2018年辽宁省沈阳市高考高三数学一模试卷及解析高三理科数学

1、2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1 .（5分）若i是虚数单位，则复数生小的实部与虚部之积为（1+i2 .（5分）设集合 A= x|x> 1,B= x|2x> 1,则（A.AC B=x|x>0B.AU B=R C.AU B= x| x>0D.AA B=?3 .（5分）命题 若xy= 0,则x=0”的逆否命题是（）A.若 xy= 0,则 xw0 B.若 xyw0,则 xw0 C若 xyw0,则 yw0 D若 xw0,则 xyw04 .（5分）已知一个算法的

2、程序框图如图所示，当输出的结果为0时,输入的x的值 为（）A.- 3 B.-3 或 9 C.3或-9 D.-9 或-35 .（5分）刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是中 国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率砥理论上能把 冗的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取 一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A.B： C.D.6 .（5分）如图所示，网络纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（AB.C2K+3y-3407 .（5分）设x、y满足约束条件, 2丁393>0,则的最大

3、值是（ y+3>02A. - 15 B.-9 C.1 D.98 .（5分）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置 则共有（）种不同的站法.A.4 B.8 C.12D.249 .（5分）函数y = sin2x+2sinxcos奸3cos2x在xE （Oi 工）的单调递增区间是（2a；。一看=2210 .（5分）已知双曲线号-b>0）的一条渐近线与圆（x-4） 2+y2 = 4 a2 b2相切，则该双曲线的离心率为（）A.2 B. - C.三 D.：32an中，若 a=2，且 a1？a5=64，则数列D.2n-l11 .（5分）在各项都为正数的等比数列匕忌k的

4、前n项和是（A. - B.' C.'2n 1 -12n+l 2n+l12 .（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x + 2） =f（2-x），当xC -2,0 时,f6）二（察尸T,若在区间（-2,6）内关于x的方程f（x） - loga（x+ 2） =0（a>0且aw1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（）A.彳，B.（1,4） C.（1,8 D.（8,+ 8）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13 .（5分）已知随机变量 1N（1,），若P（卜3） =0.2,则P（登-1） =.14 .（5分）在推导等差数列

5、前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可 求得 sin21 + sin22 + + sin289 =.15 .（5分）已知正三角形 AOB（O为坐标原点）的顶点 A、B在抛物线y2=3x上, 则 AOB的边长是.16 .（5分）已知 ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P为平面 ABC内一点，则而“再+正）的最小值是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题 为必考题，每个试题考生都必须作答.第2Z23题为选考题，考生根据要求作答.（一） 必考题：共60分.17 .（12分）在 ABC中，已知内角 A,B,C对边分别是a,b,c,且2

6、ccosB= 2a+b.（I ）求/ C;（II）若a+b = 61ABC的面积为2泥,求c.18 .（12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD±平面ABCD底面ABCD是正 方形，且 PA= PD,/APD= 90°.（I）证明：平面PAB1平面PCD;（H）求二面角A-PB- C的余弦值.19 .（12分）高中生在被问及家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中感到最幸 福的场所在哪里？ ”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了 55人，从美 国某城市的高中生中随机抽取了 45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家 的占当 朋友聚集的地方占 二 个人

7、空间占,美国高中生答题情况是：家占 15555朋友聚集的地方占 乐 个人空间占 二为了考察高中生的 恋家（在家里感到最幸55福)”是否与国别有关，构建了如下2X2列联表.在豕里取辛福在其它场所幸福合计中国局中生美国局中生合计(I)请将2X2列联表补充完整；试判断能否有 95%的把握认为 恋家”与否与国 别有关；(R)从中国高中生的学生中以 是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取 了 5人,再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的 恋家”人数为X求随机变量X的分布列及期望.P(k2>k0)0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828附:2

8、=7 ,姆尹 7,其中 n = a+b + c+ d.(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)2220.(12分)设。为坐标原点，动点M在椭圆高-十一二1上，过M作x轴的垂线，垂足94为N,点P满足而二&丽 (I )求点P的轨迹方程E;(H)过F(1,0)的直线li与点P的轨迹交于A、B两点，过F(1Q作与li垂直的直线12与点P的轨迹交于G D两点,求证:.J-il|AB| 嗔为定值.21.(12分)已知 f(x) =ex-ax2-2x,a R.(I)求函数f(x)图象恒过的定点坐标；(H )若f(x) > - ax- 1恒成立，求a的值；(m)在(II)成立的条件下，证

