第五章 融合小波变换和多重分形

1、第五章 融合小波变换和多重分形 的边缘检测方法 越来越多的研究结果使人惊异的意识到，分形理论与小波变换之间有着十分密切的联系。有“数学显微镜”之称的小波理论就为具有“无穷精细结构”的分形对象的研究提供了一个绝好的工具。小波函数构造中的整体正则性和局部正则性，象分形一样，可用维数和Holder指数度量，运用Mallat算法，可使迭代收敛于分形函数。小波变换与分形在尺度性能上表示出类似性，因而小波变换是分析、刻画分形现象（特别是多重分形）的有利工具。本章的主要工作在于研究了小波变换与多重分形之间在图象边缘检测中的联系。基于小波变换和多重分形理论，建立起求多重分形的广义维数、广义维数谱的一种新方法，

2、并利用广义维数、广义维数谱对边缘分别进行粗检测、细检测。5.1 边缘奇异性分析 由于小波变换具有在时域和频域同时局部化的特性，这使它成为分析突变信号的有效工具。信号的奇异性可用指数来描述。定义5.1 设 ，若在点的任一开邻域内恒有其中是常数，则称 在处是 的。的上界称为在点处的指数。类似地，设， 如果存在， 使得对任意 ，有其中为常数，则称 在点 处是 的， 的上界称为在点处的指数。如果函数在某点处不连续但有界，这时表示信号在该点处具有阶跃边缘。则其指数为。一般地，指数越大函数越光滑，反之表示函数在该点处变化越剧烈，它的奇异性越大。如果小波函数满足一定的正则性，则对任意， 在点处是的充要条件是

3、对任意尺度，有29 (5.1)其中是常数。由此可知，当指数为正时，小波变换系数模随尺度的增大而增大。相反地，当指数为负时，小波变换系数模随尺度的增大而减少。白噪声具有负的指数，因此白噪声具有比阶跃边缘更大的奇异性。(5.1) 式可化为 (5.2) (5.2) 式等价于求下列极小值 (5.3)n为分解的最大层数，由(5.3)式即可求出Hlder指数。从此式也可看出小波变换值包含了多尺度边缘奇异性信息。5.2 基于小波变换的多重分形广义维数及其谱的计算 多重分形谱仅能提供分形标度的统计信息，却不能完整的刻画分形的局域性质和动力学特征。而小波理论则是揭示分形局域标度性质的有利工具。通过小波变换可以看

4、到分形的丰富细节，为此我们把小波变换引入多重分形理论中，定义一个基于小波变换的分割函数如下： (5.4)其中. 对于S有如下的三种情况： （1）基于连续小波变换的空间采样 (5.5)(2) 基于离散小波变换的空间采样 (5.6) 其中 0i N-1 m=1,2 (3)基于小波变换模最大值（WTMM）的空间采样 (5.7)的取值同（5.5） 对于以上定义的，有 (5.8) 称为质量指数，它与广义维数的关系为 (5.9) 为了下面的说明起见，在定义(2.4)中我们将小波变换再记为。文献31中指出若在定义（2.4）中以1 0 1 否则 0；来代替小波，我们就可得到经典“盒计维”的定义：而且如果测度是

5、奇异的 那么在上式中选择尺度函数还是小波函数并不影响计算的值。在（5.4）中，小波起着广义盒子的作用。尺度a定义了盒子的尺寸。进一步通过 Legendre 变换得到广义维数谱 (5.10)5.3 算法的实现及其在植物图象中的应用 算法的实现及实验结果分析 算法1.利用多重分形维数谱进行边缘检测.检测结果如图(c). (1) 对原图象进行小波变换，并计算每点的小波变换模值。 (2) 根据式(5.3)求出每点的指数。(3) 利用式(5.6)、（5.8）求出进而由（5.9）得到D。(4) 由式（5.10）求出每点的维数谱。(5) 给设置一定的阈值得到所检测的边缘。 算法2.利用多重分形维数D 进行边

