2010～2019十年高考文科数学分类汇编专题六数列第十五讲等差数列及答案

1、专题六数列第十五讲等差数列2019 年1 .（2019全国I文18）记Sn为等差数列&的前n项和，已知S9 = a5.若a3 = 4，求an的通项公式；（2）若a1 >0,求使得Sn之an的n的取值范围.2 .（2019全国出文14）记S为等差数列an的前n项和若a3 =5,a7 =13，则S10 =.3 .（2019天津文18）设an是等差数列，bn 是等比数列，公比大于0 ,已知 a1 = b1 = 3, b2 = a3 , b3 = 4a2 3 .（I ）求Ln 和bn 的通项公式；1,n为奇数，*（10 设数列g满足 Cn = %n为偶数求 a£ +a2C2+I

2、H + a2nC2n g N* ）.n,*.4.（2019江苏8）已知数列 an（ n u N ）是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5 +% =0,S9 =27，则 Sg 的值是.2010-2018 年一、选择题1 .（2017浙江）已知等差数列 In的公差为d，前n项和为Sn，则“ d A0”是 “ S4+S6 A2S5” 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2 .（2015新课标2）设Sn是数列an的前n项和，若a1+a3+a5 =3，则S5 =A.5B.7C.9D.123.（2015新课标1）已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和

3、若S8=4S4,则aio =17A.219B.2C.10D.12A.15B.12 C.二 D. 一 .；44.（2014辽宁）设等差数列an的公差为d,若数列2a1an为递减数列，则A. d ： 0 B. d 0 C. a1d < 0 D. a1d05 .（2014福建）等差数列an的前n项和Sn,若阚=2,& =12，则a6 =A.8B.10C.12D.146 .（2014重庆）在等差数列an中，a=2,a3 +a5 =10，则a7 =A. 5 B.8 C.10 D. 147 .（2013新课标1）设等差数列an的前n项和为Sn，Sm= 2,Sm =0,Sm书=3,则m =A.

4、3B.4C.5D.68 .（2013辽宁）下面是关于公差d>0的等差数列an的四个命题：R :数列an是递增数列；P2:数列nan是递增数列；P3:数列 国I是递增数列；P4:数列 值+3nd是递增数列；n其中的真命题为A. P1,P2B.P3,P4C. P2,P3D.P1,P49 .（2012福建）等差数列an中，a1+a5 =10,a4 =7，则数列an的公差为A.1B.2C.3D.410 .（2012辽宁）在等差数列 Qn 中，已知a4+%=16，则该数列前11项和S11二A.58B.88C.143D.17611 .（2011江西）设an为等差数列，公差d =-2,Sn为其前n项和

5、，若S10 = S11，则a=A.18B.20C.22D.2412 .（2011安徽）若数列Qn的通项公式是an =（1）n（3n 2）,则a1+a2+HI+a10 =13 .（2011天津）已知an为等差数列 淇公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项，&为an的前n项和，n w N* ,则S。的值为A. 110B.-90C.90D.110214 .（2010安徽）设数列an的前n项和Sn = n，则a8的值为A.15B.16C.49D.64二、填空题15 .（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为16 .（2014 北京）若等差数列

6、an满足 a7 +a8 +a9 >0 , a7 +a10 <0,则当 n=时，an的前n项和最大.17 .（2014江西）在等差数列 也口中，a1二7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n = 8时Sn取最 大值，则d的取值范围.18 .（2013新课标2）等差数列an的前n项和为Sn，已知S10= 0,S15= 25，则nSn的最小值为19 .（2013广东）在等差数列 匕中，已知a3 + a8 =1。，则3a5 +a? =.1 一 一20 .（2012北乐）已知an为等差数列，Sn为其前n项和.若a1 = ，S2 = a3,则a2 =;2Sn =.21 .（2012江西）设数列

