换元积分法（课堂PPT）

1、2022-3-2.1一一 问题的提出问题的提出二二 第一类换元法（凑微分法）第一类换元法（凑微分法）三三 第二类换元法第二类换元法四四 小结小结五五 思考与判断题思考与判断题第二节第二节 换元积分法换元积分法(Substitution Rules)2022-3-2.2但是但是 xdx2cos,sinCx 2解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一一 问题的提出问题的提出 Cxxdxsincos我们知道我们知道xCx22cos)(sin 2022-3-2.3?122 d

2、xxx令令txsin dxxx221tdtttcossin1)(sin22 tdtt22cossin 利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法。得到复合函数的积分法，称为换元积分法。 目的是去掉根式。目的是去掉根式。2022-3-2.4若若),()(ufuF 则则.)()( CuFduuf设设)(xu （且可微，根据复合函数微分法，）（且可微，根

3、据复合函数微分法，）dxxxfxdF)()()( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 于是可得下述定理于是可得下述定理二二 第一类换元法第一类换元法2022-3-2.5注意注意 使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 CxFxdxfdxxxf)()()()()( 设设)(uf具具有有原原函函数数， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式（凑微分法）第一类换元公式（凑微分法）)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1即将即将)()()()(xdxdxxxf拼拼凑凑成成 第一类换元法又称为凑微分法。第一类换元法又称为凑微分法。2022-3-2

4、.6dxxex 22例例1 1 求求解解的的导导数数，于于是是有有恰恰好好是是剩剩下下的的因因子子为为被被积积函函数数中中的的一一个个因因子子2222xuxxueeux ,)(2222xdedxxexx cedueuu cex 22022-3-2.7例例2 2 求求.dxx 231解解,)(xxx2323121231dxx 231dxxx)(2323121duu 121Cu ln21.)ln(Cx 2321xu232022-3-2.8例例3 3 求求.)ln51(1dxxx 解解dxxx )ln51(1)(lnln511xdx )ln51(ln51151xdx xuln21 duu151Cu

5、ln51熟练以后就不需要进行熟练以后就不需要进行)(xu 转化了转化了Cx )ln51ln(512022-3-2.9例例4 4 求求.)(dxxx 21解解dxxx 21)()()()(xdxx 11111221111CxCx )()ln(dxxx 2111)(Cxx )()ln(1112022-3-2.10例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 2022-3-2.11例例6 6 求求dxx 2cos dxx22cos1Cxx 42sin2dxx 2cos解解 ) )2(221(21xxdcoxdx例例7 7

6、解解dxx 3sinCxxxdxxdxxdxx )cos(coscos)cos(sinsinsin3223311正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂齐次幂拆开正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂齐次幂拆开放在微分号放在微分号d后面。2022-3-2.12 dxex11dxeedxeexxxx 1)1(1xxxxdeexdee 11)(1)1(11xxede .)1ln(Cex 解解例例8 8 求求.11dxex 2022-3-2.13例例9 9 求求xdxx 35sectanxdxx 35sectan 解解xdxxxxtansecsectan 24xxdxsecsec)(sec2221 xdxxxsec)

7、secsec(sec2462 Cxxx 357315271secsecsec2022-3-2.14例例1010 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 2022-3-2.15例例1 11 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇

8、次项去凑微分次项去凑微分. )(sincossinxxdx422022-3-2.16例例1212 求求解解.2cos3cos xdxx),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 利用三角学中的积化和差公式，得利用三角学中的积化和差公式，得2022-3-2.17解解 dxxsin1 xdxcsc )(coscos112xdx duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出例例1313 求求.csc xdx dxxx2sinsin.)tan

9、ln(secsecCxxxdx .)cotln(cscCxx 2022-3-2.18三三 第二类换元法第二类换元法 duufdxxxf)()()(化化为为积积分分第一类换元法是通过变量替换第一类换元法是通过变量替换 将积分将积分)(xu 下面介绍的第二类换元法是通过变量替下面介绍的第二类换元法是通过变量替换换 将积分将积分)(tx dtttfdxxf)()()(化化为为积积分分2022-3-2.19其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. .证证设设 为为 的原函数的原函数,)(t )()(ttf 令令)()(xxF 则则dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 设设)(tx

10、 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数， )()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)( t ，又又设设)()(ttf 具具有有原原函函数数，定理定理2 22022-3-2.20第二类积分换元法第二类积分换元法 CxFdxxf)()(,)(Cx )(tf ).(xf 说说明明)(xF为为)(xf的的原原函函数数, 根式代换根式代换三角代换三角代换分为两种基本类型分为两种基本类型)()()()(xtdtttfdxxf 2022-3-2.21例例1313 求求解解).0(22 adxxatdtadxcos tdtatadxxacoscos2222,sin tt

11、axtataaxacossin22222 dttatdta22cos1cos222Cttata cossin2222Cxaxaxaaxt 222212arcsinarcsint22xa xa1 1 三角代换三角代换2022-3-2.22例例1414 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2022-3-2.23例例1515 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdt

12、ata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t注注三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.2022-3-2.24例例1616 求求解解.dxex 11xet 令令,dttdx1 dttt )(122dttt 1112Ctt )ln(ln12,lntx2 2 2 根式代换根式代换考虑到被积函数中的根号是困难所在，故考虑到被积函数中的根号是困难所在，故dxex 11回代回代将将xet .lnCeexx 12原式原式2022-3-2.25当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可

13、采用令 （其中（其中 为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数） lkxx,ntx n例例1717 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt22162022-3-2.263 3 其他形式代换其他形式代换注注1 积分中为了化掉根式除采用上述代换外还积分中为了化掉根式除采用上述代换外还可用双曲代换可用双曲代换.122 tshtchachtxashtx ,也可以化掉根式也可以化掉根式 中中, 令令dxax 221ashtx dxax 221 dtachtacht CtdtCaxarsh .ln22Caaxax acht

14、dtdx 2022-3-2.27注注2 2 倒数代换倒数代换 也是常用的代换之一也是常用的代换之一 .1tx 例例1818 求求dxxxn )(11令令tx1 ,12dttdx dxxxn )(11dttttn 2111 dtttnn11Ctnn |ln 11.|lnCxnn 111解解2022-3-2.28例例1919 求求解解.dxxxa 422令令tx1 ,12dttdx dtttta 2422111dttta 122dxxxa 422分母的次幂太高分母的次幂太高2022-3-2.29dxxxax 4220,时时当当)(112122222 tadtaaCata 2232231)(.)(Cxaxa 3223223dxxxax 4220,时时当当.)(Cxaxa 32232232022-3-2.30基基本本积积分分表表续续;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 2022-3-2.31;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Ca