随机误差的正态分布

1、随机误差的正态分布随机误差的正态分布 随机误差是由一些随机误差是由一些偶然的或不确定偶然的或不确定的因素引起的误差，在消除了系统误差的因素引起的误差，在消除了系统误差后，多次重复测定仍然会有所不同，具后，多次重复测定仍然会有所不同，具有分散的特性，它的大小及方向仍难以有分散的特性，它的大小及方向仍难以预测，似乎没有什么规律性，但如果用预测，似乎没有什么规律性，但如果用统计学方法处理，就会发现它服从一定统计学方法处理，就会发现它服从一定的统计规律。的统计规律。一一 频率分布频率分布例如：在相同的条件下对某试样中镍的质量分数例如：在相同的条件下对某试样中镍的质量分数(%)进行进行90次测定结果次测

2、定结果1.60 1.67 1.67 1.64 1.58 1.64 1.67 1.60 1.57 1.601.59 1.64 1.74 1.65 1.64 1.61 1.65 1.69 1.64 1.631.65 1.70 1.63 1.62 1.70 1.65 1.68 1.66 1.69 1.601.70 1.63 1.67 1.70 1.70 1.63 1.57 1.59 1.62 1.601.53 1.56 1.58 1.60 1.58 1.59 1.61 1.62 1.55 1.521.49 1.56 1.57 1.61 1.61 1.61 1.50 1.53 1.53 1.591.6

3、6 1.63 1.54 1.66 1.64 1.64 1.64 1.62 1.62 1.651.60 1.63 1.62 1.61 1.65 1.61 1.64 1.63 1.54 1.611.60 1.64 1.65 1.59 1.58 1.59 1.60 1.67 1.68 1.691 由大到小排列成序，找出最大值和最小值。由大到小排列成序，找出最大值和最小值。2 算出极差算出极差R=1.74% -1.49% = 0.25%，3 算出组距，极差除以组数（算出组距，极差除以组数（9组）算出组组）算出组距为距为0.25%/9=0.03%4 以组距（以组距（0.03%）分组，）分组，5 算出频数

4、、频率（相对频数），算出频数、频率（相对频数），6 绘出频率分布图。绘出频率分布图。统计处理统计处理分组（分组（%）频数频数频率（相对频数）频率（相对频数）1.4851.5151.5151.5451.5451.5751.5751.6051.6051.6351.6351.6651.6651.695 1.6951.725 1.7251.7552661722201061900.0220.0670.0670.1890.2440.2220.1110.0670.0111.000 频率分布数据频率分布数据频率分布图频率分布图规规 律律1. 测量过程中随机误差的存在，使分析结测量过程中随机误差的存在，使分析结

5、果高低不齐，即测量数据具有分散的特性。果高低不齐，即测量数据具有分散的特性。2. 但测量数据的分布并不是杂乱无章，而但测量数据的分布并不是杂乱无章，而呈现某种统计规律。呈现某种统计规律。3. 位于平均值（位于平均值（1.62%）之间的数据多一）之间的数据多一些，其它范围内数据少一些。些，其它范围内数据少一些。4. 更大更小的数据更少，即测量值有明显更大更小的数据更少，即测量值有明显的集中趋势。的集中趋势。二二 正态分布正态分布可以设想可以设想,当测量次数无限增加，组距当测量次数无限增加，组距减至微分量，即测量值连续变化时，减至微分量，即测量值连续变化时，直方图的形状将逐渐趋于一条峰状的直方图的

6、形状将逐渐趋于一条峰状的连续曲线，这就是正态分布曲线。连续曲线，这就是正态分布曲线。正态分布曲线，又称高斯分布。其曲正态分布曲线，又称高斯分布。其曲线为：线为：对称钟形，两头小，中间大，对称钟形，两头小，中间大，分布曲线有最高点。分布曲线有最高点。正态分布曲线正态分布曲线正态分布曲线正态分布曲线 22221)( xexfy正态分布的数学表达式正态分布的数学表达式(1) y:概率密度，它是变量概率密度，它是变量x的函数，即表示测定的函数，即表示测定值值x出现的频率；出现的频率；(2) :为总体平均值，即无限次测定数据的平均为总体平均值，即无限次测定数据的平均值，为曲线最大值对应的值，为曲线最大值

7、对应的x值；在没有系统误差值；在没有系统误差存在时，它就是真实值。存在时，它就是真实值。(3):总体标准偏差，是正态分布曲线两侧的拐点总体标准偏差，是正态分布曲线两侧的拐点之一到直线之一到直线x = 距离。距离。 反映了测定值的分散程反映了测定值的分散程度。度。 愈大，曲线愈平坦，测定值愈分散；愈大，曲线愈平坦，测定值愈分散； 愈愈小，曲线愈尖锐，测定值愈集中。小，曲线愈尖锐，测定值愈集中。式中变量的意义：式中变量的意义：(4) x- :随机误差，若以随机误差，若以x- 为横坐标，则曲线为横坐标，则曲线最高点对应的横坐标为零，表示真实值不包含最高点对应的横坐标为零，表示真实值不包含误差，这时曲

8、线成为随机误差的正态分布曲线。误差，这时曲线成为随机误差的正态分布曲线。 和和 是正态分布的两个基本的参数。一般用是正态分布的两个基本的参数。一般用N( , 2)表示：总体平均值为表示：总体平均值为 ，标准偏差为，标准偏差为 的正态分布。的正态分布。 ：反映测量值分布的集中趋势。：反映测量值分布的集中趋势。 ：反映测量值分布的分散程度。：反映测量值分布的分散程度。结 论1. 集中性集中性当当x- 时，时，y值最大，此即分布曲线的值最大，此即分布曲线的最高点，这就是说，大多数测量值集最高点，这就是说，大多数测量值集中在算术平均值附近，或者说，算术中在算术平均值附近，或者说，算术平均值是最可信赖或

