223《向量数乘运算及其几何意义》导学案

1、223向量数乘运算及其几何意义导学案【学习目标】掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量积的儿何意义；掌握实数与向量的积的运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2- 理解两个向量平行（或共线）的等价条件，能根据条件判断两个向量是否平行（或共线）通过探究，体会类比迁移的思想方法，通过实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽 象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.【重点难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的等价条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量 平行的等价条件.【知识回顾】1. 平行向量是指什么？共线向量又是指什么？作出两个2. 向量的和向量的方法

2、有 第一个方法的步骤是： 第二个方法的步骤是：3. 作出两个向量的差向量的方法是 ;作两个向量的差向量的步骤是：.（向量的化简与分解）那么相等的儿个向量相 r（一 a）简记为uuu uuo UU1U4- 三个向量AB0A0B有怎样的等式关系？【新课导入】相同的儿个数相加可以转化为数乘运算，加是 如当a R时，a且a否也能转化为数乘运算呢？rr p r已知非零向量a,如何作出向量a +a + a和（a.） + （ a） + （类似实数的数乘运算，可将a+a + a简记为,、/：':（a） + （- a） +它们的结果是一个什么样的量？数量还是向量？请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么

3、变化?【学习过程】1）定义一般地，我们规定：实数与向量&的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作方向与长度与a,该向量的、a有什么关系呢？（1）向量r的长度：1 a（2）向量的方向：思考:若b.（用a, b的模表示）向量的数乘运算的儿何意义吗?向量与数量的关系常常在物理公式中体现你能举出儿个公式吗?、rr(1)(a)(2)(入+ jj)a特别地，我们有O a练一练：3.计算：（1）4；(-3) ?r r r 3(a+ b)-类比多项式的运算律（交换律、结合律、分配律）得到以下向量数乘的运算律: b为任意向量， 入卩为任意实数，则有：r r；Xa_ b)二r r(3) Xa+ b)=

4、r r2(a- b) a ；(3) (2a+ 3b- c) - (3a- 2b + c).练一练：（课本第90页练习的第2,3 题)UULTuuuUULTuur1.已知点C在线段AB上，且ACo则ACAB ；RCABCB 2rr2将下列各小题中的b表示为实数与向量a的积：rr rrrr rr83e, b6e ；88e, b14e ；r2 rr 1 rr3r r2r-e.h aa h A33432运算律:）初中学习了多项式的运算法则，你还记得吗？，为常数，x, y为未知量，且X, yR,则(X)X(X y)总结提升1 此类运算类似多项式的运算法则（合并同类项，系数相乘得系数等）2 向量的加、减、

5、数乘运算称为向量的线性运算，对于任意的向量r ra. b以及仟倉实数2恒有1 a sb思考：弓I入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?r rr若b afA为韭惡估1畐2 若非零向量a Ini量h共纯.是否存在R）,则向量a、b是否共线?R使得ba?ur r rmrr4.若a, b是已知向量，且LTn3bur r r r mr2nr,求m, n （用a, b表示）iasb3）共线定理:入,共线向量定理：向量b与非零向量a平行的等价条件是有且仅有一个实数共线定理中能否将“非零向量a ”改为“向量 a ” ?为什么？相一相加氧己知AD二3AR . DF. = RRCuuur u

6、uu uuur uuuuuur uuu狀旳I惭AC t； AR具丕平柠uuur已矢口变式1：如上图，AD二UUU UUU3AB .王UUU3RC,试判断A.C.E二占的付詈关系.变式2:如上图,uuur已知1AD 二UUU3AR .uuu AE 二uuur3AC.求证.RC/DF.【总结提升】向量共线定理的应用:1.证明向量共线；UUUUUU2 .证明：三点共线：ABRCA, B, C三点共线；UUUUUUUUU uuu3 证明两直线平行：ABr/CD直线AB / /直线CDAR上J CD不右：1日1百纬kr uuur r uur ab, OB2b , OCa 3b你能判断A, B, C这样儿

7、何问题向量化.【典例1】己知任意两个非零向量&、b,且OA a三点之间的位置关系吗？为什么？【典例2】在ABC中，点D是线段BC ±的一点,且BD2DC,请用向量uur uuiruuuAR. AC芸云i£i富AD【小结回顾】1.实数与向量的积:2.实数与向量的积的运算律:3.共线向量定理:定理的应用证明：向量共线;证明两直线平行:UUUAB证明：三点共线:uuur uuu uuiuCD AB/CDuuuARBC A, B，C三点共线;直线AB / /直线CD .AR旨cn不:存同一肓纬k【作业布置】1 相应课时的同步作业2拓展提升部分的思考【拓展提升】r r1.设&、b是两个不共线向量，己知AB二uuu r2 a +rmb uuu r rcr二白+ 2b 芒A R C二占±t纬UUU2在【典例2】中，观察所得出的结果，向量AB与AC的系数有何关系？若题中D为直线BC ±的任意uuiuuuu uuuruuiruuu uuu”, （1 ADAC又如何表示向量