大物第5章机械波

1、1第第5章章 (Mechanical wave)重点重点: 行波方程。行波方程。核心核心:位相。位相。2一一.机械波的产生和传播机械波的产生和传播5.1 波动的基本概念波动的基本概念 1.产生机械波的条件：产生机械波的条件： 波源波源持续振动的质点；持续振动的质点； 弹性介质弹性介质传递振动状态的介质。传递振动状态的介质。波动波动振动状态的传播过程。振动状态的传播过程。 在波的传播过程中，介质中的质点并不在波的传播过程中，介质中的质点并不“随波随波逐逐流流”, , 它们它们在各自的平衡位置附近振动在各自的平衡位置附近振动；传播传播的是波的是波源的源的振动状态振动状态。 机械振动在弹性媒质中的传

2、播过程称为机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波机械波，如声波、水波、地震波等。变化的电磁场在空间的传如声波、水波、地震波等。变化的电磁场在空间的传播称为播称为电磁波电磁波，如无线电波、光波、，如无线电波、光波、X射线等。射线等。 本章主要讨论机械波。本章主要讨论机械波。3 横波横波 (transverse wave) 质点的振动方向与波的传质点的振动方向与波的传播方向相互垂直。播方向相互垂直。 纵波纵波 (longitudinal wave) 质点的振动方向和波的质点的振动方向和波的传播方向相互平行。传播方向相互平行。 传播横波介质：介质的传播横波介质：介质的切向应变切向应变。固体可以传递

3、。固体可以传递横波，气体不能传播横波。横波，气体不能传播横波。 传播纵波的介质：介质的传播纵波的介质：介质的弹性应变弹性应变。气体，液体，。气体，液体，固体都可以传递纵波。固体都可以传递纵波。横波横波纵波纵波表面波表面波4二二 . 描述波动的物理量描述波动的物理量1).波的周期波的周期(period) T传递一个完整波所需的时间，传递一个完整波所需的时间，也是介质质元完成一次全振动的时间。波的也是介质质元完成一次全振动的时间。波的周期周期完完全由全由波源波源(周期周期)确定确定。 2).波长波长 (wave length) 一个周期内波动传播的距离。一个周期内波动传播的距离。它由波源和介质共同

4、决定。它由波源和介质共同决定。波长是波的波长是波的“空间周期空间周期”。1.描述简谐波的解析参量描述简谐波的解析参量T1波数波数 1k频率频率 角频率角频率 T2波矢波矢 2k53).波速波速u 单位时间内波传播的距离单位时间内波传播的距离 Tu波速由波速由介质的性质来确定介质的性质来确定。沿着波的传播方向沿着波的传播方向, , 质点振动的相位是依次落后的。质点振动的相位是依次落后的。pyuxo(波源波源)xuxt ux 对于简谐波，波速等于振动的对于简谐波，波速等于振动的初相的传播速度初相的传播速度，因，因此简谐波的波速又称此简谐波的波速又称相速（相速（phase velocity）。62.

5、描述波的几何概念描述波的几何概念 波线波线(波射线波射线 wave line) 波的传播方向。波的传播方向。 波面波面(波阵面波阵面wave surface) 波动过程中，振动波动过程中，振动相位相同的点连成的面。最前面的那个波面称为波前相位相同的点连成的面。最前面的那个波面称为波前（wave front ）。 平面波平面波(plane wave )波面为平面的波动。本章波面为平面的波动。本章主要讨论这种波。主要讨论这种波。 球面波球面波(spherical wave) 波面为球面的波动。波面为球面的波动。 在各向同性介质中，波线总是与波面垂直。在各向同性介质中，波线总是与波面垂直。 波面波面

6、7三三 . 惠更斯原理（惠更斯原理（1678年）年） 作用：如果已知了作用：如果已知了t 时刻的波阵面，这个波阵面上所有的点时刻的波阵面，这个波阵面上所有的点以以ut为半径，它们的为半径，它们的包迹包迹就能确定就能确定 t +t 时刻的波阵面，从而时刻的波阵面，从而进一步确定波的传播方向。进一步确定波的传播方向。 惠更斯（惠更斯（1629-1695）原理：介质中波动传播到的各）原理：介质中波动传播到的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻，这点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的些子波的包迹包迹就是新的波阵面。就是新的波阵面。 利用惠更斯原理可以解释波的传播（直线传播

7、，反射和折利用惠更斯原理可以解释波的传播（直线传播，反射和折射）、衍射现象、晶体的双折射等。射）、衍射现象、晶体的双折射等。8惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布。惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布。球球面面波波 tt + t平面波平面波t+ t时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向t 时刻波面时刻波面惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理费曼路径积分费曼路径积分95.2 平面简谐行波的平面简谐行波的波动方程波动方程 ! 注意注意这里：这里： x表示各表示各质点的平衡位置质点的平衡位置到坐标原点的距离；到坐标原点的距离； y表示各表示各质点对平衡位置的位移质点对平衡位置的位移。yxoux