7、an, bn都是等差数列，若a1 +n =7,a3+b3=21,贝 U a5 + b5 =.22 .（2012广东）已知递增的等差数列an满足a =1,a3 =a2 4，则an =.23 .（2011广东）等差数列an前9项的和等于 前4项的和.若a1 =1 , ak+a4 =0，则k =.三、解答题24.（2018全国卷n MSSn为等差数列an的前n项和，已知a1 = 一7$3 = -15.（1）求an的通项公式;(2)求Sn，并求Sn的最小值.25.(2018 北京)设an是等差数列，且 a1 =ln 2,a2 +a3 =5ln 2.(1)求%的通项公式；(2)求 ea1 +ea2 +|

8、 | + ean. . _ _ 、 . . . _ . _ *_ _ . 26.(2017天津)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nW N ),>是首项为2的等比数列，且公比大于 0,b2 b3 =12,b3 =a4 -2ai,Sii =11b4.(I )求an和bn的通项公式;* .(n)求数列a2nbn的刖n项和(n = N ).27.(2017江苏)对于给定白正整数 k，若数列 an满足anA an 上 1 一一an 1 - an 1an kJ an k = 2kan对任意正整数n (n >k)总成立，则称数列an是P(k)数列”.证明：等差数列an是P(3)数列”；(2)

9、若数列 an既是P(2)数列“，又是P(3)数列”，证明：an是等差数列.28.(2016年北京)已知an是等差数列，bn是等差数列，且b2=3,b3=9,a1 =b，a14=b4.(I )求an的通项公式;(n )设Cn =an +bn，求数列Cn的前n项和.29.(2016年山东)已知数列an的前n项和Sn =3n2+8n ,bn是等差数列，且an = bn + bn书.(I)求数列bn 的通项公式;(II)令 Cn = (an-)-n-.求数列cn 的前 n 项和 Tn .n(bn2)n30.(2015 福建)等差数列an 中，a2 =4 ,a4 +a7 =15.(I )求数列an 的通

10、项公式;(n)设 b =2an, +n，求“ +b2 +b + +6。的值.31.(2015山东)已知数列an是首项为正数的等差数列n.2n 1(I )求数列an的通项公式；a 一(n)设bn =(an+1) -2n,求数列bn的前n项和Tn，数列an an .1的前n项和为32.(2015北京)已知等差数列an满足a1 +a2 =10,a4 a3 =2.(I )求2门的通项公式；(n )设等比数列bn满足b2 = a3 h =a7.问:b6与数列an的第几项相等？33.(2014新课标1)已知 匕是递增的等差数列，a2,a4是方程x25x + 6 = 0的根.(I )求Qn的通项公式；a(n

11、)求数列ian b的前n项和.2n34.(2014新课标1)已知数列 an的前n项和为Sn,a=1,an ¥0,anan+ =，uSn-1,其中九为常数.(I )证明：anq2 -an =九；(n )是否存在 九，使得 an为等差数列？并说明理由35.(2014浙江)已知等差数列an的公差d >0，设an的前n项和为Sn，a1 =1, S2 £ =36(1)求及&；(n)求m,k(m,k = N )的值，使得am +am由+am七+川+am卡=65.36.(2013新课标1)已知等差数列an的前n项和Sn满足& =0£ = 5.(I )求an

12、的通项公式；1(n )求数列的刖n项和.a2 na2n 137.(2013福建)已知等差数列an的公差d =1,前n项和为Sn.(I )若1,4自成等比数列，求ai ；(n)若S5 >aia9,求ai的取值范围.38.(2013新课标2)已知等差数列an的公差不为零，a1=25，且s1,a11a3成等比数列.(I )求2口的通项公式；(n)求 ai +a4+a7 + +a3nz39.(2013山东)设等差数列an的前n项和为Sn,且S4 =4S2,a2n =2an+1(I )求数列an的通项公式；(n)设数列bn的前n项和Tn,且丁口+告匚二入为常数),令Cn =b2n (nW N *)

