(教师版)直线和圆锥曲线常见题型

1、直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、 相离三种情况,从几何角度可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个 相异公共点 对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并 不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但 并不相切.直线和椭圆、 双曲线、 抛物线中每一个曲线的公共点问题, 可以转化为它们 的方程所组成的方程组求解的问题,从而用代数方法判断直线与曲线的位置关 系。解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是:(1直线的斜率不存在,直线的斜率存,(2联立直线和曲线的方程组;(3讨论类一元二次方程(4

2、一元二次方程的判别式(5韦达定理,同类坐标变换(6同点纵横坐标变换(7 x,y , k(斜率 的取值范围(8目标:弦长,中点,垂直,角度,向量,面积,范围等等运用的知识:1、中点坐标公式:1212,y 22x x y y x +=,其中 , x y 是点 1122(, (, A x y B x y , 的中 点坐标。2、弦长公式:若点 1122(, (, A x y B x y , 在直线 (0 y kx b k =+上,则 1122y kx b y kx b =+=+, ,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,AB = = 或者 AB = = 3、两条直线 111222:, :l y

3、 k x b l y k x b =+=+垂直:则 121k k =-两条直线垂直,则直线所在的向量 120v v =4、韦达定理:若一元二次方程 20(0 ax bx c a +=有两个不同的根 12, x x ,则1212, b c x x x x a a+=-=。 常见的一些题型:题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题 1、已知直线 :1l y kx =+与椭圆 22:14x y C m+=始终有交点,求 m 的取值范围 思路点拨:直线方程的特点是过定点(0, 1 ,椭圆的特点是过定点(-2, 0和(2, 0 ,和动点 04m (, 且 。 解:根据直线 :1l y kx =+

4、的方程可知,直线恒过定点(0, 1 ,椭圆 22:14x y C m+=过动点 04m (, 且 , 如果直 线 :1l y kx =+和椭 圆 22:14x y C m+=始终 有交点, 则 14m ,且 ,即 14m m 且 。 规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点:101l y kx =+过定点(, :(1 1l y k x =+-过定点(, 0:2(1 1l y k x -=+-过定点(, 2证明直线过定点,也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一,再得出结论。 练习:1、 过点 P(3,2 和抛物线 232-=x x y 只有一个公共点的直线有( 条。A . 4 B .

5、 3 C . 2 D . 1分析:作出抛物线 232-=x x y ,判断点 P(3,2相对抛物线的位置。 解:抛物线 232-=x x y 如图, 点 P (3, 2 在抛物线的内部,根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点, 可知过点 P(3,2 和抛物线 232-=x x y 只有一个公共点的直线有一条。故选择 D规律提示:含焦点的区域为圆锥曲线的内部。 (这里可以用公司的设备画图一、过一定点 P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况:(1若定点 P 在抛物线外,则过点 P 和抛物线只有一个公共点的直线有 3条:两条切线, 一条和对称轴平行或重合的直线;(

6、2若定点 P 在抛物线上,则过点 P 和抛物线只有一个公共点的直线有 2条:一条切线, 一条和对称轴平行或重合的直线;(3若定点 P 在抛物线内,则过点 P 和抛物线只有一个公共点的直线有 1条:和抛物线的 对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。二、过定点 P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况:(1若定点 P 在双曲线内,则过点 P 和双曲线只有一个公共点的直线有 2条:和双曲线的 渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点;(2若定点 P 在双曲线上,则过点 P 和双曲线只有一个公共点的直线有 3条:一条切线, 2条和渐近线平行的直线;(3若定点 P 在双曲线外且不在渐近线上,则过点

7、 P 和双曲线只有一个公共点的直线有 4条:2条切线和 2条和渐近线平行的直线;(4若定点 P 在双曲线外且在一条渐近线上,而不在另一条渐近线上,则过点 P 和双曲线 只有一个公共点的直线有 2条:一条切线,一条和另一条渐近线平行的直线;(5若定点 P 在两条渐近线的交点上,即对称中心,过点 P 和双曲线只有一个公共点的直 线不存在。题型二:弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维, 首先弄清楚哪个是弦, 哪个是对称轴, 用到的知识是:垂直(两直线的斜率之积为 -1和平分(中点坐标公式 。例题 2、 过点 T(-1,0作直线 l 与曲线 N :2y x =交于 A 、 B

