《高等数学》课程考试大纲

1、高等数学课程考试大纲一、考试方法和考试时间考试方法：闭卷笔试考试时间：2小时二、考试的基本要求微积分是高等学校理工科各专业的一门重要的基础课程，为培养面向现代化、面向未来、面向世界的科技人才服务.本课程主要考查学生对微积分、空间解析几何、无穷级数和常微分方程的基本概念、基础理论和基本方法的理解和掌握程度, 主要考查学生的数学思维能力、论证能力、空间想象能力、运算能力，以及应用微积分的思想方法分析问题和解决问题的能力. 三、考试内容与要求(一) 一元函数微分学重点掌握内容：极限的四则运算法则，两个重要极限，平面曲线的切线与法线，导数与微分的四则运算法则，基本初等函数的导数、复合函数、反函数、隐函

2、数以及参数方程所确定的函数的微分法,洛比达法则，函数的单调性的判别法，函数极值的求法，函数图形的凸凹性的判别法，最值问题的解法。一般掌握内容：函数的概念及表示法，函数的几种特性，复合函数、反函数、和隐函数的概念,基本初等函数的性质及其图形，函数关系的建立，数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左、右极限，极限存在的两个准则，无穷小和无穷大的概念及其关系，,无穷小的性质及无穷小的比较，函数连续的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质,曲率的概念与计算公式,导数和微分的概念，弧微分公式,高阶导数，微分中值定理.了解内容：函数图形的描绘，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的

3、关系，一阶微分形式的不变性，拐点及渐近线的求法，函数间断点的类型，(二) 一元函数积分学重点掌握内容：不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法，简单的有理函数、三角有理函数和无理函数等特殊类型函数的积分法，奇偶函数在对称区间上的积分, 定积分的几何应用(面积、旋转体的体积), 简单的广义积分的计算.一般掌握内容：基本积分公式，定积分的概念及其基本性质，定积分中值定理，变上限积分类函数及其导数，牛顿莱布尼兹公式，广义积分的概念及其基本性质，定积分的几何应用（曲线弧长）和物理应用（变力沿直线做功、液体压力）.了解内容：原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，有理函数的积分法,定积分的几何应用（

4、曲线弧长、平行截面积已知的立体体积、旋转体的表面积）, 微元法.(三)常微分方程重点掌握内容：变量可分离的微分方程，一阶线性微分方程，可降阶的微分方程，和，二阶常系数齐次线性微分方程。 一般掌握内容：线性微分方程解的性质及解的结构定理，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，了解内容：常微分方程及其阶、解、通解特解等基本概念，齐次微分方程，微分方程的简单应用，欧拉方程，贝努里方程。会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数线性非齐次微分方程的特解。（四）向量值函数的微分法重点掌握内容：向量值函数的求导法，向量值函数导数的几何意义，曲线的切线方程。一般掌握内容：向量

5、值函数的微分概念了解内容： 向量值函数的概念。（五）多元函数微分学重点掌握内容：球面的方程，空间曲线在坐标平面上的投影的求法。多元函数的偏导数和全微分的求法，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。二元函数极值的求法，拉格朗日剩数法，多元函数的最大值和最小值的求法。一般掌握内容：母线平行于坐标轴的柱面及旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程，常用二次曲面的方程及其图形。多元函数的概念，偏导数和高阶偏导数的概念。方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法。曲面的切平面和法线并会求它们的方程。多元函数的极值和条件极值的概念，多元函数极值存在的必要条件。了解内容：空间曲线的

6、参数方程和一般方程、曲面方程的概念。多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续性的概念，有界闭域上连续函数的性质。全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件。曲线的切线和法平面的概念及求法。二元函数极值存在的充分条件，（六）多元函数积分学重点掌握内容：二重积分在直角坐标系和极坐标中的计算法，三重积分在直角坐标系、柱坐标系和球面坐标系中的计算法。计算两类曲线积分的方法(曲线方程为参数方程或直角坐标方程)。计算两类曲面积分的方法(曲面方程为直角坐标方程)。一般掌握内容：格林公式，平面上对坐标的曲线积分与路径无关的条件，平面保守场的势函数的求法。高斯公式，用高斯公式计算曲面积分。重积

7、分和曲线积分及曲面积分的几何应用：求平面图形的面积、曲面面积，体积，曲线弧长。了解内容：二重积分和三重积分的概念，二重积分和三重积分的性质。两类曲线积分的概念，两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系。斯托克斯公式。散度与旋度的概念，及其求法。重积分和曲线积分及曲面积分的物理应用：求质量，重心、转动惯量，引力，功及流量等。（七）无穷级数重点掌握内容：几何级数与p级数的收敛性，收敛的几何级数的和。正项级数的比较审敛法和比值审敛法。幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域的求法。的麦克劳林展开式，并会利用它们将一些简单的函数间接展开为幂级数。一般掌握内容：常数

8、项级数及其收敛与发散的概念，常数项级数的基本性质及收敛的必要条件。交错级数的莱布尼兹定理。幂级数在其收敛区间内的基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数。的麦克劳林展开式。函数在上的傅立叶系数与傅立叶级数的概念，函数展开为傅立叶级数的狄利克雷定理，会写出傅立叶级数的和函数的表达式。会将定义在上的函数展开为傅立叶级数。了解内容：常数项级数的绝对收敛与条件收敛的概念。函数项级数及其收敛域、和函数的概念。函数的泰勒级数的概念，以及函数展开为泰勒级数的充分和必要条件，函数的幂级数展开式的唯一性。正交函数系的概念。函数在上的傅立叶系数与傅立叶级数的概念，奇函数和偶函数的傅立叶级数，函数在及上的正弦级数与余弦级数。会将定义在上的函数