小学奥数总复习资料

1、小学奥数总复习小学奥数知识点众多，可分为6大类，数论、行程问题和分数应用是重点也是难点。计算能力速算巧算、分数百分数、循环小数、分数拆分、四则混合运算等等基础知识和差倍、年龄、植树、周期、鸡兔同笼、方阵、逻辑、容斥、排列组合等图形问题平面图形、立体图形、几何图形、周长面积、表面积计算、阴影部分等等数论问题整除、余数、奇数偶数、因数倍数、质数合数、平方数、进制等行程问题行程、相遇、追及、流水、过桥过山洞、时钟、圆周、发车间隔等分数应用巧设单位一、折扣、浓度、比和比列、按比例分配等第一部分 计算能力1. 运算顺序 第一级：括号：（ ） 第二级：×÷：同一级运算可以交换运算次序

2、第三级：同一级运算可以交换运算次序 注意：同一级运算交换运算次序时，要带着前面的符号进行交换，然后运算。2. 去括号： a(bc)=abc a(bc)=abc a(bc)=abc a(bc)=abc a×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c3. 分配率 乘法：a×(bc)=a×ba×c a×(bc)=a×ba×

3、;c 除法：(ab)÷c=a÷cb÷c (ab)÷c=a÷bb÷c4. 两个必须掌握的性质 两数之和一定，则两数越接近，乘积越大，两数相等时，乘积最大； 两数乘积一定，则两数越接近，和越小，两数相等时，和最小。5. 速算与巧算常用基本方法： 凑整法、改变运算次序法、基准法、分组法、拆分法、倒置相加法、错位相减法、构造法等。6. 几个常用计算公式： 等差数列：和= 公差= 首项= 末项= 项数= 平方差公式：a2b2=(ab)(ab) 完全平方公式：(ab)2=a22abb2 (ab)2=a22abb2 7. 拆分列项公式（主要运用于分

4、数的简便运算） 我教:【例一】：393404397398405401400399391402=40074004400340024005 4001400400140094002=400×10743251192=400010=3990【例三】：100999897969510987654321=（10097）（9996）（9895）（94 91）（107）（96）（85）（4 1）32=1502=152巩固练习1. 3763853913813773893833743663783. 2010÷2010【例二】： =【例四】：比较下面A，B两数的大小：A=2011×2011

5、，B=2010×2012法一：20112011=20102012=4024根据两数之和一定，两数越接近，两数成绩越大，得：AB法二：A=20112 B=（20111）（20111）=201121 所以，AB2. 1÷502÷503÷5050÷504. 2010÷2010【家庭作业】：1. 2. 3. 1000减去它的一半,再减去余下的三分之一,再减去余下的四分之一,依此下去,直到余下的五百分之一,最后剩下 .4. 5. 6. 7. 8. 9. .10. .第二部分 基础知识基础知识点列表：序号知识点名称序号知识点名称序号知识点名称1归

6、一归总7盈亏问题13逻辑问题2和差问题8周期问题14数字谜3和倍问题9鸡兔同笼问题15一笔画4差倍问题10方阵问题16加法乘法原理5植树问题11抽屉问题17排列组合6年龄问题12容斥问题18牛吃草问题 基础知识这一块总体来说比较简单，但他蕴含了小学奥数的思维基础，大部分题目都是以这些基础知识点为基础展开的，因此，希望大家在轻松之余体验小学奥数的精髓，寻找解题的灵感，为后面的重点学习做准备。我教:你学：一、归一问题【含义】：在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫归一问题。【数量关系】：总量÷份数=单一量 单一量×所占份数=所

7、求份数的量 另一总量÷单一量=所求份数【解题思路】：先求出单一量，然后根据题目要求求所需量。【例1】：买5支铅笔要0.6元，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解：（1）先求出单一量：0.6÷5=0.12（元） （2）再求另一总量：0.12×16=1.92（元）列成综合算式：0.6÷5×16=1.92（元）答：需要1.92元钱。二、归总问题【含义】：解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】：单一量×