8、两点,在 x 轴上是否存在一点 E(0x ,0 ,使得 ABE 是等边三角形,若存在,求出 0x ;若不存在,请说明理由。分析:过点 T(-1,0的直线和曲线 N :2y x =相交 A 、 B 两点,则直线的斜率存在且不等于 0,可以设直线的方程,联立方程组,消元,分析类一元二次方程,看判别式,运用韦达定 理,得弦的中点坐标,再由垂直和中点,写出垂直平分线的方程,得出 E 点坐标,最后由 倍。运用弦长公式求弦长。 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于 0。设直线 :(1 l y k x =+, 0k , 11(, A x y , 22(, B x y 。由 2(1 y k x y x =+

9、=消 y 整理,得 2222(21 0k x k x k +-+= 由直线和抛物线交于两点,得2242(21 4410k k k =-=-+> 即 2104k << 由韦达定理,得:212221, k x x k-+=-121x x =。 则线段 AB 的中点为 22211(, 22k k k-。 线段的垂直平分线方程为:221112( 22k y x k k k-=- 令 y=0,得 021122x k =-,则 211(,0 22E k - ABE 为正三角形, 211(,0 22E k -到直线 AB 的距离 d。 AB = = d = = 解得 13k =±

10、 满足式 此时 053x =。 思维规律:直线过定点设直线的斜率 k ,利用韦达定理法,将弦的中点用 k 表示出来,再利 用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来,求出了横截距的坐标;再利用正三角形的性质:高是边长的 2 倍,将 k 确定,进而求出 0x 的坐标。 例题 3、 已知椭圆 1222=+y x 的左焦点为 F , O 为坐标原点。(求过点 O 、 F ,并且与 2x =-相切的圆的方程;(设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A 、 B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G ,求点 G 横坐标的取值范围。 分析:第一问求圆的方程,运用几何法:圆心在弦的垂直平分线上,

11、圆心到切线的距离 等于圆心到定点的距离;第二问,过定点的弦的垂直平分线如果和 x 轴相交,则弦的斜 率存在, 且不等于 0, 设出弦 AB 所在的直线的方程, 运用韦达定理求出弦中点的横坐标, 由弦 AB 的方程求出中点的总坐标,再有弦 AB 的斜率,得到线段 AB 的垂直平分线的方 程,就可以得到点 G 的坐标。解:(I a 2=2, b 2=1, c=1, F(-1, 0 , l:x=-2.圆过点 O 、 F, 圆心 M 在直线 x=-上 21 设 M(-t , 21 ,则圆半径:r =|(-21-(-2|=23 由 |OM|=r ,得 23 21(22=+-t ,解得 t=±2

12、, 所求圆的方程为 (x+21 2+(y±2 2=49. (II由题意可知,直线 AB 的斜率存在,且不等于 0,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1(k 0 , 代入 22x +y2=1,整理得 (1+2k2x 2+4k2x+2k2-2=0直线 AB 过椭圆的左焦点 F ,方程一定有两个不等实根 ,设 A(x1, y 1 , B(x2, y 2 , AB 中点 N(x0, y 0 ,则 x 1+x1=-, 12422+k k 2012212( , 221k x x x k =+=-+002(1 21k y k x k =+=+ AB 垂直平分线 NG 的方程为(100x x ky

13、 y -=-令 y=0,得22002222121C k k x x ky k k =+=-+ 2221121242k k k =-=-+ . 021, 0<<-c x k 点 G 横坐标的取值范围为(0, 21-。 技巧提示 :直线过定点设直线的斜率 k ,利用韦达定理,将弦的中点用 k 表示出来,韦达定 理就是同类坐标变换的技巧, 是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技 巧。再利用垂直关系将弦 AB 的垂直平分线方程写出来,就求出了横截距的坐标(关于 k 的 函数 。直线和圆锥曲线中参数的范围问题,就是函数的值域问题。练习 1:已知椭圆 0(1:2222>&

