空间曲面的切平面与法线（课堂PPT）

1、.1.2设曲面方程为设曲面方程为, 0),( zyxF),(),(),(000tztytxT 曲线在曲线在M处的切向量处的切向量切平面切平面 ,)()()(:tzztyytxx nTM二、曲面的二、曲面的切平面切平面与与法线法线在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线法线法线.3)(),(),(MFMFMFnzyx 令令则则,Tn 切平面方程为切平面方程为:0)()()(000 zzMFyyMFxxMFzyx, 0)(),(),( tztytxF, 0)()()()()()(000 tzMFtyMFtxMFzyx),(),(),( 000000000zyxFzyxFzyxFn

2、zyx 即即),(),(),(000tztytxT 曲线在曲线在M处的切向量处的切向量法线方程为法线方程为:.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx .4解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 0)1()0 , 2, 1()0 , 2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程; 0)0(0)2(2)1(4 zyx.001221 zyx.)0 , 2 , 1(32 切切平平面面和和法法线线方方程程处处的的在在点点求求曲曲面面 xyezz例

3、例1 1.5,1),( 22zyxzyxF 令令)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为; 0)4()1(2)2(4 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx解解.)4 , 1 , 2(1 22切平面和法线方程切平面和法线方程处的处的在点在点求曲面求曲面 yxz例例2 2.6注：注：空间曲面方程形为空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为:,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为:.1),(),(0000000 zzyxfyyyx

4、fxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令曲面在曲面在M处的切平面的法向量为处的切平面的法向量为:,1),(),(0000 yxfyxfnyx.7所求切平面的法向量为所求切平面的法向量为:, 0)31()31()31( zyx法线方程为法线方程为:. zyx 解解.)31,31,31(1 222切平面和法线方程切平面和法线方程处的处的在点在点求球面求球面 zyx例例4 4切平面方程为切平面方程为:,32,32,32 n;3 zyx即即, 1),(222 zyxzyxF令令.8)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的的全全

5、微微分分在在点点函函数数),(),(00yxyxfz 曲面曲面: z = f ( x, y ) 在在M处的切平面方程为处的切平面方程为),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在点在点),(000zyx处的处的切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的竖坐标的增量.全微分的几何意义全微分的几何意义:.9空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线三、小结三、小结,)()()( . 1 tzztyytxx);(),(),(tztytxT ,)()( . 2xzzxyy);(),(, 1xzxyT ,0),(0),( . 3zyxGz