第五章非线性方程的数值解法例题精

1、第第5 5章章 非线性方程的数值解法非线性方程的数值解法n二分法n简单迭代法(收敛性，即压缩映像原理)n牛顿法(即切线法)n割线法例：用简单迭代法求方程 在区间（1,2）内x=1.5附近的一个根。（宫老师课件）解：由 建立迭代关系 计算结果如下:精确到小数点后五位013 xx311)(kkkxxx31xx5102132472. 1x5.2 5.2 简单迭代法简单迭代法例：用简单迭代法求方程 在区间（1,2）内x=1.5附近的一个根。解：由 建立迭代关系 仍取 ，则有 ， ，显然结果越来越大， 是发散序列。013 xx1)(31kkkxxx13 xx 5 . 10 x 2.3751x 12.39

2、2x kx5.2 5.2 简单迭代法简单迭代法例：证明函数 在区间 上满足迭代收敛条件。（宫老师课件，书P18定理1）证明： 因为 所以 是区间 上的单调增函数。 而 即 ，所以 满足条件（1）5.2 5.2 简单迭代法简单迭代法31)x(x2 , 1 2 , 1 0) 1(31)x(32xx)(x2 , 1 23)2(12) 1 (33，2 , 1 )2(),1 ()(x例：证明函数 在区间 上满足迭代收敛条件。（宫老师课件，书P18定理1）证明： 又 所以 满足条件（2）。 故 在区间 上满足压缩映像原理。5.2 5.2 简单迭代法简单迭代法31)x(x2 , 1 )(x2 , 1 143

3、1|) 1(31| )(|332xLxx31)x(x2 , 1 5.3 Steffensen5.3 Steffensen迭代法迭代法例题：例题： （宫老师课件） 试用Steffensen算法求解方程 。 解2： 对于该迭代函数在一般迭代法中是发散的，而Steffensen格式却是收敛的。013 xxnnnnnnnnnnnxyzxyxxyzxy2)()()(21 n = 0,1,2,1)(3 xx01.52.3751.23964843711.4162929751.8409219155.23887276921.3556504421.4913982792.31727069931.3289487771

4、.3470628831.44435122441.3248044891.3251735441.32711728151.3247179441.3247181521.32471898061.3247179575.3 Steffensen5.3 Steffensen迭代法迭代法例题：例题： 取初值 5 . 10 xnxnnzny例题例题：（宫老师课件） 用牛顿法求 的近似解。解： 由零点定理 在 有根。 由 及牛顿迭代公式得： 5.4 5.4 牛顿迭代法牛顿迭代法0cos)(xxxf0cosxx)2, 0(xxfsin1)(,.1 , 0sin1cos1nxxxxxnnnnn书P23，式(2-10)5

5、.4 5.4 牛顿迭代法牛顿迭代法085133739. 0739085133. 0739085133. 0739085178. 0;73936133. 044*43210 xxxxxxx故取得取例题例题（宫老师课件）： 用牛顿法计算 。解： 5.4 5.4 牛顿迭代法牛顿迭代法2202)(2xxxf则及牛顿迭代公式得由xxf2)(,.1 , 0)2(212221nxxxxxxnnnnnn。，。，有十位有效数的近似值是已的精确值相比与则取332102414213562. 1414215686. 1,1.416666675 . 1xxxxx解解：211 510 ,.;ab，12ln()lnlnba

6、n 21 5 11012ln( .)lnln 4.645n例例1 1：用二分法求方程用二分法求方程 在区间在区间 上的上的根，误差限为根，误差限为 ，问至少需对分多少次，问至少需对分多少次？310 xx 1 1 5 , . 210 书P15例1，式(2-5)例例2： 用用二二分法求方程分法求方程 f(x)=x3 -1.8 x2 +0.15x+0.65=0 在区间在区间 0.5，1.25 的一个实的一个实 根根解：先判断是否有解：先判断是否有 根：根： f (0.5) =10 f (1.25) = 0 f (x) = 3x2-3.6x+0.150 所以，方程在此区间内仅有一个实根所以，方程在此区

