2017年新课标全国卷3高考理科数学精彩试题及问题详解

1、实用文档绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标出）理科数学注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。1 .已知集合A=（x,y）| x2+y2 =仆，氏（x,y）| y = x,则Ap| B中元素的个数为A. 3B. 2C

2、. 1D. 02 .设复数z满足（1+i） z=2i ,则I z I =A. B. -C.2D. 23 .某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对 7月至12月，波动性更小，变化比较平稳文案大全4. (x + y)(2 x-y)5的展开式中x3y3的系数为A. -80B. -40C. 40D. 805.已知双曲线C：22:一4=

3、1 ( a>0, b>0)的一条渐近线方程为 a b.5y =x ,2且与椭圆22上+匕=1有公共焦点，则C的方程为1232 x D.22A.81022xy/B. 一 - 二14522x y /C. 一 - 二1546.设函数f(x)=cos( x+ ),则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期为-2兀B. y=f(x)的图像关于直线x=8L对称3C. f(x+Tt)的一个零点为x=-6D. f(x)在(g ,兀)单调递减7.执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为4 El |A. 5B. 4C. 3D. 28 .已知圆柱的高为1 ,它的两个底面的圆

4、周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A.冗B.2C. -D.9 .等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2, a3, a6成等比数列，则1aj前6项的和为A. -24B. -3C. 3D. 82210.已知椭圆C:A,且以线段AA为直与+4=1, (a>b>0)的左、右顶点分别为A,a b径的圆与直线bxay+2ab =0相切，则C的离心率为B 、3B. 3C -23D. 1311.已知函数f(x) =x22x+a(ex,+e/4)有唯一零点，则a=A. .12B.-3D. 112.在矩形 ABCD43, AB=1, AD=2动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若

5、aPAB +NAD ,则九+N的最大值为A. 3D. 2、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。y满足约束条件(x + y-2E0,则z =3x-4y的最小值为y-014 .设等比数列an满足 a1 + a2 = - 1,胡-a3 = - 3,贝U a4 =15 .设函数f(x)=Fx 1' x*0'则满足f(x)+ f (x1)>1的x的取值范围是 。2 , x 0,216 . a, b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC勺直角边AC所在直线与a, b都垂直，斜边 AB以直线Ag旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB与a成60°角时，AB与

6、b成30°角；当直线 AB与a成60°角时，AB与b成60°角；直线AB与a所成角的最小值为 45。；直线AB与a所成角的最小值为 60。；其中正确的是。(填写所有正确结论的编号)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。17 . (12 分) ABCW内角 A B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 sin A+J3 cosA=0, a=2j7,b=2.（1）求 c；（2）设D为BC边上一点，且ADj_ AC,求ABD勺

7、面积.18. （12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶6元, 未售出的酸奶降价处理， 以每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验， 每天需求 量与当天最高气温（单位：C）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20, 25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于 20,需求量为200瓶.为 了确定六月份的订购计划， 统计了前三年六月份各天的最高气温数据， 得下面的频数分布表：最高气温10 , 15)15 , 20)20 , 25)25 , 30)30 , 35)35 , 40)天数216362574以最高气温位于各区

8、间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时， Y的数学期望达到最大值？19. （12 分）如图，四面体 ABCDK ABC是正三角形，ACD直角三角形，/ABB/CBD AB=BD（1）证明：平面 ACDL平面ABC（2）过AC的平面交BD于点E,若平面AEG巴四面体ABC盼成体积相等的两部分，求 二面角D-AE- C的余弦值.20. （12 分）已知抛物线 C: y2=2x,过点（2,0）的直线l交C与A, B两点，圆M是以线段AB

9、为直径 的圆.（1）证明：坐标原点 O在圆M上；(2)设圆M过点P (4, -2),求直线l与圆M的方程.21. (12 分)已知函数 f (x) = x - 1 - aln x.(1)若f(x)之0，求a的值；1 11，、一一，(2)设m为整数，且对于任息正整数n, (1 + - )(1 +) | (1 + 一)<簿求m的取小2 222n值.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。22 .选彳4- 4:坐标系与参数方程(10分)x = 2+t,在直角坐标系xOy中，直线11的参数万程为W(t为参数)，直线12的参数万y =kt,x

10、 - -2 m,程为m m(m为参数).设11与12的交点为P,当k变化时，P的轨迹为曲线 C.y:(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 13： p (cos 0 +sin0)- j5=0, M为13与C的交点，求 M的极径.23 .选彳4- 5:不等式选讲(10分)已知函数 f (x) = x+1 - | x - 2 .(1)求不等式f (x) >1的解集；(2)若不等式f (x) >x2-x + m的解集非空，求 m的取值范围.绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题正式答案一、选择题1.B 2.C 3.A 4.C