9、明：f(x)存在唯一的极小值点xo,且-2<“不)<3.(二)选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所 做的第一题记分.选彳4-4:极坐标与参数方程22.(10分)设过原点。的直线与圆(x-4) 2+ y2= 16的一个交点为P,M点为线段 OP的中点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I )求点M的轨迹C的极坐标方程；(H)设点A的极坐标为(3, 2),点B在曲线C上，求4OAB面积的最大值.选彳4-5:不等式选讲23.已知 a>0,b>0,函数 f(x) = |x+a| - | x- b| .(I )当a=1,b=1时

10、，解关于x的不等式f(x) >1；(H)若函数f(x)的最大值为2,求证：LJ>2.a b2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1 .（5分）若i是虚数单位，则复数变也的实部与虚部之积为（1+iA.：B. C.4 4 12+3i-I+T2+3i1+i 故选：B.【试题解答】解：答=%禁号 的实部为,，虚部为，22的实部与虚部之积为：.42 .（5分）设集合 A= x|x> 1,B=x|2x> 1,则（）A.AA B=x|x>0 B.AU

11、 B=R C.AU B= x| x>0 D.AA【试题解答】解：集合A=x|x> 1,B= x| 2x> 1=x|x>0,则 AH B=x| x> 1;AU B=x|x>0.故选C.3 .（5分）命题 若xy= 0,则x=0”的逆否命题是（）A.若 xy= 0,则 xw0 B若 xyw0,则 xw0 C若 xyw0,则 yw0 D若 xw0,则 xyw0【试题解答】解：命题若p则q的逆否命题为：若q,则p,即命题的逆否命题为：若xw0,则xyw 0,故选：D4 .（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时,输入的x的值 为（）z*£

12、7,A.- 3 B.-3 或 9 C.3或-9 D.-9 或-3【试题解答】解：输出才结果为零，有y=0由程序框图可知，当：y=x- 8=0时，解得选x= - 3;当 y=2 log3x= 0,解得 x= 9.综上，有x= - 3,或者9.故选：B.5 .（5分）刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是中 国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率 砥理论上能把 冗的值计 算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取 一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（A.B二 I C. D. .【试题解答】解：如图所示，-W3R2.设圆的半径为R,则圆

13、的面积为 九2,圆内接正六边形的边长为R面积为6xlxR2XsiLs则所求的概率为P二告=禁.故选：B.B6 .（5分）如图所示，网络纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（【试题解答】解：由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径r = 2,高为2的 圆锥的一半，如图, 该几何体的体积为:2x+3y-3<07 .（5分）设x、y满足约束条件” 2K-3y+3>9,则的最大值是（）y+3>0A. - 15 B.-9 C.1 D.9r2x+3y-3<0【试题解答】解：作出x、y满足约束条件 2x-3y+3>0jH-3>0对

14、应的平面区域,由 Ex+y,得 y = xyXzz, w-w-平移直线y= - 一 x+ z, 2由图象可知当直线y=-_Lx+ z经过点A时, 2直线y= - ±x+ z的截距最大，此时z最大. 2由俨+3第-3:0,得 a（0,i）, 2x-3y+3=0此时z的最大值为z=Lx0+1 = 1, 2故选：A.8 .（5分）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置： 则共有（）种不同的站法.A.4 B.8 C.12D.24【试题解答】解：根据题意，分2步分析：，先从4个人里选1人，其位置不变，其他三人的都不在自己原来的位置，有C41 =4种选法,，对于剩余的三

15、人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种 站法,被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上,因此三个人调换有2种调换方法.故不同的调换方法有4X2 = 8,71-271的单调递增区间是（故选：B.9 .(5分)函数 y = sin2x+2sinxcos奸 3cos2x在kC (0,A. - 一 B.二二 C. .- D.44 上o【试题解答】解：函数y = sin2x + 2sinxcosx+ 3cos2x =上=生+ sin2x + 23?l+ss2K =2+sin2x+ cos2x2= 2+V2sin(2x+),4令2kL 三02x十三02k：t+ 三，求得kTt-&l