8、P 一平面余弦行波在均匀无耗介质中沿一平面余弦行波在均匀无耗介质中沿x轴轴正方向传播，波速正方向传播，波速u，坐标原点的振动方程为，坐标原点的振动方程为 y=Acos( t+ o)求：坐标为求：坐标为x的的P点的振动方程点的振动方程 (此即此即波动方程波动方程)。10 因因: 均匀无耗介质、平面波，所以均匀无耗介质、平面波，所以P点的振幅点的振幅仍是仍是A，原点原点o的振动方程为的振动方程为 y=Acos( t+ o) P点比点比o点时间点时间落后落后: t=x/uyxouxP角频率仍为角频率仍为 。)(cosottAy 则则P点的振动方程点的振动方程(即即波动方程波动方程)为为11 则则P点

9、比点比o点时间超前点时间超前: t=x/u，波动方程应为，波动方程应为)(cosouxtAy )(cosouxtAy P点的振动方程点的振动方程(即即波动方程波动方程)为为yxouxPu若波沿若波沿x轴负方向传播，轴负方向传播，12波动方程波动方程的标准形式的标准形式:式中：式中：“ ”号表示波沿号表示波沿x轴正方向传播；轴正方向传播； “ ”号表示波沿号表示波沿x轴负方向传播。轴负方向传播。 o是是坐标原点坐标原点的初相。的初相。 考虑到，考虑到， =2 /T， =uT , 波动方程还可写为波动方程还可写为)ox TtAy(2cos tAy(cos )oux cosokxtAy13 1.当当

10、x=xo(确定值确定值)时，位移时，位移y只是时间只是时间t的余弦函数的余弦函数:)(cosoouxtAy 这是这是xo处质点的振动方程。处质点的振动方程。 2.当当t=to(确定值确定值)时，位移时，位移y只是坐标只是坐标x的余弦函数的余弦函数:)(cosoouxtAy 此式表示给定时刻此式表示给定时刻to各振动质点的位移分布情况各振动质点的位移分布情况,相相应的应的y-x的曲线就叫做的曲线就叫做波形曲线波形曲线，如下图所示。，如下图所示。tAy(cos )oux 讨论：讨论：14)(cosouxtAy tA(cos t x+u tu)+ o 上式表明，上式表明，t 时刻时刻x点的振动状态，

11、经时间点的振动状态，经时间 t后传播后传播到了到了x轴正方向的轴正方向的x+u t 处。处。3.当当x,t 都变化时，代表一列沿都变化时，代表一列沿x轴正方向传播的波。轴正方向传播的波。yxou 15t时刻时刻yxouu tt+ t时刻时刻cosokxtAytAy(cos)oux16 解解 (1)比较法比较法:)22cos(5 . 0 xty 波沿波沿x轴正方向传播；轴正方向传播；A=0.5m, = , k= /2, )(SI),2121(cos50 xt.y 例题例题2-1 已知：已知： 求：求：(1)波的传播方向，波的传播方向，A、T、 、u，原点，原点的初相；的初相； (2)x=2m处质

12、点的振动方程，及处质点的振动方程，及t=1s时质点时质点的速度和加速度。的速度和加速度。 (3)x1=1m和和x2=2m两点的相差。两点的相差。cosokxtAy于是于是 T=2s, =1/2Hz, u= /k=2m/s,原点初相原点初相 o= /217)m2cos(50 t.y)2sin(50 t.dtdy)2cos(502 t.dtdat=1- -0.5 (m/s)t=10(3)x1=1m和和x2=2m两点的相差：两点的相差：xk2) 12(2 (2)x=2m处质点的振动方程：处质点的振动方程： x=2x: 波程差波程差)22cos(5 . 0 xty18解解 (1) o比比C点点位相位相

13、超前超前 l /u,(2)标准函数法标准函数法:,uxtAyo)(cos o=( + l /u)(cos ulxtAytAy(cos )oux 例题例题2-2 波以波以u沿沿x轴正方向传播，轴正方向传播，yC=Acos( t+ ), 求求: (1)原点原点o的振动方程的振动方程； (2)波动方程。波动方程。则则o点点的振动方程为的振动方程为: y=Acos( t+ + l /u)xyCluo19P(x)点比点比已知点已知点C时间时间落后落后：ulxt yC=Acos( t+ )ulx tAy(cos )令令x=0得坐标原点得坐标原点o的振动方程为的振动方程为:tAy cos( ) ul 用用t

14、 ( t t )法法(超前、落后法超前、落后法):xPP(x)点比点比已知点已知点C 超前用超前用“+”； 落后用落后用“ ”。 Coxylu波动方程波动方程: y=Acos( (t t)+ )20 解解 (1)以以A为坐标原点。为坐标原点。 tAy(cos )oux =0.4cos4 (t20 x )cm标准函数法：标准函数法： 例题例题2-3 波速波速u=20cm/s，沿，沿x轴负方向传轴负方向传播，播， yA=0.4cos4 t(cm), 求求波动方程：波动方程： (1)以以A为坐标原点；为坐标原点； (2)以以B为坐标原点。为坐标原点。x5cmABuyox5cmABu21(2)以以B为