8、份数=总量 总量÷单一量=份数 总量÷另一份数=另一单一量【解题思路】：先求出总量，再根据题目要求求所需量。【例2】：服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？解：（1）先求出总量：3.2×791=2531.2（米） （2）再求另一份数：2531.2÷2.8=904（套）列成综合算式：3.2×791÷2.8=904（套）答：现在可以做904套。三、和差问题【含义】：已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】：大数=（和差）

9、47;2 小数=（和差）÷2【解题思路】：根据题目信息找出其中的和差关系，利用公式解答。【例3】：甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解：甲班人数：（986）÷2=52（人） 乙班人数：（986）÷2=46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。四、和倍问题【含义】：已知两个数量的和即他们的倍数关系（大数是小数的几倍或小数是大数的几分之几），求这两个数量各是多少，这类应用题叫和倍问题。【数量关系】：总和÷（倍数1）=小数 总和小数=大数 小数×倍数=大数【解题思路】：根据题目信息找出其中的和倍关系，利用公式解答。【例4】：

10、果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵树是杏树的3倍，求杏树、桃树各是多少棵？解：杏树：248÷（31）=62（棵） 桃树：62×3=186（棵）答：杏树有62棵，桃树有186棵。五、差倍问题【含义】：已知两个数量的差即他们的倍数关系（大数是小数的几倍或小数是大数的几分之几），求这两个数量各是多少，这类应用题叫差倍问题。【数量关系】：差÷（倍数1）=小数 差小数=大数 小数×倍数=大数【解题思路】：根据题目信息找出其中的差倍关系，利用公式解答。【例5】：果园里桃树的棵树是杏树的3倍，且桃树比杏树多124。求杏树、桃树各是多少棵？解：杏树：124÷

11、;（31）=62（棵） 桃树：62×3=186（棵）答：杏树有62棵，桃树有186棵。六、植树问题【含义】：在直线或者曲线上等距离植树（或设路灯、插彩旗等），求棵树的一类问题，叫植树问题。【数量关系】：、在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树，基本公式：棵数=段数1；棵距（段长）×段数=总长、在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树，基本公式：棵数=段数1；棵距（段长）×段数=总长、在封闭曲线上植树，两端只取其中一端，基本公式：棵数=段数；棵距（段长）×段数=总长【解题思路】：具体分析题意，确定题目所属类型，从而确定棵树与段数的关系。【例6】：一

12、条河堤长136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵垂柳？解：136÷21=69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。七、年龄问题【含义】：这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】：年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路】：抓住“年龄差不变”这个特点解题。年龄总和则是几个人每年就增长几岁。【例7】：爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢?解：35÷5=7（倍） （351）&#

13、247;（51）=6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。八、盈亏问题【含义】：根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】：一般都说，在两次分配中：一盈一亏：总人数=（盈亏）÷分配差双盈：总人数=（大盈小盈）÷分配差双亏：总人数=（大亏小亏）÷分配差【解题思路】：先确定盈亏情况，再进行计算。【例8】：给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解：（111）÷

14、（43）=12（人） 3×1211=47（个）答：有12个小朋友，有47个苹果。九、周期问题【含义】：事物在变化过程中，某些特征有规律的循环出现，成为周期现象，重复出现的部分称为周期部分。【解题思路】：仔细审题，找出其中规律，利用除法算式求余数，根据余数得到在周期中的位置，确定答案。如果除得没有余数，则是周期中的最后一个。【例9】：甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次取牛奶是星期一，那么他第100次取牛奶是星期几？解：21天内，每人取牛奶7次，甲第8次取牛奶又是星期一，因此将21天（甲取牛奶7次）看做一个周期：100÷7=142（第二次是星期四）答：他第