16、t;x<兀+ 匹，故函数的增区间为 24288k：t- ,k：t+ ,k Z.结合xE（0, 9）,可得增区间为（o噂, 故选：C.2210 .（5分）已知双曲线三-b>0）的一条渐近线与圆（x-4） 2+y2 = 4 a2 b2相切，则该双曲线的离心率为（）A.2 B C.三 D.：3222【试题解答】解：双曲线%-*1殳>0, b>0）的一条渐近线y=2工与圆（x-4）a2 b2a2 + y2=4 相切，if 可得：u=2, wy可得：2b = c，即 4b2= c2,所以 4c2- 4a2 = c2,解得 e = £=2g. a 3故选：B.11.(5分

17、)在各项都为正数的等比数列an中，若ai=2，且ai?a5=64,则数列匕-V）的前n项和是（储 n-1）（喂厂1）A. - B.C.-D.2n-l【试题解答】解：在各项都为正数的公比设为q的等比数歹1an中,2n 1 -1 2n+l 2n+l 右 a1 = 2，且 ai?a5 64, 贝 4q4 = 64，解得 q=2, 则 an=2n, 可得数列即为可得-;-7： （2-1）（21-1） 2n-l 2n+1 -1 数列七袅k的前n项和是1 p p - -H-1 2-1 22-122T 23-1 2n-l 2-1-1 ,2同T故选：A.12 .(5分)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f

18、(x + 2) =f(2-x)，当xC -2,0 时,f(x)=(乎)1t-1，若在区间(-2,6)内关于 x 的方程 f(x) - loga(x+ 2) =0(a>0 且aw1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是()A.B.(1,4) C.(1,8 D.(8,+ oo)【试题解答】解：二.对于任意的xCR,都有f(x-2) =f(2+x),.f(x+ 4) =f2+(x+ 2) =f(x+ 2) 2=f(x),函数f(x)是一个周期函数，且T= 4.又当xC - 2,0时,fG）二（返封口且函数f（x）是定义在R上的偶函数,2若在区间（-2,6）内关于x的方程f（x） - lo

19、ga（x+ 2） =0恰有4个不同的实数解， 则函数y= f（x）与y=loga（x+ 2） （a> 1）在区间（-2,6）上有四个不同的交点，如 下图所示：又 f（-2） =f（2） =f（6） =1,则对于函数y=loga（x+ 2）,由题意可得，当x= 6时的函数值小于1,即 lOga8< 1,由此解得：a> 8, .a的范围是（8,+ 8） 故选D.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13 .（5分）已知随机变量 1N（1,），若P（卜3） =0.2，则P（登-1） = 0.8 .【试题解答】解：随机变量阴艮从正态分布N（1,（2）,

20、曲线关于x=1对称，P（P3） =0.2,；P（m T） =P（卜3）, .P（守 T） =1-P（03） =1-0.2=08故答案为：0.814 .（5分）在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可 求得 sin21 + sin22 + + sin289 = 44.5 .【试题解答】解：设 S= sin210+sin22 + - + sin289°,则 S= sin289° + sin288°+ + sin21 °,两式倒序相加彳马：2S= (sin2r+sin289 ) + (sin22°+sin288°)

21、+ +(sin289°+ sin21 °)=(sin21 °+cos21 °) + (sin22° + cos22°) + +(sin289°+cosJ89°)= 89,ooS= 44.5.故答案为：44.5.15 .(5分)已知正三角形 AOB(O为坐标原点)的顶点 A、B在抛物线y2=3x上, 则 AOB的边长是 6国 .【试题解答】解：由抛物线的对称性可得/ AOx= 30°,_J返直线OA的方程为y=x,联立，厂3 1解得A(9,3).32H二3工 . | AO| =781+27 = 673.故答