14、gt;=+b a by a x C 过点 23, 1(,且离心率 21=e 。(求椭圆方程;(若直线 0(:+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 的垂直 平分线过定点 0, 81(G ,求 k 的取值范围。分析 :第一问中已知椭圆的离心率,可以得到 , a b 的关系式,再根据“ 过点 23, 1(”得到, a b 的第 2个关系式,解方程组,就可以解出 , a b 的值,确定椭圆方程。第二问,设出交点坐标,联立方程组,转化为一元二次方程,通过判别式得出 , k m 的不等 式,再根据韦达定理,得出弦 MN 的中点的横坐标,利用弦的直线方程,得到中点的纵坐

15、 标,由中点坐标和定点 0, 81(G ,得垂直平分线的斜率,有垂直平分线的斜率和弦的斜率之 积为 -1,可得 , k m 的等式,用 k 表示 m 再代入不等式,就可以求出 k 的取值范围。解:( 离心率 21=e , 2213144b a =-=,即 2243b a =(1 ;又椭圆过点 23, 1(,则221914a b+=, (1式代入上式,解得 24a =, 23b =,椭圆方程为 22143x y +=。 (设 1122(, , (, M x y N x y ,弦 MN 的中点 A 00(, x y由 223412y kx m x y =+=得:222(34 84120k x mk

16、x m +-=, 直线 0(:+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点,2222644(34(412 0m k k m =-+->,即 2243m k <+(1由韦达定理得:21212228412, 3434mk m x x x x k k -+=-=+, 则 2000222443, 343434mk mk mx y kx m m k k k =-=+=-+=+, 直线 AG 的斜率为:2223243234348AGmm K mk k k =-+, 由直线 AG 和直线 MN 垂直可得:22413234mk mk k =- ,即 2348k m k +=-,代入(1 式,可得

17、 22234( 438k k k +<+,即 2120k > ,则 k k ><。 老师支招 :如果只说一条直线和椭圆相交, 没有说直线过点或没给出直线的斜率, 就直接设 直线的方程为:y kx m =+, 再和曲线联立, 转化成一元二次方程, 就能找到解决问题的门路。 本题解决过程中运用了两大解题技巧:与韦达定理有关的同类坐标变换技巧, 与点的纵、 横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。 解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、 灵活的 运用这两大解题技巧。 练习 2、设 1F 、 2F 分别是椭圆22154x y +=的左右焦点.是否存在过点 (5, 0 A 的直线 l

18、 与椭 圆交于不同的两点 C 、 D ,使得 22F C F D =?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说 明理由. 分析 :由 22F C F D =得, 点 C 、 D 关于过 2F 的直线对称,由直线 l 过的定点 A(5,0不在 22154x y +=的内部,可以设直线 l 的方程为:(5 y k x =-,联立方程组,得一元二次方程,根据判别式,得出斜率 k 的取值范围, 由韦达定理得弦 CD 的中点 M 的坐标, 由点 M 和点 F 1的坐标,得斜率为 1k-,解出 k 值,看是否在判别式的取值范围内。 解:假设存在直线满足题意,由题意知,过 A 的直线的斜率存在,且不等于。

19、设直线 l 的方 程为:(5,(0 y k x k =-, C 11(, x y 、 D 22(, x y , CD 的中点 M 00(, x y 。 由 22(5 4520y k x x y =-+=得:2222(45 50125200k x k x k +-+-=, 又直线 l 与椭圆交于不同的两点 C 、 D ,则 2222=(50 4(45(12520 0k k k -+->,即2105k <<。 由韦达定理得:221212225012520, 4545k k x x x x k k -+=+,22545k k+, 22045kk-+ 。 又点 2F (1,0,则直线

20、 2MF 的斜率为 222222052515145MF kk k k k k -=-+, 根据 2CD MF 得:21MF k k =-,即 225115k k =-,此方程无解,即 k不存在,也就是不存在满足条件的直线。老师提醒:通过以上 2个例题和 2个练习, 我们可以看出, 解决垂直平分线的问题, 即对称 问题分两步:第一步,有弦所在的直线和曲线联立,转化为一元二次方程(或类一元二次方 程 ,通过判别式得不等式,由韦达定理得出弦中点的坐标;第二步是利用垂直关系,得出 斜率之积为 -1,或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率,写出垂直平分线的方程,就可以 解决问题。需要注意的一点是,求出的参