15、100次取牛奶是星期四。十、鸡兔同笼【含义】：这是古典的算术问题，已知笼子里鸡、兔共有多少只和共有多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题，已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少只的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【解题思路】：解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。另外，在解决鸡兔同笼问题的时候，还可以使用“站立法”、“捆绑法”。【例10】：一个农户有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，鸡、兔各有多少只？解：（14050

16、×2）÷（42）=20（只） 5020=30（只）答：有鸡30只，有兔20只。十一、方阵问题【含义】：将若干人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】：.方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数=（每边人数1）×4每边人数=四周人数÷41.方阵总人数的求法：实心方阵：总人数=每边人数×每边人数内边人数=外边人数层数差×2若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数=（每边人数层数）×层数×4【解题思路】：方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边

17、的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。【例11】：在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？解：22×22=484（人）答：参加体操表演的同学一共有484人。十二、抽屉原理【含义】：把3只苹果放进两个抽屉，会出现哪些结果呢？会发现，无论怎么放，一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉问题。【数量关系】：基本的抽屉原则：如果把n1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。抽屉原则可推广为：如果有m个抽屉，有k×mr（0rm）个元素，那么至少有

18、一个抽屉中要放（k1）个或更多的元素。通俗的说，如果元素的个数是抽屉个数若干倍多一些，那么至少有一个抽屉要放比倍数还多一个或者更多的元素。【解题思路】：. 改造抽屉，指出元素； . 把元素放入（或取出）抽屉； .说明理由，得出结论。【例12】：育才小学有367个2000年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的?解：2000年是润年，共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个学生看作“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。这说明至少有2个学生的生日是同一天。十三、容斥原理【解题思路】：公式法：直接应用包含与排除的概念和公

19、式进行求解容斥原理一：C=ABAB，利用这一公式可计算出两个集合圈的有关问题。容斥原理二：可计算三个集合圈的有关问题。D=A BCABACBCABC图像法：不是利用容斥原理的公式计算，而是画图，借助图形帮助分析，逐块地计算出各个部分，从而解答问题。【例13】：某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有24人，其中语文、数学都得优的有12人。全班得优共有多少人？解：152412=27（人）答：全班得优27人。十四、逻辑推理【解题思路】：逻辑推理需要遵循逻辑思维的基本规律同一律，矛盾律和排中律。“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。“排中律”指的

20、是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既不真也不假。“同一律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想必须是确定的，在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用。【例14】：甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。赵说：“甲是2号，乙是3号。”钱说：“丙是4号，乙是2号。”孙说：“丁是2号，丙是3号。”李说：“丁是4号，甲是1号。”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几号？解：假设赵说的前半句为真，即甲是2号。则李的后半句错误，所以丁是4号；于是孙的前半句错误，所以丙是3号；再有钱的前半句错误，所以乙是2号，与甲是2号矛盾，假设错误。因此，赵的后半

21、句为真，乙是3号，则丙是4号，丁是2号，甲是1号。十五、数字谜【含义】：数字谜语是一种有趣的数学问题。它的特点是给出运算式子，但式中某些数字是用字母或汉字来代表的，要求我们进行恰当的判断和推理，从而确定这些字母或汉字所代表的数字。【解题思路】：步骤：1、先确定明显部分的数字2、寻找突破口，缩小范围3、分情况讨论【例15】：下题中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，当他们各代表什么数字时，算式成立？解：一个四位数乘以9仍得一个四位数，所以“我”只能是1，而“学”只能是9，进一步推算，可以得到，“我”=1，“爱”=0，“数”=8，“学”=9。十六、一笔画

22、【解题思路】：一笔画性质：.凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点位终点画完此图；.凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。.其它情况的图一般都不能一笔画出。（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。）【例16】：下图是一个公园的道路平面图，要使乘客走遍每条路且不重复，问出入口应设在哪里？解：因为此图只有两个奇点（E点和I点），根据一笔画性质2，可得出入口应分别设在E点和I点。十七、加法乘法原理【解题思路】：加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法

