关系，再应用余弦定理进行求解。例：在中，角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小；（2）若，求的面积.考

4、点/易错点3根据正余弦定理求值问题在处理求面积、周长或其它最值问题时，一般情况下，最后会用到三角恒等变换中的辅助角公式，将其化为正弦型或余弦型函数，然后再根据三角函数求值域的知识进行求解。学生不要形成这种的思维定势，因为有些试题最后要把它看做关于或的二次函数，再结合二次函数在固定区间求最值得方法进行求解。例：已知向量.若，求值.解：此题化简到最后，就不能应用辅助角公式将其化成正弦型函数或余弦型函数，而是将其看做是关于的一元二次函数，然后再求解.考点/易错点4解三角形的实际应用（几个典型问题的处理）1、常见的几种题型测量距离为题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等。2

5、、解题时需要注意的几个问题（1）要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确的找出这些角；（2）要注意将平面几何中的性质、定理与正余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件。3、几个典型问题的处理 （1）求距离问题的注意事项 选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量一直则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解。确定是用正弦定理还是应用余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理。 （2）求高度问题的注意事项 在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角（视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角）是一个关键。在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，

6、这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚也不容易搞错。二、例题精析【例题1】【题干】在中，角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求和的值【例题2】【题干】设的内角所对的边分别为且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.【例题3】【题干】已知向量.（1）若，求的值；（2）记，在中，角的对边分别是，且，求函数的取值范围.【例题4】【题干】在中， 分别为角的对边，且.（1）求的大小；（2）求的最大值.三、课堂运用【例题1】【题干】若的三个内角满足，则 （ ）A一定是锐角三角形. B一定是直角三角形.C一定是钝角三角形. D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角

7、形.【例题2】【题干】在中，（1）求角的大小；（2）若最大边的边长为，求最小边的边长【例题3】【题干】在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,.(1)求证:(2)若,求的面积.【例题4】【题干】如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）【例题5】【题干】已知得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为 .【例题6】【题干】已知向量且

8、，其中A，B，C是的内角，,c分别是角A，B，C的对边.（1）求角C的大小；（2）求的取值范围.【例题7】【题干】在中，分别为角的对边，且满足.（1）求角的值；（2）若，设角的大小为的周长为，求的最大值.【例题8】【题干】在中,若,则 .【例题9】【题干】中，所对的边分别为，且,（1）求；（2）若,求.【例题10】【题干】在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且(1)确定角C的大小：（2）若c,且ABC的面积为,求ab的值。四、课后作业【例题1】【题干】在中，角的对边分别为，。（1）求的值；（2）求的面积.【例题2】【题干】已知的周长为，且（1）求边的长；（2）若的面积为，求角

9、的度数【例题3】【题干】在中，（1）求的值（2）设，求的面积【例题4】【题干】如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求DEF的余弦值。 【例题5】【题干】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 （1）求的值； （2）若，的面积。【例题6】【题干】在中，角、所对应的边分别为、，且满足（1）求角的值；（2）若，求的值【例题7】【题干】在中，分别为内角的对边，且。（1）求；（2）若，求【例题8】【题干】如图，在ABC中，ABC90°，AB=，BC=1，P为ABC内一点，BPC90°(1)若PB=，求PA； (2)若A