21、数一定要满足判别式。题型三:动弦过定点的问题圆锥曲线自身有一些规律性的东西, 其中一些性质是和直线与圆锥曲 线相交的弦有关系,对这样的一些性质,我们必须了如指掌,并且必 须会证明。随着几何画板的开发,实现了机器证明几何问题,好多以 前我们不知道的、 了解不深入的几何或代数性质, 都如雨后春笋般的 出来了,其中大部分都有可以遵循的规律,高考出题人,也得设计好 思维,让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考 题领略一下其风采。例题 4、已知椭圆 C :22221(0 x y a b a b+=>>,且在 x 轴上的顶点分别为 A 1(-2,0,A2(2,0。(I 求椭圆的

22、方程;(II 若直线 :(2 l x t t =>与 x 轴交于点 T, 点 P 为直线 l 上异于点 T 的任一点, 直线 PA 1,PA 2分别与椭圆交于 M 、 N 点,试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论。分析 :第一问是待定系数法求轨迹方程;第二问中,点 A 1、 A 2的坐标都知道,可以设直线 PA 1、 PA 2的方程,直线 PA 1和椭圆交点是 A 1(-2,0和 M ,通过韦达定理,可以求出点 M 的 坐标,同理可以求出点 N 的坐标。动点 P 在直线 :(2 l x t t =>上,相当于知道了点 P 的横 坐标了,由直线 PA 1、 PA 2的方

23、程可以求出 P 点的纵坐标,得到两条直线的斜率的关系,通 过所求的 M 、 N 点的坐标,求出直线 MN 的方程,将交点的坐标代入,如果解出的 t>2,就 可以了,否则就不存在。解:(I 由已知椭圆 C的离心率 c e a =2a =, 则得 1c b =。 从而椭圆的方程为 2214x y += (II 设 11(, M x y , 22(, N x y , 直线 1A M 的斜率为 1k , 则直线 1A M 的方程为 1(2 y k x =+,由 122(2 44y k x x y =+=消 y 整理得 222 121(14 161640k x k x k +-= 12x - 和

24、是方程的两个根, 21121164214k x k -=+则 211212814k x k -=+, 1121414k y k =+, 即点 M 的坐标为 2112211284(, 1414k k k k -+, 同理,设直线 A 2N 的斜率为 k 2,则得点 N 的坐标为 2222222824(, 1414k k k k -+ 12(2, (2 p p y k t y k t =+=-12122k k k k t-=-+,直线 MN 的方程为:121121y y y y x x x x -=-, 令 y=0,得 211212x y x y x y y -=-,将点 M 、 N 的坐标代入,

25、化简后得:4x t=又 2t > , 402t<<椭圆的焦点为 4t=t = 故当 3t = 时, MN 过椭圆的焦点。 方法总结 :本题由点 A 1(-2,0的横坐标-2是方程 222121(14 161640k x k x k +-=的一个根,结合韦达定理运用同类坐标变换,得到点 M 的横坐标:211212814k x k -=+,再利用直线 A 1M 的方程通过同点的坐标变换,得点 M 的纵坐标:1121414k y k =+; 其 实 由 222(2 44y k x x y =-+=消 y 整 理 得 222222(14 161640k x k x k +-+-=,

26、得 到22222164214k x k -=+,即 222228214k x k -=+, 2222414k y k -=+很快。 不过如果看到:将 21121164214k x k -=+中的 12k k 用 换下来, 1x 前的系数 2用-2换下来, 就得点 N 的坐标 2222222824(, 1414k k k k -+,如果在解题时,能看到这一点,计算量将减少,这样 真容易出错,但这样减少计算量。本题的关键是看到点 P 的双重身份:点 P 即在直线 1A M 上也在直线 A 2N 上,进而得到12122 k k k k t-=-+, 由 直 线MN 的 方 程121121y y y