22、案为：三.16.(5分)已知 ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P为平面 ABC内一点，则而“？§+衣)的最小值是-1 .【试题解答】解：以BC为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系， ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，斜边BO 2三则 A(0,&) ,B(- V2,0) ,C(/2,0),设 P(x,y),则向 十 同=2百=(-2x,-2y),P(-x,V2-y),. PA-(PB+rc) = 2x2+ 2y2 - 2Ry= 2x2+2(y-坐)2-1,。当x=0,y =返时，则瓦(瓦+五)取得最小值-1.21题 .()三、解答题：共7

23、0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17- 为必考题，每个试题考生都必须作答.第2Z23题为选考题，考生根据要求作答 必考题：共60分.17.(12分)在 ABC中，已知内角 A,B,C对边分别是a,b,c,且2ccosB= 2a+b.(I )求/ C;(II)若a+b = 61ABC的面积为 R5,求c.【试题解答】 解：(I)由正弓J定理得2sinCcosB= 2sinA+ sinB,又 sinA= sin(B+ C), . 2sinCcosB= 2sin(B+ C) + sinB,2sinCcosB= 2sinBcosO 2cosBsinC sinB,2sinBcosC si

24、nB= 0,(sinB> 0)，又 CC (0,C . . 九;(H)由面积公式可得S.mjc .ab£nC=2加，即正ab = 2日，4ab=8,c2= a2+ b2- 2abcosC= a2+ ab+ b2= (a+ b) 2- ab= 36 - 8 = 28,. 一.18.(12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD±平面ABCD底面ABCD是正 方形，且 PA= PD,/APD= 90°.(I)证明：平面PAB，平面PCQ(H)求二面角A-PB- C的余弦值.【试题解答】(I)证明：二.底面ABCD为正方形，.CD，AD.又平面PAD，平面

25、ABCDJCD，平面PAD.又AP?平面 PADJ CD，APv PD± AP,CD? PD= D/ AP,平面 PCD.AP?平面PABJ.平面PABL平面PCD(H)解：取AD的中点为O,BC的中点为Q,连接PO,OQ,可得 POL底面 ABCD,OQLAD,以。为原点，以赢，诬，而的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图，不妨设正方形的边长为 2,可得 A(1,0,0) ,B(1,2,0) ,C(-1,2,0) ,P(0,0,1),设平面APB的一个法向量为 五二(叼，yr ZJ,而 二, ,，仅二 -1,-PA=O则，二一n2'PB=0，即算一工

26、10；+2；勺二0,取X1 = 1,得五二(1, °,1）；设平面BCP的一个法向量为,一.，：,n?'PB=0二一 ，即 n2PC=O而. 一，；，：,区之十之一12二。*_1XO+OX1+1X2_ 2 _而五工工 丫工 :,-3252=0, 取"=1, 得"二(°，1", c 口 后 n ' n 2.luj I由图知所求二面角为钝角,故二面角A- PB- C的余弦值为二4口£19.（12分）高中生在被问及家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中感到最幸福的场所在哪里？ ”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取

27、了 55人，从美 国某城市的高中生中随机抽取了 45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占当 朋友聚集的地方占1.个人空间占号.美国高中生答题情况是：家占 5555朋友聚集的地方占3、个人空间占上.为了考察高中生的 恋家（在家里感到最幸55福）”是否与国别有关，构建了如下2X2列联表.在豕里取辛福在其它场所幸福合计中国局中生美国局中生合计（I）请将2X2列联表补充完整；试判断能否有 95%的把握认为 恋家”与否与国别有关;（R）从中国高中生的学生中以 是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取 了 5人,再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的 恋家”人数为X求随机变量X的分布列及

28、期望.P(k2>ko)0.0500.0250.0100.001ko3.8415.0246.63510.828附:2”(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)，其中 n = a+b + c+ d.【试题解答】解：（I）根据题意，填写列联表如下;在家其他合计中国223355美国93645合计31169100根据表中数据，计算出100乂(即乂36-9乂33户=100乂11黑3&31X69X55X4531X 23”一，一.4：,有95%的把握认为 恋家”与否与国别有关;(R)依题意得,5个人中2人来自于 在家中”是幸福,3人来自于 在其他场所”是幸 福，.X的可能取值为0,1,2;