23、，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同方法。乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1×m2×m3××mn种不同的方法。【例17】：下图中的“我爱数学杯”有几种不同的读法？解：2×2×2×2=16（种）十八、牛吃草问题【含义】：牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】：草总量

24、=原有草量草每天生长量×天数【解题思路】：解答这类问题的关键是求出草每天的生长量。【例18】：一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？解：（10×2015×10）÷（2010）=510×205×20=100（1005×5）÷5=25（头）答；需要25头牛。1. 3台拖拉机3天耕地90公顷，5台拖拉机6天耕地多少公顷？【家庭作业】：5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？2. 小华每天读24页书，12天读完了红岩一书。小

25、明每天读36页书，几天可以读完红岩？【家庭作业】：食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天吃完。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？3. 已知一个长方形的长比宽多2厘米，周长是36厘米，求长方形的面积。3. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。【家庭作业】：甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？4. 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？4. 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆

26、，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？【家庭作业】：甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？5. 爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子的4倍，求父子二人今年各是多少岁？5. 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，这两月盈利各是多少万元？【家庭作业】：粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各10吨，多少天后，玉米是小麦的12倍？6. 甲乙丙三人锯同样粗细的钢条，分别领取1.6米，2米，1.2米长的钢条，要求按0.4米规格锯开，劳动结束后，

27、甲乙丙分别锯了24段，25段，27段，谁锯钢条的速度最快？6. 某一淡水湖的周长是1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树中间种植2株夹枝桃，可栽柳树多少株？可栽夹枝桃多少株？两株夹枝桃之间相距多少米？【家庭作业】：一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯?7.爸爸今年37岁，女儿7岁，几年后爸爸年龄是女儿的4倍？7. 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子的4倍，父子今年各是多少岁？【家庭作业】：甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁。”乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将

28、61岁。”求甲乙现在的岁数各是多少？8. 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？【家庭作业】：学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？9. 2012年的6月1日是星期五，那么2013年的6月1日是星期几？9. 果园里要种100棵果树，要求每六棵为一组。第一棵种苹果树，第二、三棵种梨树，后面三棵种桃树。那么最后一棵应种什么树？在这100棵树种，有苹果树、梨树、桃树各多少棵？【家庭作业】：小明把收集起来的硬币按四个1分，三个2分，两个5分这样的顺序往下排。那么，他

29、排的第111个硬币是几分硬币，这111个硬币共多少元？10. 鸡兔同笼，共有足248只，兔比鸡少52只，那么兔有多少只，鸡有多少只？10. 班主任张老师带四年级甲班50名同学栽树，张老师一人载5棵，男生一人载3棵，女生一人载2棵，总共栽树120棵。共有几名男生，几名女生？【家庭作业】：有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对，（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各几只？11. 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。11. 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？【家庭作业】：一堆

30、棋子，排列成正方形，多余4只棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？12. 有四种颜色的小旗，任意取出三个排成一排表示各种信号，在200个信号中至少有多少个信号相同？12. 书法竞赛的奖品是笔、墨、纸、砚四种，每位获奖者可任选其中两种奖品。问至少应有多少名获奖同学，才能保证其中必有4个同学得到的奖品完全相同？【家庭作业】：一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个，某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少取出多少个球，长能保证至少有4个球颜色相同？13. 某班共50人，参加课外兴趣小组学书法的32人，学绘画的28人，其中两

31、种都学的15人，这个班级还有多少人没参加兴趣小组？【家庭作业】：从1到100的自然数中，（1）不能被6和10整除的数有多少个？（2）至少能被2，3，5中一个数整除的数有多少个？14. 甲、乙、丙三名教师分别来自浙江、江苏、福建，分别教数学、语文、英语。根据下面的已知条件：（1）甲不是浙江人，乙不是江苏人；（2）浙江的教师不教英语；（3）江苏的教师教数学；（4）乙不教语文。则丙教什么学科？【家庭作业】：执行一项任务，要派A、B、C、D、E五人中的一些人去，受下述条件约束：（1）若A去，B必须去；（2）D、E两人至少去1人；（3）B、C两人只能去1人；（4）C、D两人都去或都不去；（5）若E去，A

