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1、2010年上海市高中数学竞赛（新知杯）试题一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1函数的定义域是 ，值域是 .2.若n个正实数使等式 成立，则的值分别是 .3平面直角坐标系内有，顶点坐标为.两平行直线t3之间与公共部分的面积记为S（t），则当t变化时，S（t）的最大值是 .4设甲袋中有4只白球，5只红球，6只黑球；乙袋中有7只白球，6只红球，2只黑球.若从两袋中各取一球，则两球颜色不同的概率是 （用最简分数作答）. 5已知、是双曲线的两个焦点，M是该双曲线的右支上的点，O为坐标原点.若 ，则点M的坐标为 .6已知n2，则满足0的 位十进制正整数 共有 个（用数值作

2、答）.7设f（x）是整系数多项式，f（0）=11，又存在n个不同整数，使 则n的最大值是 .8. 、Q、AC 上，使， 则线段PQ长的最小值为 .二、解答题9（本题满分14分）如图，走廊宽为3米，夹角为120，地面是水平的，走廊两端足够长.问保持水平位置通过走廊的木棒（不计粗细）的最大长度是多少？10（本题满分14分）已知由1，2，A，先从集合A中随机取一个数，取出后把a放回集合A；然后再从集合A中随机取一个数11（本题满分16分）已知、R，求证：，并说明等号成立的条件；已知实数a使得对于任意实数、，不等式+都成立，求的最大值.12（本题满分16分）正整数n满足如下条件：对开区间（0，2009

3、）内的每个正整数m，总存在正整数k，使得，求这种n的最小值.2010年上海高中数学竞赛（新知杯）试题解答及评分参考意见一填空题（7× 4 + 8× 4=60）1-2，6 （3）； （4）. 2. . 3. . 4. . 5. . 6. 502 . 7. 3 . 8. . B P 3 3 A Q二解答题（14× 2+ 16× 2=60） 9解：过走廊转角内顶点P任作水平直线交走廊外侧于点A、B（如图），则在水平位置通过走廊的木棒长度AB.设，则. (4)当变化时，上式的最小值即是在水 平位置通过走廊的木棒的最大长度.由平均不等式及积化和差得 ， （9） 且

4、当时，AB=12. 在水平位置能通过走廓的木棒的最大长度是12米. （14）10. 解：>. （5） . （10） 故. （14）另解：当 a=1时，b=1或2，有2种取法. 当 a=2时，b的取值增加3，4，5，有2+3种取法.当 a=3时，b的取值增加6，7，8，有2+2×3种取法.当 a=333时，b有2+332×3种取法.当 334 a1000时，b都有1000种取法. （5） （10）=. (14)11. (1)证：. 等号当且仅当时成立. （6） (2) 解：设k为待定常数，且0k1, 则 . 令解得. 从而. 不等式 . 对任意实数、都成立. （11） 另一方面，取，由已知不等式得 ，. 综上，. （16） 12解：， ， ， ，. （5）上式对区间（中的每个正整数m

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