15、坐标原点。为坐标原点。y=0.4cos4 (t20 x ) + o cmx5cmABuyo1.标准函数法：标准函数法：yA=0.4cos4 t u=20抓住已知点抓住已知点A(的位相的位相)：由此得由此得 o = 波动方程为波动方程为 y=0.4cos4 (t20 x )+ cm,to)205(4 4 ttAy(cos )oux 22已知已知A点的振动方程为点的振动方程为 yA=0.4cos4 t (cm)P(x)点比点比已知点已知点A时间超前：时间超前：uxt5 205 xx5cmABuyopxu=20cm/s波动方程：波动方程：2. t ( t t )法法(超前、落后法超前、落后法)=0.

16、4cos4 (t20 x )+ cmy)205 x=0.4cos4 (ty=0.4cos4 (t )cmt 23cmkxtyo7cos10当当t=1时时, 对对a点有：点有：107ok2 对对b点有：点有：207ok3 解得：解得：k= /12, o= - -17 /3 /3波动方程为波动方程为cmxty3127cos10解解 例题例题2-4 波沿波沿x轴正向传播，轴正向传播，A=10cm, =7 rad/s; 当当t=1s时时, ya=0, a0。设设 10cm, 求该波的求该波的波动方程。波动方程。ab10cmu10cmoxycosokxtAy24 例题例题2-5 波沿波沿x轴正方向传播轴

17、正方向传播, t=0，t=0.5s时时的波形如图，周期的波形如图，周期T 1s，求，求 ：(1) 波动方程；波动方程；(2) P点点(x=2m)的振动方程。的振动方程。 A=0.2， =4mT= /u=2， = 解解 (1)tAy(cos )oux 25 . 012 uo1234x(m)y(m)0.2t=0.5t=0p o=+ /2 波动方程波动方程:ty(cos2 . 0 m2 )2x (2)P点点:y=0.2cos( t - )(m)2 25 例题例题2-6 t=2s时的波形如图，时的波形如图，u=0.5m/s，求：求：(1)图中图中p点的振动方程；点的振动方程；(2)该波的该波的波动波动

18、方程。方程。 解解 (1) A=0.5, =2t.y2cos(50 2)m(2)该波的该波的波动方程波动方程:t.y(2cos50 2m)50.x py(m)x(m)o1-0.5utAy(cos )oux =T= /u=4， = /2+ /2265.3 波的动力学方程波的动力学方程T221T1x+dxxxy例：推导轻质、柔软的弦的微振动方程例：推导轻质、柔软的弦的微振动方程如图，由牛顿定律有如图，由牛顿定律有221122sinsintydsTT 0coscos1122 TT微振动时微振动时1coscos21 xxy 1sin dxxxy 2sin 联立求解得联立求解得022222xyatyTa

19、 27coso)uxt (Ay cos222o)uxt (Aty cos2222o)uxt (Auxy 22222xyuty 由此得由此得对比对比022222xyaty有：有：uTa即：波动方程空间二次导数即：波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度前的系数就是波的传播速度28讨论讨论：影响波的传播速度的因素：影响波的传播速度的因素对其它波动形式的方程作类似推导，可得各种波动对其它波动形式的方程作类似推导，可得各种波动的波动方程及传播速度，由传播速度的表达式，容的波动方程及传播速度，由传播速度的表达式，容易知道影响波传播速度的因素易知道影响波传播速度的因素绳的微振动横波绳的微振动横波 Ta

20、 T：绳的张力：绳的张力杆的纵向微振动波杆的纵向微振动波 Ya Y：杨氏弹性模量：杨氏弹性模量杆的横向微振动波杆的横向微振动波 Ga G：切变弹性模量：切变弹性模量声音在空气中传播声音在空气中传播 Ba B：体变模量：体变模量真空中的电磁波真空中的电磁波001 a 0 0真空介电常数，真空介电常数， 0 0真空磁导率真空磁导率29介质的几种典型模量介质的几种典型模量 若在截面为若在截面为S，长为，长为l的细棒两端加上大小相等、方向相反的的细棒两端加上大小相等、方向相反的轴轴向拉力向拉力F，使棒伸长，使棒伸长 l，实验证明：在弹性限度内，正应力，实验证明：在弹性限度内，正应力F/S与线性应变与线