32、、D两人也必须去。问应派哪些人去？15. 每个汉字代表的数字是多少？15. 下边的算式中不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，如果巧解数字谜=30，那么“巧解数字谜”所代表的五位数是多少？【家庭作业】：A、B各代表什么数字？16. 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果要选择最短的线路，谁会先到邮局？【家庭作业】：邮递员从邮局出发送信，走过如图的所有道路后再回到邮局。图中各横道、竖道之间的道路是平行的，邮递员要走遍所有的邮路至少要走多少千米？17. 有红、黄、蓝、绿、黑五种颜色的彩笔，每两种颜色的彩笔为

33、一组，最多可以配成不重复的几组？17. 有6张卡片，分别写着2，3，4，5，6，7，现在从中取出3张卡片，并排放在一起，形成一个三位数，那么共有多少个不同的三位奇数？【家庭作业】：从1、2、3、4、5中任意选两个数组成一个真分数，能组成多少个真分数？18. 有一块草场，可供15头牛吃8天，或可供8头牛吃20天。如果一群牛14天将这块草场的草吃完，那么这群牛有多少头？18. 有一条船因触礁破了一个洞，海水均匀地进入船内，发现船漏时，船已经进了一些水。如果12个人淘水则3小时可以把水淘完；如果5个人淘水则10小时把水淘完，如果需要2小时内淘完水，需要多少人？【家庭作业】：自动扶梯以均匀的速度由下往

34、上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩子每分钟走20级梯级，女孩子每分钟走15级梯级。结果男孩子用5分钟到达楼上，女孩子用6分钟到达楼上，该扶梯共有多少级？第三部分 数论知识数论知识点列表：序号知识点名称序号知识点名称1定义新运算5奇数偶数2数的整除6平均数3因数倍数7整数进制4质数合数8余数与同余 数论由于比较抽象，是小学数学的重点也是难点，而且小学数论与中学的代数有着密切的联系，因此我们必须高度重视。我教:你学：一、定义新运算【含义】：定义一种新的运算符号，这个心的运算符号包含有多重基本（混合）运算。严格按照新定义的运算规则，把一指的数带入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过

35、程、规律进行运算。正常理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。【例1】：规定ab=，则2210的值是多少？解：（1）22=1 （2）110=二、数的整除【含义】：常见的数的整除特征有：1. 能被2整除：个位是0，2，4，6，8的数（一切偶数）；2. 能被5整除：个位是0或5的数；3. 能被3整除：各数位上的数字之和能被3整除。4. 能被9整除：各数位上的数字之和能被9整除。5. 能被4（25）整除：末两位能被4（25）整除6. 能被8（125）整除：末三位能被8（125）整除7. 被11整除的数特征：奇数位上的数字

36、和雨偶数位上的数字和作差（大数减小数），所得的差能被11整除，那么这个数能被11整除。8. 能被7（或11、13）整除：一个自然数末三位数字所组成的数与末三位以左的数字所组成的数相减（大数减小数）所得的差，能被7（或11、13）整除，那么这个数也能被7（或11、13）整除。【例2】：一个六位数能被105整除，求这个六位数。解：105=3×5×7，所以这个数要同时被3、5、7整除，被5整除，则y=0，23x的和是3的倍数，x=1或4或7，分别代入，只有当x=4的时候，340200=140，是7的倍数，所以是200340；y=5，23x5的和是3的倍数，x=2或5或8，分别代入

37、，没有满足条件的数。因此，这个六位数是200340。三、因数与倍数【含义】：因数倍数：若整数a能被b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公倍数。最大公因数的性质：1.几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。2.几个数的最大公因数都是这几个数的因数。3.几个数的公因数都是这几个数最大公因数的因数。4.几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以m。求最大公因数的基本方法：1.分解质因