13、.求数列6 的前n项和Rn .40.(2011福建)已知等差数列an中，a=1,a3 = 3.(i )求数列an的通项公式；(n )若数列4 的前k项和Sk = -35，求k的值.41.(2010浙江)设a1，d为实数，首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足35 s6+15=0.(1)若$5=5,求56及4；(n )求d的取值范围.26专题六数列第十五讲等差数列答案部分1 .解析设4 的公差为d.由 S9 = 25得 a1 +4d = 0.由 a3=4 得 a +2d =4.于是 a1 = 8, d = -2.因此 匕的通项公式为an=102n.(2)由得 ai = -4d，

14、故 an =(n -5)d, Sn = n(n 9)d .2由 ai >0知 d <0,故5/一小等价于 n211n+1Q 0,解得 1WnW10.所以n的取值范围是n|1Jg!|n 10, n N.，d = a7 _ a3 = 13 -5 = 22 .解析在等差数列匕/中，由a3=5, a7 =13，得一 7-3 一 4 一10 9S10 =10 1 2 =100所以 a1 =a32d =54 =1则23q =3 2d 3q2 =15 4d3 .解析(I )设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q依题意，得d = 3，解得 «，故 an =3+3(n-1) =

15、3n , bn = 3父3=3 .q =3所以，为的通项公式为an=3n(nw N" ), 如的通项公式 为bn=3n(nw N*).(n)a£ +a20 +十 a2nC2n=a1a3a5a2n 4a2b1a4b2a6b3"Ia2nbn=n 3 n(n .1)66 31 12 32 18 33 . 6n 3n一2= 3n2 6 1 31 2 32111n 3n_1_2_n _Tn =1x3 +2x3 +十 nx3 .3Tn =1父32 +2 m33 +HI +M33+-得，2Tn =332 33 一3n+nx3n* = 3°-3)+n - 3川=(2n

16、-1)3 +31 -32n 1故Tn"334n ；122 2n 1 33,a© a2c2 川a2nQn =3n6Tn =3n 3 2(2n -1)3n 2 6n2 924.解析 设等差数列an的首项为a1，公差为d ,(ai d)(a 4d) a 7d =0 力 _ «a15则9 M 8，解得1 19al d =27d = 228 7d 所以 S8 =8a1 =6 (-5) 15 2 =16.22010-2018 年1.C【解析】(0S5)(S5S4)=a6a5=d,当 d>0,可得 S4+S6A 2s5；当S4+S6 a2S5,可彳导d >0.所以“

17、 d >0”是“ S4+& a2s5”充分必要条件，选C.5 a1a52.A【解析】 ai *a3 *a5 - 3a3 =3= a3 1, S5 = 5a3 5 .故选 A.23.B【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d ,由题设知d=1,S8=4S4,所以八 _, 一 1-1八198a1 +28 = 4(4a1 +6)，解得 a1 = 一，所以 a10 =- +9 = 一. 2224 .C【解析】二,数列2，为为递减数列，aan =aa1+(n-1)d = adn+aI(a1-d),等式右边为关于n的一次函数，a1d <0.5 .C【解析】 设等差数列an的公差为d

18、,则&=3ai+3d,所以12 = 3M2 + 3d,解得d = 2, 所以a6 =12.6 .B【解析】由等差数列的性质得a1+a7=a3+a5，因为a1=2,a3+ a5=10，所以a7 = 8 ,选B.7.C【解析】有题意知 Sm = -2 =0, a 二 am = (Sm - Sm)=2, am += Sm 卅-Sm =3,.公差 d =am-am=1,-3= am+ = 2 + m,.1. m =5,故选 C.8.D【解析】设an =a1十(n1)d =dn+m,所以p1正确；如果an=3n12 则满足已知，但nan =3n2 -12n并非递增所以p?错；如果若 %=n+1,