21、性应变 l/l成正比，即成正比，即 杨氏模量杨氏模量 l l+l S S F F llYSF 比例系数比例系数Y由材料的弹性决定，称为由材料的弹性决定，称为杨氏模量杨氏模量 (2).切变模量切变模量 (1).杨氏模量杨氏模量 h x S S F F 切变模量切变模量在在柱体上下表面柱体上下表面S上作用一大小相上作用一大小相等，方向相反的切向力等，方向相反的切向力F，使柱体，使柱体30发生发生切向形变切向形变。实验证明：在弹性限度内，切应力。实验证明：在弹性限度内，切应力F/S与切应变与切应变 x/h成正比，即成正比，即 GSF 比例系数比例系数G由材料的切变弹性决定，称为由材料的切变弹性决定，

22、称为切变模量切变模量 (3).体变模量体变模量 设流体体积在压强为设流体体积在压强为P时等于时等于V，如果是压强增加到，如果是压强增加到P+ P，体，体积变化为积变化为V+ V，则在通常压强范围内有，则在通常压强范围内有 VVBP V P 体变模量体变模量比例系数比例系数B称为体变模量。式中负号表示当称为体变模量。式中负号表示当 P0时，时， V 0 315.4 波的能量波的能量一一.波的能量密度波的能量密度 波动过程也是能量的传播过程。波动过程也是能量的传播过程。 质元质元dm= dV ( 为为介质的密度介质的密度)，其振动动能为其振动动能为)uxt (Ay cosdxdm= dVu221

23、dmdWk )(sin21222uxtAdV )(sinuxtAty 32振动势能部分：振动势能部分：)(sin21222uxtAdV xx+dxxy(x,t)y(x+dx,t)dxdydxxydxxy)()(弹性应变由弹性模量由弹性模量Y 的定义的定义 F / S = Ydy/dx可得可得kdydydxYSF(其中，其中， )dxYSk 与弹簧振子势能公式类比，可得弹性势能为与弹簧振子势能公式类比，可得弹性势能为VxyYYSdxdxdydykdEp22221)(21)(2133质元质元dm的总能的总能:)(sin222uxtAdVdWdWdWpk (3)能量密度能量密度(单位体积中波的能量单

24、位体积中波的能量)为为)(sin222uxtA (1)任意时刻任意时刻,质元的质元的动能和势能都相等动能和势能都相等。即。即 (2)质元的质元的总能量总能量随时间作周期性的随时间作周期性的变化变化。在波动。在波动中中, 随着振动在介质中的传播随着振动在介质中的传播, 能量也从介质的一部能量也从介质的一部分传到另一部分分传到另一部分, 所以所以,波动是能量传播的一种方式。波动是能量传播的一种方式。pkdWdW 34平均能量密度：平均能量密度：220211 AdtTT 二二.波的能流密度波的能流密度(波强波强) 单位时间内单位时间内，通过垂直于波动传播方向的，通过垂直于波动传播方向的单位单位面积面

25、积的能量的能量,称为称为能流密度能流密度。 显然，显然，能流密度能流密度也就是通过垂直于波动传播方也就是通过垂直于波动传播方向的向的单位面积的功率单位面积的功率。2221AuuI 容易证明容易证明, 能流密度能流密度(或或波强波强)为为Sudt352211SISI球面波的表示：球面波的表示：不计介质吸收的能量，设球面波的波面不计介质吸收的能量，设球面波的波面S1、S2，对应的平均能流密度为，对应的平均能流密度为 I1、I2 ，则：单位，则：单位时间内通过不同波面的能量相同，即：时间内通过不同波面的能量相同，即： 即：球面波各体元的振幅和该点到波源的距离成反比。即：球面波各体元的振幅和该点到波源

26、的距离成反比。22221144 rIrI212221 rrII又：又：222121 AAII1221 rrAAurtrAycos可表示为：可表示为：36(A)质元质元a的动能的动能为为零零 , 势能最大。势能最大。(B)质元质元a的动能的动能最大最大 , 势能为零。势能为零。(C)质元质元b的动能最大的动能最大, 势能最大。势能最大。(D)质元质元b的动能最大的动能最大, 势能为零。势能为零。答答: (C) 例题例题4-1 图为某一时刻的波形曲线图为某一时刻的波形曲线, 由图可知由图可知uoxyab)(sin222uxtAdVdWdWdWpk37 例题例题4-2 一电台一电台(视为点波源视为点

27、波源)平均发射功率平均发射功率10kw，求离电台，求离电台1km处的波强。处的波强。 解解 能流密度能流密度(波强波强)为为2221AuuI 能流密度也就是能流密度也就是通过通过垂直于波传播方向的垂直于波传播方向的单位单位面积的功率面积的功率。于是所求能流密度。于是所求能流密度(波强波强)为为24 rpI =7.9610-4(w/m2)38 声波是机械波中非常重要的一种。频率在声波是机械波中非常重要的一种。频率在20Hz到到20kHz之间的声波可以被人类感知，称为之间的声波可以被人类感知，称为可闻声波可闻声波，其余，其余称为称为次声波次声波或者或者超声波超声波。 流体中的声速取决于介质密度和体