38、数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2.短除法：先找公有的因数，然后连乘。3.辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。4.更相减损术：可半者半之，然后大数减小数，再用差和减数作差，直到减数和差相等，即为最小公倍数。最小公倍数的性质：1.两个数的任意公倍数都是他们最小公倍数的倍数。2.两数之积等于他们的最大公因数与最小公倍数的乘积。ab=（a，b）×a，b求最小公倍数基本方法：1.短除法求最小公倍数2.分解质因数的方法【例3】：和为1111的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？解：分解质因数，1111=11×101假设

39、这个最大公因数为a，根据最大公因数性质1，这几个自然数除以a之后所得的四个数互质，他们的和最小为10，因此，取1235=11，他们的最大公因数最大能够是101。四、奇数与偶数【含义】：所有自然数按能否被2整除分类，被分成奇数和偶数两类。最小的奇数为1，最小的偶数为0。奇数和偶数的一般计算性质：1.奇数±奇数=偶数 2.偶数±偶数=偶数3.奇数±偶数=奇数 4.偶数±奇数=奇数5.奇数×奇数=奇数 6.偶数×偶数=偶数7.奇数×偶数=偶数 8.奇数÷奇数=奇数9.奇数的连乘积永远是奇数，若干个整数连乘，如果其中有一个

40、是偶数，那么乘积一定为偶数。10.相邻两个自然数的和必为奇数，相邻两个自然数的乘积必为偶数。11.两个整数之和与他们的差有着相同的奇偶性。12.奇数的平方被4除余1，偶数的平方是4的倍数。13.一般，奇数用2a1表示，偶数用2a表示。【例4】：10个不同的自然数之和等于80，在这10个自然数中，最多有多少个奇数？解：80是偶数，因此这10个数中奇数的个数必为偶数，首先考虑10个奇数，发现即使是最小的连续10个奇数，他们的和也大于80，因此考虑8个奇数，个最小的连续奇数的平均数正好是8，只要再找两个平均数是8的偶数即可。因此最多有8个奇数。五、质数与合数【含义】：质数：因数只有1和它本身的数叫做

41、质数，也叫素数。合数：除了1和它本身，还有其他因数的数叫做合数。质因数：如果某个质数是一个数的因数，那么这个质数是这个数的质因数。分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。【数量关系】：分解质因数的标准表示形式：N=2a×3b×5c×7d×11e（其中a、b、c、d、e表示各个质数的个数，可以为0）求一个数的因数个数公式：P=（a1）（b1）（c1）（d1）（e1）（P为某个数的因数的个数）【例5】：已知两个质数的和是40，这两个数的积最大是

42、多少？解：40=1723 17×23=391答：这两个质数的积最大是391。六、平均数【基本公式】：平均数=总数量÷总分数； 总数量=平均数×总份数； 总份数=总数量÷平均数。 平均数=基准数差的平均数【基本思路】： 求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算；利用基准数法进行计算：从给出的数中，确定一个数作为基准数，一般选与所有数都比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求出所有给出数与基准数的差，再求出所有差的和，然后求出这些差的平均数，最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数。【关键问题】：确定总量与份数分别是多少，以及几个总量之

43、间的关系。【例6】：有五个数，平均数是9，如果把其中一个数改为1，这五个数的平均数为8，这个改动的数原来是多少？解：9×5-8×51=6答：这个改动的数原来是6。七、整数进制【含义】：我们所学的计数都是十进制的，但事实上，还有其他进制计数方法。【数量关系】：、其它进制化十进制：基加权、十进制化其它进制：短除法、非十进制间的互化：用十进制做桥梁【例7】：将（10001）2化成十进制。解：1×241=17八、同余问题【含义】：所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀

44、。【数量关系】： 1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。（60后面的“n”请见4，下同） 2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。 3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，