27、y x x x x -=-得直线与 x 轴的交点,即横截 距 211212x y x y x y y -=-,将点 M 、 N 的坐标代入,化简易得 4x t =,由 4t=t =,到此不要忘了考察 t =是否满足 2t >。 另外:也可以直接设 P(t, y 0 ,通过 A 1, A 2的坐标写出直线 PA 1, PA 2的直线方程,再分别和椭圆联立,通过韦达定理求出 M 、 N 的坐标,再写出直线 MN 的方程。再过点 F ,求出 t 值。例题 5、 (07山东理已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到 焦点距离的最大值为 3;最小值为 1;(求椭圆 C

28、的标准方程;(若直线 m kx y l +=:与椭圆 C 相交于 A , B 两点(A , B 不是左右顶点 ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标。分析:第一问,是待定系数法求椭圆的标准方程;第二问,直线 m kx y l +=:与椭圆 C 相交于 A , B 两点,并且椭圆的右顶点和 A 、 B 的连线互相垂直,证明直线 l 过定点,就 是通过垂直建立 k 、 m 的一次函数关系。解(I 由题意设椭圆的标准方程为 22221(0 x y a b a b +=>>3, 1a c a c +=-=, 22, 1, 3a c b =2

29、2143x y += (II 设 1122(, , (, A x y B x y ,由 223412y kx mx y =+=得 222(34 84(3 0k x mkx m +-=,22226416(34(3 0m k k m =-+->, 22340k m +->212122284(3, 3434mk m x x x x k k-+=-=+(注意:这一步是同类坐标变换 22221212121223(4( ( ( 34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=+=+=+(注意 :这一步叫同点纵、横坐标间的变换以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 (2

30、,0,D 且 1AD BD k k =-,1212122y yx x =-, 1212122( 40y y x x x x +-+=, 2222223(4 4(3 1640343434m k m mkk k k -+=+, 2271640m mk k +=,解得1222, 7k m k m =-=-,且满足 22340k m +-> 当 2m k =-时, :(2 l y k x =-,直线过定点 (2,0,与已知矛盾;当 27k m =-时, 2:( 7l y k x =-,直线过定点 2(,0 7综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 2(,0. 7名师经验:在直线和圆锥曲线的位置关

31、系题中,以弦为直径的圆经过某个点,就是 “弦对定 点张直角” ,也就是定点和弦的两端点连线互相垂直,得斜率之积为 1-,建立等式。直线不过定点,也不知道斜率,设出 m kx y l +=:,是经常用的一招,在第二讲中就遇到了这样 设的直线。练习 :直线 m kx y l +=:和抛物线 22y px =相交于 A 、 B ,以 AB 为直径的圆过抛物线的 顶点,证明:直线 m kx y l +=:过定点,并求定点的坐标。分析:以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点 O ,则 OA OB ,若设 1122(, , (, A x y B x y ,则12120x x y y +=, 再通过 22121

32、21212( ( ( y y kx m kx m k x x mk x x m =+=+, 将条件转化为 221212(1 ( 0k x x mk x x m +=,再通过直线和抛物线联立,计算判别式后,可 以得到 12x x , 12x x +,解出 k 、 m 的等式,就可以了。 解:设 1122(, , (, A x y B x y ,由 22y kx m y px=+=得, 2220ky py mp -+=, (这里消 x 得到的 则 2480p mkp =->(1 由韦达定理,得:121222p mpy y y y k k+=, , 则 2121212122( y m y m

33、y y m y y m x x k k k -+=, 以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点 O ,则 OA OB ,即 12120x x y y +=,可得 21212122( 0y y m y y m y y k-+=,则 22(1220k mp pm m k +-+=, 即 2220k mp m k +=,又 0mk ,则 2m kp =-,且使(1成立, 此时 2(2 l y kx m kx kp k x p =+=-=-:,直线恒过点 (2,0 p 。名师指点:这个题是课本上的很经典的题, 例题 5、 (07山东理就是在这个题的基础上, 由出题人迁移得到的, 解题思维都是一样的, 因此只

34、要能在平时, 把我们腾飞学校老师讲解 的内容理解透,在高考中考取 140多分,应该不成问题。本题解决过程中, 有一个消元技巧,就是直线和抛物线联立时, 要消去一次项, 计算量小 一些,也运用了同类坐标变换韦达定理,同点纵、横坐标变换 -直线方程的纵坐标 表示横坐标。其实解析几何就这么点知识,你发现了吗?题型四:过已知曲线上定点的弦的问题若直线过的定点在已知曲线上,则过定点的直线的方程和曲线联立,转化为一元二次方程 (或类一元二次方程 ,考察判断式后,韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标,进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。例题 6、 已知点 A 、 B 、 C 是椭圆