28、变模量，即流体中的声速取决于介质密度和体变模量，即5.5 声波、超声和次声声波、超声和次声一、声速一、声速Bu 由热力学规律，可以得出常温下空气中的声速为由热力学规律，可以得出常温下空气中的声速为 u = 331 m/s39某些介质中声波的传播速度某些介质中声波的传播速度(m/s)钢钢5854(纵波纵波)， 3150(横波横波)海水海水1531(25 C)砖或水泥块砖或水泥块3650(纵波纵波)地表地表8000(纵波纵波)， 4450(横波横波)空气空气331(20 C)木材木材34004700(纵波，沿纤维方向纵波，沿纤维方向)某些介质中声波的传播速度某些介质中声波的传播速度40 声波的波强

29、叫做声波的波强叫做声强声强，单位时间通过一定面积的声波能，单位时间通过一定面积的声波能量，称为量，称为声功率声功率。一个人说话的声功率大约只有。一个人说话的声功率大约只有10-5W，发声的能量转化率一般在发声的能量转化率一般在1到到1%量级。量级。 从刚能听见的从刚能听见的10-12W/m2到可以引起痛感的到可以引起痛感的10W/m2，声，声强的范围很广。为了方便描述，使用对数形式：强的范围很广。为了方便描述，使用对数形式：oIILlg10分贝分贝, decibel(I0=10-12W/m2)二、声强二、声强常见声音的分贝量级：常见声音的分贝量级： 树叶沙沙：树叶沙沙：20dB; 正常谈话：正

30、常谈话： 60dB; 开炮：开炮：120dB; 飞机起飞：飞机起飞：150dB。41 流体中的声波是压强波流体中的声波是压强波，耳朵能听到声音就是压强作用，耳朵能听到声音就是压强作用的结果。在有声波传播的空间，某点在某瞬时的压强的结果。在有声波传播的空间，某点在某瞬时的压强 p 与没与没有声波时的压强有声波时的压强 p0 之差，称为该点该瞬时的之差，称为该点该瞬时的声压声压：0ppp（后面直接用（后面直接用p来表示）来表示） 声压可正可负，其单位和压强一样。在大功率的声源声压可正可负，其单位和压强一样。在大功率的声源（如音响）附近，可以明显的感觉到声压。（如音响）附近，可以明显的感觉到声压。三

31、、声压三、声压 类比前面对介质体元动能和势能的讨论，可以知道体元类比前面对介质体元动能和势能的讨论，可以知道体元速度大时，声压绝对值也大；速度为零时声压也为零。速度大时，声压绝对值也大；速度为零时声压也为零。42理论上可以证明，声压和理论上可以证明，声压和体元速度体元速度之间成正比：之间成正比：uvp类比电压和电流的关系，引入类比电压和电流的关系，引入波阻抗波阻抗：Z = u对于特定介质，波阻是一个常数。对于特定介质，波阻是一个常数。 波阻较大的介质称为波阻较大的介质称为波密介质波密介质，波阻较小的称为，波阻较小的称为波疏介质波疏介质。在两种不同介质的分界面上反射时，相位变化由波阻而决定在两种

32、不同介质的分界面上反射时，相位变化由波阻而决定。四、超声波（大于四、超声波（大于20kHz）与次声波）与次声波(小于小于20Hz) 由于由于 , 可见超声波的机械作用较强，可见超声波的机械作用较强，可用于机械加工，清理污垢等。可用于机械加工，清理污垢等。22/ 2IuA 次声波衰减小，容易造成共振干扰。次声波衰减小，容易造成共振干扰。43一、波的叠加原理一、波的叠加原理5.6 波的叠加波的叠加 每列波的每列波的传播特性传播特性不因其它波的存在而不因其它波的存在而改变改变。任。任一点的振动为各个波单独在该点产生的振动的合成。一点的振动为各个波单独在该点产生的振动的合成。这一规律称为这一规律称为波

33、的独立传播原理波的独立传播原理或或波的叠加原理波的叠加原理。 适用条件：波强较小。适用条件：波强较小。二、二、 波的干涉波的干涉 两列波两列波: (1)振动方向相同；振动方向相同； (2)频率相同；频率相同； (3)相差恒定；相差恒定； 相干条件相干条件 则在相遇区域会出现有些地方的振动始终加强，则在相遇区域会出现有些地方的振动始终加强，而另一些的振动始终减弱的稳定分布，这种现象称为而另一些的振动始终减弱的稳定分布，这种现象称为波的干涉波的干涉。 44频率相近的波的叠加频率相近的波的叠加频率相同频率相同干涉现象干涉现象水波干涉水波干涉光的干涉光的干涉波包波包45s2s1r1r2pS1: y10