7、间内仅有一个实根 x*取取 X0=(0.5+1.25)/2=0.875 n xnf(xn)的符号 隔根区间00.875 +(0.5 , 1.25 )11.0625 -(0.875 , 1.25 )20.96875 +(0.875 , 1.0625 )31.015625 -(0.96875 , 1.0625 )40.9921875 +(0.96875 , 1.015625 )561.00390625 - (0.9921875 , 1.015625 )(0.9921875 , 1.00390625 )故所求根的近似值为故所求根的近似值为:X6= (0.9921875 + 1.00390625)/2

8、=0.998046875所产生的误差为:|x* -x6|=1/27(1.25-0.5)=0.005859例例2： 已知方程已知方程 在在 上有一个根（正根）上有一个根（正根）324100 xx1 2 , 下面选取下面选取5 5种迭代格式：种迭代格式：1 1、32410 xxxx 即即32410( )g xxxx 2 2、23410 xx 1321102xx 1321102g xx即即3 3、即即2104xxx 12104xxx 12104g xxx4 4、即即12104xx 12104g xx 5 5、即即xxxxxx83104223( )( )( )f xg xxfx 取取01 5 .x 计

9、算结果如下：计算结果如下：123840875673246972010275 10.xxxx 法法1 11234451113484013673813649613652613751713652251365230013.xxxxxxx 法法4 412123081650299691865086.( .)xxx 法法3 3123445112912869514025413454613751713751713751713651378211365230013.xxxxxxxx 法法2 2123413733313652613652300141365230013.xxxx 法法5 5例例1 用用Newton迭代法

10、迭代法 求方程求方程 x- sinx = 0.5 在在1 ,2 上的根上的根 ， 使其精确到使其精确到 10 4 解解 ： f(x) = x- sin x 0.5 f(1)= -0.34 0 f (x) = 1-cosx 0 , f (x) = sin x 0 满足条件满足条件迭代公式迭代公式 X k+1= xk - ( xk- sinxk 0.5 )/ ( 1-cos xk) 取取 x 0 =2 ( f ( x 0) f(x0) 0 ) 可求出可求出 x 1 =1.5829 x 2 =1.5009 x 3 =1.4973 x 4 =1.4973 迭代迭代4次就达到精度要求次就达到精度要求 例

11、例2 2 用用NewtonNewton迭代法求方程迭代法求方程 f(x) = xf(x) = x3 3- x -1=0 - x -1=0 在在x x0 0 =1.5 =1.5附近的一个根附近的一个根 ， 结果要求精确到结果要求精确到4 4位有效数字位有效数字解解 ： 可验证有根可验证有根取取 x x0 0=1.5 =1.5 按迭代公式按迭代公式 x x k+1k+1= x= xk k - (x - (xk k3 3-x -x k k-1)/(3x-1)/(3xk k2 2-1) -1) 计算计算x x1 1=1.3478 =1.3478 x x2 2=1.3254 =1.3254 x x 3

12、3=1.33072 =1.33072 x x4 4=1.3247 =1.3247 x x5 5=1.3247=1.3247| x| x4 4 x x5 5 |= |= 10 10 1-4 1-4 取取 x= 1.325x= 1.325若取若取 x x0 0 = 0.6 = 0.6 则迭代则迭代1111次才能达到上面的结果次才能达到上面的结果无开方运算，又无除法运算。无开方运算，又无除法运算。例例1 1：写出求写出求 的的Newton迭代格式；迭代格式； 写出求写出求 的的Newton迭代格式迭代格式, ,要求公式中既要求公式中既0()a a 10()aa 解：解：等价于求方程等价于求方程 的正根的正根200( )()f xxaa2110 1 222()(), , ,()kkkkkkkkkf xxaaxxxxkfxxx 2( )fxx 解法一：解法一：等价于求方程等价