35、E :22221x y a b+= (0 a b >>上的三点, 其中点 A 是椭圆的右顶点,直线 BC 过椭圆的中心 O ,且 0AC BC =, 2BC AC = ,如图。(I求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程;(II若椭圆 E 上存在两点 P 、 Q ,使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 x =PQ 的斜率。 解:(I 2BC AC =,且 BC 过椭圆的中心 O OC AC =0AC BC =2ACO =又 点 C 的坐标为 。A 是椭圆的右顶点, a = 222112x y b += 将点C 代入方程,得 24b =, 椭圆 E 的方程为 221124x y += (

36、II 直线 PC 与直线 QC关于直线 x =对称, 设直线 PC 的斜率为 k ,则直线 QC 的斜率为 k -,从而直线 PC 的方程为:(y k x =,即 y kx k =-, 由 22 3120y kx k x y =-+-=消 y ,整理得:222(13 (1 91830k x k x k k +-+-=x = 是方程的一个根, 22918313P k k x k -=+ 即 2P x =同理可得:2Q x = P Q P Q y y kx k kx k -=-+=( P Q k x x +- 22P Q x x -= 13P Q PQ P Qy y k x x -=- 则直线 P

37、Q 的斜率为定值13。 方法总结:本题第二问中,由“直线 PC 与直线 QC 关于直线 x =互为相反数,设直线 PC 的斜率为 k ,就得直线 QC 的斜率为 -k 222(13 (1 91830k x k x k k +-+-=的根,易得点 P 的横坐标: 2P x =,再将其中的 k 用 -k 换下来,就得到了点 Q 的横坐标: 2Q x =,这样计算量就减少了许多,在考场上就节省了大量的时间。 接下来,如果分别利用直线 PC 、 QC 的方程通过坐标变换法将点 P 、 Q 的纵坐标也求出来, 计 算量会增加许多。直接计算 P Q y y -、 P Q x x -,就降低了计算量。总之,

38、本题有两处是需要同学们好好想一 想, 如何解决此类问题, 一是过曲线上的点的直线和曲线相交, 点的坐标是方程组消元后得 到的方程的根;二是利用直线的斜率互为相反数,减少计算量,达到节省时间的目的。练习 1、已知椭圆 C :22221(0 x y a b a b+=>>,且在 x 轴上的顶点分别为 A 1(-2,0,A2(2,0。(I 求椭圆的方程;(II 若直线 :(2 l x t t =>与 x 轴交于点 T, 点 P 为直线 l 上异于点 T 的任一点, 直线 PA 1,PA 2分别与椭圆交于 M 、 N 点,试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论。 解:(I

39、 由已知椭圆 C的离心率 c e a =2a =, 则得 1c b =。 从而椭圆的方程为 2214x y +=(II 设 11(, M x y , 22(, N x y , 直线 1A M 的斜率为 1k , 则直线 1A M 的方程为 1(2 y k x =+,由 122(2 14y k x x y =+=消 y 整理得 222121(14 161640k x k x k +-= 12x - 和 是方程的两个根 21121164214k x k -=+则 211212814k x k -=+, 1121414k y k =+, 即点 M 的坐标为 2112211284(, 1414k k

40、k k -+ 同理,设直线 A 2N 的斜率为 k 2,则得点 N 的坐标为 2222222824(, 1414k k k k -+ 12(2, (2 p p y k t y k t =+=-12122k k k k t-=-+,直线 MN 的方程为:121121y y y y x x x x -=-, 令 y=0,得 211212x y x y x y y -=-,将点 M 、 N 的坐标代入,化简后得:4x t=又 2t > , 402t<<椭圆的焦点为 4t=3t = 故当 t = 时, MN 过椭圆的焦点。 方法总结:本题由点 A 1(-2,0的横坐标-2是方程 22