34、=A1cos( t+ 1)cos(1111krtAy)cos(2222krtAyS1 p:S2 p:P点的合振动为点的合振动为 y =y1+y2=Acos( t+ )(同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成)它们它们单独在单独在P点引起的振动分别为点引起的振动分别为S2: y20=A2cos( t+ 2)46合振幅合振幅: cos2212221AAAAA式中式中)(1212rrk合振动的初相为合振动的初相为)(cos)(cos)(sin)(sin222111222111krAkrAkrAkrAtgP点的合振动为点的合振动为 y =y1+y2=Acos( t+ )波强波强: cos22

35、121IIIII（不重要）（不重要）47)(1212rrk干涉的强弱取决于两列波的相位差：干涉的强弱取决于两列波的相位差：=2n , A=A1+A2 , 加强加强(相干相长相干相长)， 特别是特别是A1=A2 时，时，A=2A1，Imax=4I1。=(2n+1) , A=|A1- -A2| , 减弱减弱(相干相消相干相消)， 特别是特别是A1=A2 时，时，A=0，Imin=0。(n=0,1,2) cos2212221AAAAA cos22121IIIII48 例题例题6-1 两个振幅都为两个振幅都为A的相干波源的相干波源S1和和S2相距相距3 /4， S1比比S2超前超前 /2，设两波在连线

36、上的波强不随传，设两波在连线上的波强不随传播距离而改变，试分析播距离而改变，试分析S1和和S2连线上的干涉情况。连线上的干涉情况。axxb 解解 干涉的强弱取决于干涉的强弱取决于相位差：相位差： )(1212rrkS1左侧左侧a点点: =S2右右侧侧b点点: =2 , 2)43(2 S1左左侧各点都加强，侧各点都加强，Imax=4I12 , )43(2S1S23 /4S2右右侧各点都减弱，侧各点都减弱， Imin=049 S1和和S2之间之间c点点:S1S23 /4)243(2x x42 2n ,解得解得x= /2处加强。处加强。(2n+1) ，解得解得x=3 /4处处减弱减弱。2 xc =)

37、rr(12122 50 例题例题6-2 原点原点o是波源是波源, 波长为波长为 。AB为波的反射平为波的反射平面，反射时无面，反射时无半波损失半波损失。A点位于点位于o点的正下方，点的正下方，Ao=h，ox轴平行于轴平行于AB。求求ox轴上干涉加强点的坐标。轴上干涉加强点的坐标。oxABh)rr(12122 解解)22(222xxh =2n , 加强加强(n=1,2,3)nnhx24222解得解得(最大最大n: 令令x=0，得，得n=2h/ )(n=1,2,3 2h/ )xp q51 例题例题6-3 相干波源相干波源S1超前超前S2 相位相位 /2, A1=A2=0.2m, 频率频率 =100

38、Hz, r1=4m, r2=3.75m,两种介质中的波速分两种介质中的波速分别为别为 u1=400m/s, u2=500m/s， 求两求两介质界面上介质界面上p点的点的合振幅。合振幅。).(442575322 =0A=A1+A2 =0.4m)22(112212urur解解 先求两波到达先求两波到达p点的位相差点的位相差:)(1212rrks2s1r2r1pu2u152三、驻三、驻 波波 两列两列振幅相等振幅相等、传播方向相反传播方向相反的的相干相干波波进行叠加，就会形成驻波。进行叠加，就会形成驻波。波腹波腹波节波节 .53cos1kxtAycos2kxtAy将两列波合成，可得将两列波合成，可得

39、tkxAyyycoscos221这就是这就是驻波方程驻波方程。 (1)驻波方程实际上是一个振动方程，只不过各驻波方程实际上是一个振动方程，只不过各点的振幅随坐标点的振幅随坐标x的变化而不同。的变化而不同。 整体上看，驻波的整体上看，驻波的波形驻定在原地起伏变化波形驻定在原地起伏变化而而不传播不传播, 这是驻波中这是驻波中“驻驻”字的意思。字的意思。 54 (2)波腹和波节位置波腹和波节位置波腹：波腹：, 1coskxtkxAyyycoscos221即即nkx 波腹的位置为波腹的位置为,.2, 1, 0,2nnx波节：波节：, 0coskx即即2) 12(nkx波节的位置为波节的位置为,.2,

40、1, 0,4) 12(nnx 容易算出，容易算出，相邻的两个波节相邻的两个波节(或波腹或波腹)之间的距离是之间的距离是 /2。可见，测出两波节之间的距离，就能算出波长。可见，测出两波节之间的距离，就能算出波长。这是实验中测量波长的一种常用的方法。这是实验中测量波长的一种常用的方法。55 (3)驻波中的位相驻波中的位相 由驻波方程可知，由驻波方程可知，kx=n + /2为波节为波节, 而而 kx在在1、4象限的点，各点位相都是象限的点，各点位相都是 t; kx在在2、3象限的点，各点位相都是象限的点，各点位相都是( t+ )。 可见，可见，在相邻的两波节间，各点在相邻的两波节间，各点的振动相位相