19、则满足已知，但电=1十）， n n是递减数列，所以p3错；an+3nd =4dn + m ,所以是递增数列，p4正确.9.B【解析】由题意有 a1 +a5 =2a3 =10 ,a3 =5，又= a4 =7，.二 a4 -a3 =2,，d =2.11 I a1+a11 I10.B【解析】a4+a8=2a6 = 16. a6=8，而 S|1=/=11a6=88，故选 B.211.B【解析】由 S10 =S11，得a11 =S11 S10 =0,a1 =a11 (1 -11)d -0 (-10) (2)=20.1012.A【解析】a1 +a2 + + a10 =-1+4-7+10+(-1) <

20、310-2)三(-1 4) (-7 10) (-1)9 (3 9-2) (-1)10 (3 10-2) 15.13.D【解析】因为 a7是a3与a9的等比中项，所以a2 =a3a9,又数列%的公差为-2,所以2(a1 -12)= -4)(切 - 16),解得 a1 =20，故 an =20 (n-1) (-2) = 22-2n,所以 S10 =10aa0) =5 (20 2)=110. 214.A【解析】a8 =S8S7 =6449 =15.15.5【解析】设该数列的首项为a1,由等差数列的性质知 a1 +2015 =1010,2所以 a1 =2020 -2015 =5.16.8【解析】数列4

21、是等差数列，且az W=&80,a8 A0.又a7十a10 =a8 +a9 <0 ,/. a9 <0 .当n =8时淇前n项和最大.d ：二 017.(-1,-7)【解析】由题意可知，当且仅当n = 8时Sn取最大值，可得 匕8>0,8八a9 ：二 0解得 _1 ：: d ：: 7-.818.-49【解析】设an的首项为ai,公差d ,由S10 =0,Si5=25,132n -10n ,32al 9d =02得乙 C一 广，解得 a1 =3,d =，. nSn 3a1 21d =53132,220设 f n =1n310n2, f n = n2- 20n,.20 .*

22、时 f n ：0，当 n 一, f 门|，0,由门 N , 3. 一一 13当 n=6时，f 6 = 63 10x36 = -4831当 n=7时，f n = 7310M72 = -493，n = 7时,nSn取得最小值-49.19.20【解析】 依题意2a1 +9d =10，所以 3a5 a7 = 3 a 4d a 6d = 4a118d = 20.或：3a5 a7 =2 a3 aB =20n(n 1)1120.1,【斛析】 设公差为d,则2al+d = a1+2d，把a1 = 一代入得=一，4221 ，、a2 =1,Sn= n(n 1) 41.35 5【解析】(解法一)因为数列an, bn

23、都是等差数列，所以数列an + bn也是等差数列故由等差中项的性质 相(as+b5 )+(&+bi )=2(%+b3),即(a5 +b )+7 =2父21，解得 a5 +b5 =35.(解法二)设数列an, bn的公差分别为dnd2,因为 a3b3-(a12d1)(b12d2) =(a1bi)2(d1d2)-72(d1d2) -21所以 d1 d2 =7 所以 a5 b5 =(a3 b3) 2(d1 d2) =35.22 一22.an=2n1【解析】a1 =1,a3 =a24u 1+2d=(1+d) -4= d = 2 ：= an = 2n -1.乂, ,，八 八r八,98.43d,所

24、以1.36 0【解析】设an的公差为d ,由S9 =S4及4 =1得9x1+ d =4x1+,1一 八 ,、，11、， Cd =又 ak +包=0,所以1+(k -1)X() +1+(4 _1)M(_) = 0, 666即 k -10.24 .【解析】(1)设an的公差为d,由题意得3al +3d =15.由 a1 = _7得d =2.所以an的通项公式为an=2n9.一一 2 一一 2 一(2)由(1)得 Sn=n 8n =(n-4) 16.所以当n = 4时，Sn取得最小值，最小值为-16.25 .【解析】(1)设等差数列an的公差为d ,a? ' a3 = 5ln 2 , 2al