41、2121(14 161640k x k x k +-=的一个 根,结合韦达定理得到点 M 的横坐标:211212814k x k -=+,利用直线 A 1M 的方程通过坐标变换,得点 M 的纵坐标:1121414k y k =+; 再将 21121164214k x k -=+中的 12k k 用 换下来, 1x 前的系数 2用-2换下来,就得点 N 的坐标2222222824(, 1414k k k k -+,如果在解题时,能看到这一点,计算量将减少许多,并且也不易出错,在这里减少计算量是本题的重点。否则, 大家很容易陷入繁杂的运算中,并且算错,费时耗 精力,希望同学们认真体会其中的精髓。本

42、题的关键是看到点 P 的双重身份:点 P 即在直线 1A M 上也在直线 A 2N 上,进而得到12122k k k k t -=-+,由直线 MN 的方程 121121y y y y x x x x -=-得直线与 x 轴的交点,即横截距 211212x y x y x y y -=-,将点 M 、 N 的坐标代入,化简易得 4x t =,由 4t=t =,到此 不要忘了考察 3 t =是否满足 2t >。练习 2、 :(2009辽宁卷文、理已知,椭圆 C 以过点 A (1, 32,两个焦点为(-1, 0 (1, 0 。(1 求椭圆 C 的方程;(2 E , F 是椭圆 C 上的两个动

43、点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。分析:第一问中,知道焦点,则 ,再根据过点 A ,通过解方程组, 就可以求出 ,求出方程。第二问中,设出直线 AE 的斜率 k ,写出直线的方程,联 立方程组,转化成一元二次方程, 由韦达定理和点 A 的坐标,可以求出点 E 的坐标 , 将点 E 中的 k, 用 -k 换下来,就可以得到 点 F 的坐标,通过计算 yE-yF , xE-xF ,就可以求出直线 EF 的斜率了解:(由题意, c=1,可设椭圆方程为 ,将点 A 的坐标代入方 程:,解得 , (舍去 所以椭圆方程为 。(设直线 AE

44、方程为:3(1 2y k x =-+,代入 22143x y +=得 2223(34 4(32 4( 1202k x k k x k +-+-=设 (x, y E E E , (x, y F F F , 因为点 3(1, 2A 在椭圆上,所以221a b =+22, a b 222211x y a a +=-221914(1 a a +=-24a =22114a c =<=22143x y +=2234( 12x 34F k k -=+ 32E E y kx k =+- 8分又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 K 代 K ,可得2234( 12x 34F k k+

45、-=+ 32E E y kx k =-+所以直线 EF 的斜率 ( 212F E F E EF F E F E y y k x x k K x x x x -+=-即直线 EF 的斜率为定值,其值为12。 12分 老师总结:此类题的关键就是定点在曲线上,定点的坐标是方程的根,通过韦达定理,将动 点的坐标求出, 在根据斜率互为相反数, 就可以直接求出第二动点的坐标, 最后由斜率公式, 可以求出斜率为定值。题型五:共线向量问题解析几何中的向量共线, 就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题, 再通过未达定理 -同类坐标变换,将问题解决。此类问题不难解决。例题 7、 设过点 D(0,3的直线交曲线 M

46、 :22194x y +=于 P 、 Q 两点, 且 DP DQ l =uuu r uuu r , 求实数 l的取值范围。分析 :由 DP DQ l =uuu r uuu r 可以得到 12123(3 x x y y l l ìï=ïíï=+-ïî,将 P(x1,y 1,Q(x2,y 2, 代人曲线方程,解出 点的坐标,用 l 表示出来。解:设 P(x1,y 1,Q(x2,y 2,Q DP DQ l =uuu r uuu r(x1,y 1-3=l (x2,y 2-3即 12123(3 x x y y l l ì=&

47、#239;ïíï=+-ïïî 方法一:方程组消元法又 Q P 、 Q 是椭圆 29x +24y =1上的点22222222194( (33 194x y x y l l l ìïï+=ïïïíï+-ï+=ïïïî 消去 x 2,可得 222222(33 14y y l l l l +-=-即 y 2=1356l l - 又 Q -2£y 2£2, -2£1356l l-