9、最佳值。平均值是最可信赖或最佳值。曲线以这一直线为对称轴，说明绝曲线以这一直线为对称轴，说明绝对值大小相等的正负误差出现的频对值大小相等的正负误差出现的频率相等，因此它们常有可能部分或率相等，因此它们常有可能部分或完全抵消。当测量次数趋于无限次完全抵消。当测量次数趋于无限次时，平均值的误差趋于零。时，平均值的误差趋于零。2. 对称性对称性峰形曲线最高点对应的横坐标峰形曲线最高点对应的横坐标x- 值等于零，表明随机误差为零的测值等于零，表明随机误差为零的测定值出现的概率最大。定值出现的概率最大。曲线自峰值向两旁快速下降，说明曲线自峰值向两旁快速下降，说明小误差出现的概率大，大误差出现小误差出现的

10、概率大，大误差出现的概率小，特别大的误差出现的概的概率小，特别大的误差出现的概率极小。率极小。3. 单峰性单峰性随机误差的分布具有有限的范围，随机误差的分布具有有限的范围，其值大小是有界的。其值大小是有界的。一般认为，误差大于一般认为，误差大于 的测定值的测定值并非由随机误差所引起的。并非由随机误差所引起的。 3 4. 有界性有界性把正态分布曲线的横坐标改用把正态分布曲线的横坐标改用u来表示来表示引入引入 则则 则是标准正态分布。则是标准正态分布。 xu2221)(uexfy 三 标准正态分布标准正态分布曲线：参数标准正态分布曲线：参数 =0， 2=1的正态的正态分布曲线。分布曲线。以以N (

11、0，1)表示表示此变换的实质是将正态分布曲线的横坐标改此变换的实质是将正态分布曲线的横坐标改为为u为单位。为单位。微商：微商： xu dxdu 标准正态分布曲线标准正态分布曲线又又则则即即2221)(uexfy duudueduedxxfuu)(2121)(2222 2221)(ueuy 四四 随机误差的区间概率随机误差的区间概率标准正态分布曲线的纵坐标为概率密度。标准正态分布曲线的纵坐标为概率密度。概率密度乘以误差的某一区间，则表示这一概率密度乘以误差的某一区间，则表示这一区间的误差出现的概率。区间的误差出现的概率。因此曲线下面的面积表示全部误差的概率总因此曲线下面的面积表示全部误差的概率总

12、和，显然应当为和，显然应当为100%，即为，即为1。121)(22 dueduuu 欲求测定值或随机误差在某一区间出现的概欲求测定值或随机误差在某一区间出现的概率率P，可取不同的，可取不同的u值对上式求面积而得到。值对上式求面积而得到。例如：例如：随机误差在随机误差在区间（区间（u= 1）出现的概率。）出现的概率。 xu ux 683. 021)11(1122 dueuPu 按此方法求出不同按此方法求出不同u值时的积分面积，制成值时的积分面积，制成相应的概率积分表供直接查用。相应的概率积分表供直接查用。随机误差出现随机误差出现的区间的区间测定值出现的区间测定值出现的区间概概 率率321 uuu

13、 32 xxx9974. 024987. 09546. 024773. 06826. 023413. 0 标准正态分布概率积分表标准正态分布概率积分表面积面积面积面积面积面积0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00000.03980.07930.11790.15540.19150.22580.25800.28810.31590.34131.11.21.31.41.51.61.71.81.91.962.00.36430.38490.40320.41920.43320.44520.45540.46410.47130.47500.47732.12.22.32.42.

14、52.582.62.72.83.0 0.48210.48610.48930.49180.59380.49510.49530.49650.49740.49870.5000u xu uudue02221 面积面积概率概率uu 经无数次测定并在消除了系统误差经无数次测定并在消除了系统误差下，测定某铜矿中铜的含量为下，测定某铜矿中铜的含量为50.60%，其标准偏差为其标准偏差为0.10%，试求测定值落入，试求测定值落入50.4050.80%的概率是多少？的概率是多少？解：解： =50.60% =0.10%当当 x1=50.40 u1=(50.40-50.60)/0.10=-2当当 x2=50.80 u

15、2=(50.80-50.60)/0.10=2查表查表p54,知其相应的概率为：知其相应的概率为：0.4773 2=0.955则测定值落入则测定值落入50.4050.80%的概率为的概率为0.955 xu例例1 1： 某班学生的某班学生的117117个数据基本个数据基本遵从正态分布遵从正态分布N(66.62，0.212)。求数据落在求数据落在66.2067.08中的中的概率及大于概率及大于67.08的数据可能有的数据可能有几个几个? ?例例2:2:解：解： N(66.62，0.212) = = N( , 2) = 66.62 = 66.62 = 0.21= 0.21当当x=66.20=66.20时，时，u= =( (x- - )/ )/ =(66.20-66.62)/0.21=-2.0=(66.20-66.62)/0.21=-2.0查表查表u u=2.0=2.0时，概率为时，概率为0.47730.4773当当x=67.08=67.08时，时，u=(=(x- - )/ )/ =( 67.08-66.62)/0.21 =2.19=( 67.08-66.62)/0.21 =2.