25、3d = 5ln 2 ,又 a =ln 2 ,. d =ln 2.an = a1 (n -1)d = n In 2 .(2)由(1)知 an =nln 2,. annln 2In 2nn e =e e =2 ,ean是以2为首项,2为公比的等比数列. ea1ea2|H ean =eln2 eln22 川 e1n2n=2 22 III 2n =2n 1 -2. ea1 +ea2 +|+ean =2n41 -2.26 .【解析】(i)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知 b2 +b3=12，得 b(q +q2)=12,而 b1 =2,所以 q2+q6=0.又因为q .0,解得q

26、 =2.所以，bn =2n.由 b3 =a4 2a1，可彳#3d -a, =8.由 §1 =11b4 M得 a1 +5d =16，联立，解得ai =1,d =3,由此可得an =3n2.所以，an的通项公式为an =3n2,bn的通项公式为bn = 2n.(n)解：设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n =6n2,有 23nTn =4 2 10 216 2 HI (6n -2) 2 ,2Tn =4x22 +10X23 +16 父24 +|+(6n -8p<2n +(6n2)x2n卡，上述两式相减，得-Tn =4 2 6 22 6 23 | 6 2n-(6n-2) 2n 1J

27、2 (1 -2 ) -4 -(6n -2) 2n 1 =(3n -4)2n 2 -16. 1 -2得Tn =(3n -4)2n 2 16.n 2所以，数列a2nbn的前n项和为(3n-4)2.+16.27 .【解析】证明：(1)因为an)是等差数列，设其公差为d，则an =a +(n1)d ,从而，当 n>4时，an+an十二a + (n k 1)d +a +(n + k 1)d= 2a1 2(n -1)d -2an ,k =1,2,3,所以 anJ3 , anN+an1+an 1 , an 2+an 3 =%，因此等差数列Qn)是“ P(3)数列”.(2)数列Ln既是“ P(2)数列”

28、，又是“ P(3)数列”，因此，当 n 之 3 时，an/ +an+an 4 +anH2 =4an，当 n 2 4 时，an J3 +an J2 + an+ an 书 + an 七 + an 书6an .由知，an4 +an;=4an(an +an+),an 22 +an_3 4an+ (品+品)，将代入，得an+an孑 =2an，其中n至4,所以a3,a4,a5|是等差数列，设其公差为d'.在中，取 n = 4,则 a2 +a3 +a5 +a6 =4a4，所以 a2 = a3 -d'在中，取 n =3,则 ai +a2 +a4+a5 =4a3,所以 a = a2 - 2d 所

29、以数列a。是等差数列.28 .【解析】(I)等比数列 的公比q=b3=9=3，所以b, =b2=1,b4=b3q = 27.b23q设等差数列an的公差为d.因为 a1 =b1 -1,a14 =b4 =27，所以 1 13d =27，即 d =2.所以 an = 2n -1( n =1,2,3,).n 1 (II)由(I)知，an =2n -1,bn =3 .因此Cn =an +bn = 2n 1 + 3n.从而数列cn的前n项和Sn =1 3 2n -1133nln 1 2n -11 -3n 2 3n -1二二 n -.21 -3229 .【解析】(I)由题意当n之2时，an =Sn-Sn=

30、6n+5,a = bI + b2©2 = b2 + h当n=1时,a1 =G =11 ；所以an =6n+5;设数列的公差为 d ,11 =2b1 +d，即，解之得b1 = 4, d = 3 ,所以bn = 3n +1.17 = 2b +3d(6n 6尸n,(n )由(I )知 Cn = - =3(n+1) 2 ，又 Tn = C1 +C2 +C3 + 十 Cn ,(3n 3)n即Tn =32 22 3 23 4 24(n 1)2n 1,所以2Tn =32 23 3 24 4 25 . (n 1)2n -,以上两式两边相减得-Tn =32 22 23 242n 1 -(n 1)2n