29、P 0 P 2P(X=1)=C2C3 3计算,2。P*2)二式二百;V E720.(12分)设。为坐标原点，动点M在椭圆2 , 2；+宁二1上，过M作x轴的垂线，垂足，- X的分布列为:X013P33_11051CI数学期望为：，.1.,-1为N,点P满足而二&而(I )求点P的轨迹方程E;(H)过F(1,0)的直线li与点P的轨迹交于线12与点P的轨迹交于C、D两点,求证:A、B两点，过F(1Q作与li垂直的直 岛-喘T为定值.【试题解答】(I)解：设P(x,y),则N(x,0),而5=(0, y),222由M在椭圆上，得院+（号）2“即幺+2_n ；92。29 8(II)证明：当l

30、i与x轴重合时，| AB| =6,|CD|二匹，3.11.|ab| |cd| 一酩当li与x轴垂直时，1ABl二",| CD| =6, 3II .当11与x轴不垂直也不重合时，可设11的方程为y=k(x-1) (20)此时设 A(x1,y1) ,B(&,y2),C(X,y3),D(x4,y4),产k(xT)把直线11与曲线E联立,/2,+=198得(8+9k.9k2-72/ 小-c J .) x2- 18k2x+ 9k272=0,可得= ( 18k2) 24(8+ 9k2) (9k2 - 72) >0.18k;+ K 2J 8+9kI屈 ITl+k、（叼十叼）2-4，0

31、2二骡；：2） 把直线12与曲线E联立1 同理可得|CD |二小+/（町+ 9产Y町工厂始；：2）18+9 k2 . 9+Sk217一|AB| + |CD| -43(k2+l) +48(k2+l) 48为定值.21.(12分)已知 f(x) =ex-ax2-2x,aC R.（I）求函数f（x）图象恒过的定点坐标;(H )若f(x) > - ax- 1恒成立，求a的值；(m)在(II)成立的条件下，证明：f(x)存在唯一的极小值点X0,且-【试题解答】解：(I)二要使参数a对函数值不发生影响，必须保证x= 0, 此时f(0) =e0-ax 02-2X0=1，所以函数的图象包过点(0,1).

32、(H)依题意得：ex- 2ax- 2>-ax-1何成立，ex>ax+ 1 恒成立.构造函数 g(x) =ex- ax - 1,则 g(x) = ex ax 1 恒过(0,0) ,g'(x) = ex a,若a00时,g'(x) >0,. .g(x)在R上递增，''' ex> ax+ 1不能包成立.若 a>0 时,g'(x) = 0, x= Ina.x (-oojna)时,g'(x) < 0,函数 g(x) =ex - ax - 1 单调递减;x (lna,+oo)时，g'(x) >0,函数

33、 g(x) =ex-ax- 1 单调递增，g(x)在 x= Ina 时为极小值点，g(lna) =a-alna-1,要使 ex 2ax 2 > - ax - 1 恒成立，只需 a alna - 1 >0.设 h(a) =a alna1,则函数 h(a)恒过(1,0) ,h'(a) = 1 lna1 = Ina, aC(0,1) ,h'(a) >0,函数 h(a)单调递增；aC(1,+°°),h'(a) <0,函数 h(a)单调 递减， h(a)在a= 1取得极大值0, .要使函数h(a) >0成立,只有在a= 1时成立.

34、证明(田)f(x) =ex-2x- 2,设 m(x) =ex 2x 2, m'(x) =ex-2,令 m'(x) >0,x> ln2，- m(x)在(-°°,in2)单调递减，在(ln2, + °°)单调递增，m(ln2) = -2ln2<0,f(x) = m(x) =ex-2x- 2 在 x= ln2 处取得极小值, 可得f(x) 一定有2个零点，分别为f(x)的一个极大值点和一个极小值点 设x0为函数f(x)的极小值点，则刈(0,2),f(x0)= 0，口-2工12二0，f(x0)=e 0-iq-2i0= 2i0+2-xq-2x0=2-Xq3m(2)=e2- 2x 2- 2=e2 - 6>。工6)二巳 W2一一2二巳2一50，在区间(JL. 2)上存在一个极值点, 2 二最小极值点在m，2)内.2 函数f(x)的极小值点的横坐标工口 w人,2), 函数 f(x)的极小值 fCx