2019中考数学专题复习之作图问题(附答案详解)

1、2019中考数学专题复习之作图问题(附答案详解)类型1尺规作图1.在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺 规作图过程：已知：直线1和1外一点P.尸.ars-1/求作：直线1的垂线，使它经过点p.作法：如图：(1)在直线1上任取两点A、B;(2)分别以点A、B为圆心，AP, BP长为半径画弧，两弧相交于点 Q;(3)作直线PQ.参考以上材料作图的方法，解决以下问题：(1)以上材料作图的依据是：(2)已知：直线1和1外一点P.求作：O P,使它与直线1相切.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹 用黑色签字笔描黑)解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条

2、线段的垂直平分线上(2)如图。P即为所求.2 .如图，MN是。的直径，MN=4,点A在。0上，/ AMN = 30 °, B为AN的中点,P是直径 MN上一动点.(1)利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置(不写作法，但要彳留作图痕迹 ).(2)求PA+PB的最小值.解：(1)如图1所示，点P即为所求；(2)由(1)可知，PA+PB的最小值即为 A' B的长，连接OA'、OB、OA , 二 A'点为点A关 直线 MN 的对称点，/ AMN =30°, ./AON=/A' ONk 2Z AMN =2X 30 =60°,又 B

3、为AN 的中点，AB = BN , BON =/AOB =；/AON = 30°, . / A' OB= 60 +30 =90°, 又MN=4, . OA =OB = 1MN =1X 4=2.在 RtA' O珅,A'卜 2庐 . PA+PB 的最 小值为2 2.3 .如图，已知 ABC , /B = 40°.(1)在图中，用尺规作出 ABC的内切圆O,并标出。O与边AB , BC, AC的切点D, E, F(保留痕迹，不必写作法)；(2)连接EF, DF,求/ EFD的度数.解：(1)如图1,。即为所求., / B =4.小明在“课外新世界

4、”中遇到这样一道题：如图1,已知/ AOB = 30°与线段a,你(2)如图 2,连接 OD, OE, ODXAB , OE± BC, . . / ODB = Z OEB =90°, 40 °, ./ DOE = 140 °, . EFD = 70 °.能作出边长为a的等边三角形 COD吗？小明的做法是：如图 2,以。为圆心，线段a为 半径画弧，分别交 OA, OB于点M, N,在弧MN上任取一点P,以点M为圆心，MP为 半径画弧，交弧 CD于点C,同理以点N为圆心，NP为半径画弧，交弧 CD于点D,连结 CD,即 COD就是所求的等

5、边三角形.（1）请写出小明这种做法的理由；（2）在此基础上请你作如下操作和探究（如图3）:连结MN ,MN是否平行于CD?为什么?点P在什么位置时，MN /CD?请用小明的作图方法在图1中作出图形（不写作法,保留作图痕迹）.解：(1)如图 2,连结 OP,由题意可得 MC = MP, ./ COM =Z POM, PN= Dn,/ PON=/ DON , / POM + / PON = / COM + / DON = 30° ,/ COD = 2/ MON = 60° , . OCD是等边三角形；(2)不一定，只有当/ COM = 15°, CD / MN ,理由

6、：COM = 15°, / MON =30°, CON = 45°, / C=60°, OEC = 75°, . ON = OM, . . / ONM=Z OMN =75°,OEC = Z ONM , . CD / MN ; (3)当 P 是MN 的中点时，MN / CD;如 图3所示.类型2网格作图和其他5.如图，在网格（每个小正方形的边长均为 1）中选取9个格点（格线的交点称为格点）, 如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（B ）A. 2由<<折 B.V17<r&l

7、t;3V2C.而<r<5 D. 5<r<V29解：给各点标上字母，如图所示. AB=0+22 =2y/2, AC=AD =442+12 =-17, AE =232+ 32 = 3® AF =752+ 22 =09, AG=AM =AN =-42+ 32 = 5, ,甲7 v r V 3/2 时, 除点A外恰好有3个在圆内.6 .我们约定，若一个三角形 （记为 Ai）是由另一个三角形（记为4A）通过一次平移，或 绕其任一边的中点旋转 180°得到的，则称 Ai是由 A复制的.以下的操作中每一个三角 形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去.如图 1,

8、由 A复制出 Ai,又由 Ai 复制出 A2,再由 A2复制出4 A3,形成了一个大三角形，记作 B.以下各题中的复制均 是由 A开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形（指与 A全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠.（1）图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现 AsB,其相似比为1 : 2 .在图1的基础上继续复制下去得到C,若 C的一条边上恰有11个小三角形（指有一条边在该边上的小三角形），则 C中含有 121个小三角形;（2）若4 A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是正三角形或正六边形 ;（3）请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图 2的方框内画出草图，

9、并仿 照图1作出标记.解析：（1）A A1是经过旋转所得， A1-A A2是经过旋转所得， A2 4A3是经 过平移所得.由于 B是由4个 A组成，因此Sab = 4Saa,因此相似比为 2： 1.当AC的 一条边上有11个小三角形时，那么它们的相似比为 11 ： 1,面积比121 ： 1,即AC中有121 个这样的小三角形；故答案为： 1 ： 2, 121.（2）正三角形或正六边形.（3）如图.7 .阅读理解:如图，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC,可以把四边形 ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点E叫做四边形 ABC

10、D的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题：(1)如图，/ A = /B = /DEC = 55°,试判断点 E是否是四边形 ABCD的边AB上的 相似点，并说明理由；(2)如图，在矩形ABCD中，AB = 5, BC=2,且A, B, C, D四点均在正方形网格(网 格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点 )上，试在图中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点 E;拓展探究：(3)如图，将矩形 ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是 四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究 AB和BC的数量关系.解：(1)点E是四边形 ABCD的边AB上的相似点.理由：,一/A = 55°,ADE+/DEA =125° , / DEC = 55° ,/ BEC + / DEA = 125° ,，/ ADE = / BEC./ A = / B ,.ADEsBEC. .点E是四边形 ABCD的AB边上的相似点.(2)如图如下：(3)二,点E是四边形 ABCD的边AB上的一个强相似点，. AEMBCEA ECM , ./ BCE = /ECM =