6、缘检测.检测结果如图（d）(1) 同算法1的（1）。(2) 根据式（5.4）及（5.6）计算每一点3*3邻域内的。 (3) 根据式（5.9）求出每一点的值。(4) 对设置一定的阈值，即可检测出边缘。我们把此算法运用于植物中的叶子图象，原图为图1中的两幅图。其中图(b)是我们为了验证本算法对噪声的敏感程度而在(a)中加入方差为30的高斯白噪声。对图1中的(a)分别采用分形方法、多重分形方法、小波变换的多尺度方法的结果见第四章。(c)与(d)分别是本节算法1、算法2对图(a)实现的结果。对已加噪图(b)，所采用的分形方法实现效果见图（e）;多重分形方法见图（f）、(g)、(h);小波变换的多尺度方

7、法见图(i);本节算法见图(j)、(k)、(l),其中图(j)是先用Gauss滤波器进行光滑，然后用算法1实现的效果。图（k）是算法2的结果，图(l)是算法1的结果（a） 未加噪声的leaf 原图 （b） 对图(a)加方差为30的白噪声图 图1 原图（c）小波与多重分形法0.5f(a)2d) 小波与多重分形方法 -0.27GD-3.5（f）多重分形谱2f(a)-0.15(g) 多重分形Holder指数(0.5a2.5)(h) 多重分形维数-0.15GD0.4(i) 小波变换的多尺度法 （j） 0.1f(a)2(k) 0.027GD0.25(l) 0.2f(a)2 图 3 通过实验，我们发现在本

8、算法中采用式（5.6）比采用式（5.7）效果好。所采用的小波是正交小波Harr小波，小波分解的尺度为J=1到6，多重分形的维数计算中取q=4.小波变换的多尺度方法中，取分解尺度为2时的边缘图。我们把本算法同前一章的各个算法的实现效果进行对比。可以看出这两个算法是最好的。它们有如下的优点：（1）具有很强的抗噪性。这不仅从图(c)与图(d)中，也可从加噪后的实现图(k)与 (l)中看出。（2）所检测的边缘细节丰富。（3）几乎没有误检或漏检现象。如原图中的阴影部分就没有被检测出来，而阴影部分在目标识别中是不需要的。（4）边缘定位准。如图(c)中的边缘较细，有利于准确定位边缘。（5）我们可根据不同的需

9、要选择这两种算法之一，如要检测较细的边缘进行图象识别，我们可选择算法1，而如要检测较粗的边缘进行图象压缩，则可选择算法2。且对加噪图象，若想得到更光滑的边缘，则可先对图象用高斯滤波器进行光滑，然后再用算法1实现。在这几种方法中，分形方法具有最弱的抗噪性，引入的噪声最多，而且检测的边缘最粗。事实上我们应当看到单一的分形维数是从图象的整体来揭示图象的本质而忽略了图象的局域特征，因此对于不同的图象其分形维数可能很接近甚至完全相同，这就会导致在边缘检测中出现漏检现象或易把一些非边缘点当作边缘点检测出来。而且，分形布朗运动模型并不能完全刻画真实的自然界的表面。它的一个限制是各向同性，这对于真正的纹理而言

10、太理想化；另一个限制是这个模型仅依赖于唯一的参数H，这就降低了模型的灵活性。 显然只用一个描述全局特征的分形维数不足以将复杂繁多的各种分形结构区分开来。多重分形方法考虑了图象的局域行为及分形体在其形成过程中不同层次的特征，因而可以从图象的局部出发来研究其最终的整体特征，更加全面有效地对分形结构进行描述，从而用此方法来进行边缘检测的效果要好于分形方法。但它对加噪后的图象检测，未能抑制更多的噪声。从对原图及加噪图的检测结果中还可看出，小波变换的多尺度法对噪声的敏感性较小，它同时能检测出边缘的丰富细节，只是在大尺度上边缘会发生偏离。而我们的两个算法，由于是融合小波和多重分形的方法，因而它们的检测结果里所当然是这些方法中最好的。 我们知道，边缘检测可应用于计算机视觉、图象压缩、图象识别等领域中，为此，我们把上面的算法1检测出来的边缘应用于植物图象的识别中，由于时间关系，这里仅概要地写出该算法在植物图象识别应用中的大致思路。. 将图象进行标准化。即选定同一类图象中的某一个为标准图象，其它图象则通过如平移、旋转、比例变换变为标准图象。标准化的目的便于特征提取。. 特征提取。这里我们主要提取它的如下一些几何特征。1). 周长 所检测到的边缘长度。可用相邻两边缘象素之间的距离之和表示。2). 面积 可用边缘所围成的区域中包含的象素个数来表示。3).