32导数的应用

1、§3.2导数的应用知识梳理輕点讲解深层突嗾1. 函数的单调性在某个区间(a, b)内，如果f' (x)>0,那么函数y= f(x)在这个区间内单调递增；如果f' (x)<0,那么函数y= f(x)在这个区间内单调递减.2. 函数的极值一般地，当函数f(x)在点xo处连续时，(1)如果在X0附近的左侧f' (x)>0，右侧f' (x)<0，那么f(xo)是极大值；如果在X0附近的左侧f' (x)<0，右侧f' (x)>0，那么f(xo)是极小值.3. 函数的最值(1)在闭区间a, b上连续的函数f(x)

2、在a, b上必有最大值与最小值.若函数f(x)在a, b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，蚀为函数的最大值；若函数 f(x)在a, b上单调递减，则 回为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“x”)(1)若函数f(x)在(a, b)内单调递增，那么一定有f' (x)>0.( x )如果函数f(x)在某个区间内恒有f' (x)= 0，则f(x)在此区间内没有单调性.(V )(3)函数的极大值不一定比极小值大.(V )对可导函数f(x), f' (xo)= 0是xo点为极值点的充要条件.(x )(5)函数的最

3、大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(V )考点自测快連輕答自查自纠1.函数f(x)= x2- 2ln x的单调递减区间是 .答案(0,1)22 x+1 x 1解析 T f' (x)= 2x x=x (x>0).xx当 x (0,1)时，f' (x)<0 , f(x)为减函数；当 x (1,+s)时，f' (x)>0, f(x)为增函数.2 .已知定义在实数集R上的函数 f(x)满足f(1) = 3,且f(x)的导数f'f' (x)<2(x R),则不等式f(x)<2x+ 1的解集为 .答案 (1 ,+ )解析

4、令 g(x) = f(x) 2x 1, g' (x) = f' (x) 2<0 , g(x)在 R 上为减函数，且 g(1) = f(1) 2 1= 0.由 g(x)<0 = g(1)，得 x>1.3 .函数f(x)= x3 3x2 + 1在x=处取得极小值.答案 2解析由题意知 f' (x)= 3« 6x= 3x(x 2)，令 f' (x)= 0 得 x= 0 或 2,由x>2，由 f' (x)<0 得 0<x<2. f(x)在 x= 2 处取得极小值.(x)在R上恒有(x)>0 得 x<

5、0 或解析4. (教材改编)如图是f(x)的导函数f' (x)的图象，贝U f(x)的极小值点的个数为ipDipl5.设2“In x ,In x 2 In x2曲亠才口1<x<2，则 ,()2, 歹的大小关系是x x'x.(用< ”连接)答案2In x 2 In x In x2解析令 f(x) = x ln x(1<x<2),(x)=答案由题意知在x= 1处f' ( 1) = 0,且其左右两侧导数符号为左负右正. x=?>o，函数y= f(x)(1<x<2)为增函数,In x f(x)>f(1) = 1>0, x>ln x>