48、3;2 解之得:155 则实数 l 的取值范围是 1,55。方法二:判别式法、韦达定理法、配凑法设直线 PQ 的方程为:3, 0y kx k =+,由 2234936y kx x y =+=消 y 整理后,得 22(49 54450k x kx +=P 、 Q 是曲线 M 上的两点22(54 445(49 k k =-+=2144800k -即 295k 由韦达定理得:1212225445, 4949k x x x x k k+=-=+ 212121221( 2x x x x x x x x +=+222254(1 45(49 k k +=+ 即 22223694415(1 99k k k +

49、=+ 由得 211095k <,代入,整理得一切为了孩子 -温新堂教育 21 236915(1 5<+, 解之得 155<< 当直线 PQ 的斜率不存在,即 0x =时,易知 5=或 15=。 总之实数 l 的取值范围是 1,55。 方法总结:通过比较本题的第二步的两种解法,可知第一种解法, 比较简单,第二种方法是 通性通法, 但计算量较大,纵观高考中的解析几何题,若放在后两题, 很多情况下能用通性 通法解,但计算量较大, 计算繁琐, 考生必须有较强的意志力和极强的计算能力; 不用通性 通法, 要求考生必须深入思考, 有较强的思维能力,在命题人设计的框架中,找出破解的蛛

50、 丝马迹,通过自己的思维将问题解决。例题 8:已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 它的一个顶点恰好是抛物线 241x y =的 焦点,离心率为 52. (1求椭圆 C 的标准方程;(2 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点, 交 y 轴于 M 点, 若 AF MA 1=, BF MB 2=,求 21+的值.分析: (07福建理科如图, 已知点 F (1, 0 , 直线 l :x =-1, P 为平面上的动点, 过 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且 QP QF FP FQ =(求动点 P 的轨迹 C 的方程;( 过 点 F 的 直 线 交

51、 轨 迹 C 于 A 、 B 两 点 , 交 直 线 l 于 点 M , 已 知一切为了孩子 -温新堂教育22 12, MA AF AF BF = ,求 12+的值。小题主要考查直线、 抛物线、 向量等基础知识, 考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征 的基本方法,考查运算能力和综合解题能力 . 满分 14分 .解法一: (设点 ( P x y , ,则 (1 Q y -, ,由 QP QF FP FQ =得: (10 (2 (1 (2 x y x y y +-=- , , , , ,化简得 2:4C y x =.(设直线 AB 的方程为:1(0 x my m =+.设 11( A x y ,

52、 , 22( B x y , ,又 21M m - , , 联立方程组 241y x x my =+, ,消去 x 得:2440y my -=, 2(4 120m =-+>,故121244y y m y y +=-, . 由 1MA AF = , 2MB BF = 得:1112y y m +=-, 2222y y m+=-,整理得:一切为了孩子 -温新堂教育 23 1121my =-, 2221my =-, 12122112m y y +=-+ 121222y y m y y +=- 2424m m =- 0=解法二:(由 QP QF FP FQ =得:( 0FQ PQ PF += ,

53、( ( 0PQ PF PQ PF -+= ,220PQ PF -= ,PQ PF =所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为:24y x =. (由已知 1MA AF = , 2MB BF = ,得 120<. 则:12MA AF MB BF=- . 过点 A B , 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 1A , 1B , 则有:11MA AA AF MB BB BF= . 由得:12AF AF BF BF-= ,即 120+=.一切为了孩子 -温新堂教育24 练习:设椭圆 0(12:222>=+a y a x C 的左、右焦点分别为 1F 、 2F , A 是

54、椭圆 C 上的 一点,且 0212=F F AF ,坐标原点 O 到直线 1AF 的距离为|311OF . (1求椭圆 C 的方程;(2设 Q 是椭圆 C 上的一点,过 Q 的直线 l 交 x 轴于点 0, 1(-P ,较 y 轴于点 M ,若 2=,求直线 l 的方程.山东 2006理双曲线 C 与椭圆 22184x y +=有相同的焦点,直线 y =x 为 C 的一条渐近线。 (I 求双曲线 C 的方程;(II过点 P (0,4的直线 l , 交双曲线 C 于 A,B 两点, 交 x 轴于 Q 点 (Q 点与 C 的顶点不重合 。 当 12PQ QA QB = ,且 3821-=+时,求 Q 点的坐标。 解:(解法一:由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零。设 l 的方程:114, (,