31、24(2 - 1)n 2n 2= 34 -(n 1)2 - -3n 2.2-1所以 Tn =3n 2n 2 .30 .【解析】(I)设等差数列4 的公差为d .，一.a d =44 =3由已知得1+3d)+(a-6d尸15,解得fd”所以 an = a1，i n -1 d = n 2.(n)由(i)可得 bn =2n 十 n,所以 b1 +b2 +b3 + +b10 =(2 +1) = (22 +2) =(23 + 3) +(210 +10)2310、=(2 +2 +2 + +2 )+(1+2+3+10)_102(12)(1 10) 101111=-() ()=(2 -2) 55 =253 =

32、2101.1 -2231.【解析】（I）设数列an的公差为d ,令 n = 1,得二,所以 a1a2 = 3 . a1a23112令 n = 2,得+=一，所以 a2a3 15.a1a2 a2a35解得 a1 =1,d =2,所以 an =2n1.(n)由(I )知4 =2n 222 =n 4n,所以 T =1 41 +2 42+. + n 4n,一一.23nn 1所以 4Tn=1 42 4- . (n-1)4 n4 ,两式相减得-3Tn -4142 .4n- n4n14(1-4n)ji 1 -3n ,ni 4二n 4 二4-,1 -433n 1所以 Tn =配二！M4n由 +4 =4+(3n

33、 -1) 499932 .【解析】(I)设等差数列 瓜的公差为d .因为a4 -a3 = 2，所以d = 2.又因为 a1 +a2 =10，所以 2a1 +d =10，故 a1 =4.所以 an =4 2(n_1)=2n 2(n=1,2,|H).(n)设等比数列注的公比为q .因为d =a3 =8心=a7 =16 , 所以 q =2,b1 =4.所以 b6 =4x26- =128.由128= 2n+2得n =63.所以b6与数列an的第63项相等.一”.一、一 233 .【解析】（1）方程* 5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.设数列an的公差为d，则a4 -a2 = 2d

34、,故d =-,从而a1 =-, 221所以an的通项公式为an= n+1.nn 2岁,则aa（11）设拳）的刖n项和为Sn,由（i）知才34. n 1 n 2S =- -n22232n2 n 1 ，1 34n1n 22 n2324 2n12 n 2.两式相减得1S=3(1. X), 20n4(23.2n 1)n 4所以Sn =2-*2n 23 1 =(14 42)-，34 .【解析】（I ）由题设，2门2门由=九Sn -1自物门亚=&&由一1.两式相减得 an 1 (an 2 -a) - an 1.由于 an .1 =0,所以 4 2 - an = 1.(n)由题设,a1 =1

35、, a1a2 =-1，可得 a2 二九一1.由(i )知，a3 =K +1.令 2a2 = a1 . a3，解得'=4.故an 2 -an =4,由此可得a2n4）是首项为1,公差为4的等差数列，a2n=4n3；匕20是首项为3,公差为4的等差数列，a2n =4n1.所以 an = 2n - 1, an j - an =2.因此存在九=4,使得数列an为等差数列35 .【解析】(I)由题意,(2a1 +d)(3a1 +3d) =36,将a1 =1代入上式得d = 2或d = 5,因为 d A0,所以 d =2从而 an = 2n1,Sn =n2(nw N”).(n)由(i )知，an

36、+an+ +- '+an# =(2m+k -1)(k+1),所以(2m k -1)(k 1) =65,由 m, k w N冲知，(2m +k -1)(k + 1) >1,2m+k1 =13，所以 k+1 =536.【解析】（i ）设an的公差为d，则Sn = na1 + n（n 1） d 。 n23a1 3d =0,义如曰f斛行a =1,d =-1由已知可信 5a1 10d - -5,故aj的通项公式为an=2-n.11(n )由(i)知=a2n 4a2n 1(3 -2n)(1 -2n)从而数列 11一的前n项和为-(-1 + 1-1+| + - -)=n- a2n 4a2n 12-11 13 2