41、同；的振动相位相同；而在波节两旁，而在波节两旁，各点的振动相位相反。各点的振动相位相反。因此因此,驻波实驻波实际上就是际上就是分段振动分段振动着的着的, 没有振动没有振动状态或相位的传播。这是驻波中状态或相位的传播。这是驻波中“驻驻”字的又一层意思。字的又一层意思。波节波节波节波节1234tkxAyyycoscos22156 (4)驻波中的能量驻波中的能量 当两波节间的体元都达到最大位移时，其动能均为零。当两波节间的体元都达到最大位移时，其动能均为零。 越靠近波节，形变越剧烈，对应的势能也越大。此时驻越靠近波节，形变越剧烈，对应的势能也越大。此时驻波能量以势能形式集中于波节附近。波能量以势能形

42、式集中于波节附近。 而当各体元通过平衡位置时，形变势能为零。此时驻波而当各体元通过平衡位置时，形变势能为零。此时驻波以动能形式集中于波腹附近。以动能形式集中于波腹附近。 其他时刻，动能和势能并存；其他时刻，动能和势能并存； 总之，驻波中不断进行着动能和势能之间的转换和在波总之，驻波中不断进行着动能和势能之间的转换和在波腹与波节之间的转移，然而腹与波节之间的转移，然而没有能量的定向传播。没有能量的定向传播。57(5) 固定边界的驻波固定边界的驻波 对两个相互独立的波源，要保持固定的相位差比较对两个相互独立的波源，要保持固定的相位差比较 困难。常见的驻波一般由一列波和它在某个界面上困难。常见的驻波

43、一般由一列波和它在某个界面上的反射波叠加而成。乐器中往往就存在这类驻波振动。的反射波叠加而成。乐器中往往就存在这类驻波振动。1. 弦振动弦振动 弦的两端都是固定的，要在弦上形成驻波，两端必定都弦的两端都是固定的，要在弦上形成驻波，两端必定都是波节。于是波长和弦长之间有：是波节。于是波长和弦长之间有：, 2 , 1 ,2nnL 再根据弦上横波的波速再根据弦上横波的波速线/Tu 得出驻波频率为：得出驻波频率为：, 2 , 1 ,2nTLnu线58, 2 , 1 ,2 ,2nTLnunL线 在弦上可以形成的驻波振动称为弦的在弦上可以形成的驻波振动称为弦的固有振动或本征振动固有振动或本征振动，对应的频

44、率称为对应的频率称为固有频率或本征频率固有频率或本征频率，n=1时称为基频时称为基频(基音基音)，其他称为谐频（其他称为谐频（泛音泛音）。所有这些振动称为）。所有这些振动称为简正模式简正模式。2. 管振动管振动一端是波节，一端是波节，一端是波腹。一端是波腹。412 nLuLn41259, 2 , 1,2nTLn 线 音乐中常使用的频率范围大约是 164000 赫兹，而人声及器乐中最富于表现力的频率范围大约是 601000 赫兹。 国际标准音中，A1为440Hz，高音C为262Hz的四倍。相邻两个半音频率比例为：122 小提琴：160-17000；大提琴：60-800；钢琴：26-6000；男高

45、音：129-7000；男低音：80-4000；女高音：220-11000；女低音：150-5000 Hz60 (6) 半波损失半波损失.B 在反射点在反射点B处绳是固定不动的，因而此处绳是固定不动的，因而此处只能处只能是波节是波节。从振动合成考虑，这意味着。从振动合成考虑，这意味着反射波与入射波的相位在此处正好相反反射波与入射波的相位在此处正好相反，或，或者说，入射波在反射时有者说，入射波在反射时有 的相位突变。的相位突变。 由于相距半个波长的两点相差为由于相距半个波长的两点相差为 ，所，所以，这种以，这种入射波在反射时发生入射波在反射时发生 的相位突变的现象常称为半波的相位突变的现象常称为半

46、波损失损失。 实验和理论表明，当波实验和理论表明，当波从波疏从波疏媒质垂直入射媒质垂直入射到波到波密密媒质界面上反射时，媒质界面上反射时，反射时反射时就就有半波损失有半波损失。61 *波在界面的反射和透射波在界面的反射和透射0透射波透射波 y2反射波反射波 y1 入射波入射波 y1z2z1xuz 波阻抗波阻抗) cos(1111xutAy) cos( 2222xutAy) cos( 1111xutAyz大大 波密媒质波密媒质z小小 波疏媒质波疏媒质相对相对而言而言入射波入射波反射波反射波透射波透射波62界面两侧应力相等界面两侧应力相等界面两侧质元位移相同（连续性）界面两侧质元位移相同（连续性）