11、 5.B 6.D7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A二、填空题13.-114.-8 15.-4，+16.三、解答题17.解：(1)由已知得 tanA= _6 所以 A=3在 ABC中，由余弦定理得28 =4 +c2 -4ccos,即 c2+2c-24=0 3解得c - -6(舍去)，c=4(2)有题设可得 / CAD= 土，所以 / BAD = N BAC 一 / CAD = 261 ABADSin -2 6 - 1故 ABD面积与 AC面积的比彳1为111 ACAD1又 ABC的面积为4 2 Sin . BAC = 23,所以二ABD勺面积为3.218 .解:(1)由题意知，

12、X所有的可能取值为 200,300,500 ,由表格数据知P X =200 =2 1690=0.236P X =300 = = 0.490 25 7 4= 0.4.P X =500 =90因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200 < nW 500当 300< nW 500时，若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间|2o, ,25 ),则丫=6X 300+2 (n-300) -4n=1200-2n;若最高气温低于 20,则 Y=6X200+2 (n-200) -4n=8

13、00-2n;因此 EY=2nX 0.4+ (1200-2n ) X 0.4+(800-2n) X 0.2=640-0.4n当 200 w n <300 时，若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于 20,则Y=6X200+2 (n-200) -4n=800-2n;因此 EY=2nX (0.4+0.4)+(800-2n) X 0.2=160+1.2n所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。19 .解:(1)由题设可得， ABD三ACBD,从而AD =DC又MCD是直角三角形，所以 ZACD =900取AC勺中点O,连接DO,BO,则DOL AC,DO

14、=AO又由于 9BC是正三角形，故 BO _L AC所以/DOB为二面角D AC B的平面角在 Rt AOB中，BO2 AO2 =AB2又AB =BD,所以BO2 +DO2 =BO2 +AO2 =AB2 =BD2,故/DOB=90所以平面ACD，平面ABC(2)由题设及(1)知，oa ob od两两垂直，以o为坐标原点,OA的方向为x轴正方向,为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A1,0,0), B(0#0), C(-1,0,0),皿0,1)1由题设知，四面体 ABCE的体积为四面体 ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D21到平面ABC的距离的-2,即E为DB的中点，

15、得E%,I 2 2；AD =(1,0,1 ),AC =(2,0,0 ),AE =U 八 -x z=0设n = (x,y,z )是平面DAE的法向量，则一一即 31AE = 0,-x y z = 022可取n =m AC =0设m是平面AEC的法向量，则 J 同理可得 m =(0,-1,73)mL AE =0,贝U cos n,m = nm = 7 n 1m 7、7所以二面角D-AE-C的余弦值为720 .解(1)设 A(x1,y1 )B (x2,y2 ),l : x =my +2x my 22由? 2 可得 y 2my-4 =0，则 y1y2 =-4y =2x222又为二汉)2 =旦，故xx2

16、= y1y2=42，2，4因此OA的斜率与OB的斜率之积为 丸上="1Xi x24所以OAL OB故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得 y1+y2=2m,x1+X2=m(y1+y2 )+4=2m2+4故圆心M的坐标为(m2+2, m ),圆M的半径r=J(m2+2) +m2由于圆M过点P (4, -2),因此 APLBP=0,故(Xi -4*2-4)+(%+2X yz+2)=0即 x1x2 -4 x1 +x2y1y2 2 y1 y220 =0由(1)可得 y1y2=-4, xiX2=4,一 21所以 2m -m -1 =0 ,解得 m = 1或m =.2当m=1时，直线l的方程为

17、x-y-2=0 ,圆心M的坐标为（3,1 ）,圆M的半径为屈,圆M22的方程为x-3 y -1=10t 1当m = 2时，直线的方程为2x + y4 = 0,圆心M的坐标为22,859185,圆M的方程为 x | + y+_|=一447 21621.解：(1) f(X)的定义域为(0,+七)1)1八若aM0,因为f =- -+aln 2<0 ,所以不满足题意；02a x -a(a产)时，是f ( x)在右 a>0 ,由 f'(x )=1 =知，当 xw(0,a)时，f' (x 尸0；当 xX xf'(x )>0 ,所以f(x)在(0,a)单调递减，在(

18、a,+=c)单调递增，故x=ax W (0,+°0 )的唯一最小值点.由于f (1 ) = 0,所以当且仅当 a=1时，f(x卢0.故a=1(2)由(1)知当 x w (1,+g)时，x -1 -ln x>0令x=1+得ln '1 + 4；，从而2n2n2n.,1 , , d , 1 ,dl 1 1_1.11 _d 1,In . 1 + + In . 1+-r + "+In . 1+-r_ + + ,1 , + =1 -< 12222n2 222n 2n故 H + 1 l111+4-'1+ l<e2 . 222n.111而1+- I 1+下I 1+丁 |>2 ,所以m的最小值为3.2 . 22 . 2322.解:的普通方程(1)消去参数t得l 1的普通方程l1