47、 y1+ y1 x =0 = y2x =00 20 11xxSFSFSF0 220 111xxxyYxyxyY（纵波）（纵波） 考虑机械波考虑机械波入射，有界面关系：入射，有界面关系： 将将 y 表达式代入界面关系，考虑表达式代入界面关系，考虑Y= u2 得：得：（牛顿第三定律）（牛顿第三定律）63其中：波阻抗其中：波阻抗 z = u ，联立两式可得：，联立两式可得：221111coscoscostAtAtA222111111coscoscostAztAztAz11211121coscostAzztAzz2221111coscos2tAzztAz64透射波：透射波：（2） 若若z1 z2， 则

48、则 1 = 1反射波：反射波：1. 相位关系相位关系反射波和入射波反射波和入射波同相同相即波密即波密波疏，波疏，反射波有反射波有相位突变相位突变 即波即波疏疏波波密密，半波损失半波损失均有均有 2 = 1不论不论 z1 z2，还是还是 z1 z2或或 z1 0区域内合成波的方程区域内合成波的方程; (5)x= - - /2处质点处质点p的振动方程。的振动方程。解解 (1)沿沿x轴正方向传播的波轴正方向传播的波:)(cos1kxtAy沿沿x轴负方向传播的波轴负方向传播的波:)(cos2kxtAyQy2y1y43oxp71(2) 设设Q点反射的反射波的波动方程为点反射的反射波的波动方程为yr)(c

49、oskxtAyor 由于反射壁处有半波损失，入射波由于反射壁处有半波损失，入射波y2和反射波和反射波yr在在Q点相差应为点相差应为 ，即，即)(cos2kxtAy)43()43(ktkto解得解得 o= - -4 。最后得最后得Q点反射波的波动方程为点反射波的波动方程为 )(coskxtAyrQy2y1y43oxp72tkxAyyyrcoscos22oQ区域内合成波的方程为区域内合成波的方程为这是驻波方程。这是驻波方程。(4) x0区域内合成波的方程：区域内合成波的方程：)cos(2kxtAy(3)cos(kxtAyr)cos(1kxtAy ryyy1)(cos2kxtA这是行波方程。这是行波

50、方程。yrQy2y1y43oxp73tkxAyyyrcoscos22就得就得x=- /2处质点处质点p的振动方程：的振动方程：)t(AtAy cos2cos2yrQy2y1y43oxp (5) 将将x= - - /2代入代入oQ区域的驻波方程区域的驻波方程:745.7 多普勒效应多普勒效应 目前目前,多普勒效应已在科学研究、工程技术、多普勒效应已在科学研究、工程技术、交通管理、医疗诊断等各方面有着十分广泛的应交通管理、医疗诊断等各方面有着十分广泛的应用。用。 用多普勒效应分析分子、原子和离子的谱线增用多普勒效应分析分子、原子和离子的谱线增宽。宽。 测量和诊断大气、等离子体物理状态。测量和诊断大

51、气、等离子体物理状态。 车辆、导弹等运动目标的速度监测。车辆、导弹等运动目标的速度监测。 多普勒效应用来跟踪人造卫星。多普勒效应用来跟踪人造卫星。 “D超超”用来检查人体内脏、血管等情况。用来检查人体内脏、血管等情况。 在工矿企业中则利用多普勒效应来测量管道中在工矿企业中则利用多普勒效应来测量管道中有悬浮物液体的流速。有悬浮物液体的流速。75 波源和接收器波源和接收器(观察者观察者)相对于介质都是静止的相对于介质都是静止的,接收器接收到的波的频率与波源的频率相同。接收器接收到的波的频率与波源的频率相同。 什么是多普勒效应呢？什么是多普勒效应呢？ 接收器接收器(或观察者或观察者)所接收到的频率等

52、于单位时所接收到的频率等于单位时间内通过接收器间内通过接收器(或观察者或观察者)所在处的完整波数目。所在处的完整波数目。 如果波源或接收器或两者同时相对于介质运动如果波源或接收器或两者同时相对于介质运动时时,接收器接收到的频率和波源的频率不同。接收器接收到的频率和波源的频率不同。这一现这一现象称为象称为多普勒多普勒(Doppler)效应效应。 假定波源和接收器在同一直线上运动。规定用假定波源和接收器在同一直线上运动。规定用 s表示波源相对于介质的运动速度；表示波源相对于介质的运动速度； r表示接收器相对于介质的运动速度；表示接收器相对于介质的运动速度； u表示波在介质中的传播速度。表示波在介质中的传播速度。761.波源和接收器相对于介质都静止波源和接收器相对于介质都静止 当波源和接收器相对于介质都静止时，波源当波源和接收器相对于介质都静止时，波源每作一次全振动，波就在空间传播一个波长的距每作一次全振动，波就在空间传播一个波长的距离，结果就有一个完整的波通过接收器，显然接离，结果就有一个完整的波通过接收器，显然接收器收器(或观察者或观察者)接收到的频率接收到的频率 vr 就等于波源的频就等于波源的频率率v ，即，即 vr=u / = vSu77vuuuvrrr r多多接收到的接收到