专题：椭圆的切线方程

1、“椭圆的切线方程”教学设计一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化(由特殊到一般)方法解决问题。教学难点：椭圆的切线方程的探究。三、教学流程设计(一)创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？x = ±272, y =土亚。先由设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比, 都是“直线与

2、其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一 元二次方程中的判别式等于零来解决。(二)探究新知基础铺垫：22问题1、已知椭圆C : + =1与直线l只有一个公共点82(1)请你写出一条直线l的方程；(2)若已知直线l的斜率为k = -1 ,求直线l的方程；(3)若已知切点 P(2,1),求直线l的方程；(4)若已知切点 p(、3，旦 ,求直线l的方程。2设计意图：(1)根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如 特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。(2)已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式4=0。切

3、线斜率确定，切线不确定。(3)已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式.： =0。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由(2) (3)两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式A = 0O(4)同(3)的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切 点得到椭圆切线的一般方法。问题一般化：x2 y2猜想：椭圆 已不+与=1与直线l相切于点P(x0,y0),则切线l的方程？ a b(椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课)设计意图：类比经过圆上一点P(xo, yo)的

4、切线的方程为x0x + y0y = r2进行猜想，培养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1,所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量?所以，kop k明§ =-1 ,1 .点与圆设点 P(x0, yo),圆(x-a)2+(y-b)2 = r2 则点在圆内(x0a)2+(y0b)2 <r2,点在圆上(x0 -a)2 +(y0 -b)2 =r2,2 22点在圆外(xo -a)(yo -b)r由圆C方程及直线l的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为A ,则l与

5、圆C相交u 0 >0,l与圆C相切u 0 =0,l与圆C相离之 <0类比到圆中：已知圆C:x2+y2 =r2与直线l相切于点P(x0,y°),且点P(x°, y°)在第一象限，若直线l与x轴、y轴分别交于点B、A.结论(1)过点P的切线方程为x0x + y0y=r2；当椭圆中的a > b(2) 7OP 1 AB a kop kAB =-1；(可以用极限的思想理解,b2时，椭圆t圆，所以k0P kAB=-二t 一1)a2r(3)过点P的切线万程为 x0x + y0y = r2与x轴、y轴分别交于点 B、A , A(0, ),Vo2b2B(,0),所

6、以kAB = (椭圆中kAB = - J0也可理解为a趋于b时，kAB趋于一二) x°yoa y°y°(4) | AB|T AP |+| BP 户2AP| | BP|=2j|OP|2 =2r ,当且仅当 | AP |=| BP|=r 时,取一由2014年浙江高考题最后一道题222014浙江卷如图，设椭圆C:勺+4=1(a Ab0),动直线l与椭圆C只有一个公共点 a b巳且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a, b, k表示点P的坐标；(2)若过原点0的直线11与l垂直，证明：点 P到直线11的距离的最大值为 a-b.P,且点P在第一象限.(1)已知直

7、线1的斜率为k,用a, b, k表示点P的坐标;由于1与C只有一个公共点，所以 4 =4a4k2m2 -4a2(m2 -b2)(b2 + a2k2) = 0 ,化简得m2 =a2k2 +b2(*),解得点P的坐标为a2km bj b2+a2k2' b2 +又点P在第一象限，故m所以点P的坐标为P(二.a2k2 b2 ,a2kb2a2k2 b2 . a2k2 b2).(2)设点P(x0,y0),且点P(x0,y0)在第一象限，用点P的坐标x0,y0表示椭圆的切线 方程；(2)解:P(x0, y(o),则由(1)知 X0 =a2kb2/, y0 = j,a2k2 b2. a2k2 b2则可

8、设过点 p切线1的方程为y - y0 = k(x - x0)消参得 x0V。a2k b2 =b22X0 代a V。、一b2x入 y-y0 =k(x-x0)得 y-丫0 =- 2& (x-%)a y0化为整式a2 % y b 0x次2a0# 2 b 2x22x0y0/22,222, 2十一=1 = a y° +b x0 = a b ), a b2a由为点在椭圆上，所以两边同除以a2b2得椭圆的切线方程 注+谆=1,与圆的切线方程做类比， 形式相仿。a b所以，过切点Pl/,%）的椭圆的切线方程X0Xyoy2Uab=1.连接OP切线l的斜率为k切线，直线OP的斜率为kOP,求证k

9、opk切2=定值;22、，Xoa kb Xo（3）由（2）中所得的 =k =°y°ba y°0b2又因为 一=kop，所以kop kAB = -2 =定值XoXo - 0a（与圆的kop k明=-1做类比，可以用极限的思想理解，当椭圆中的 a = b时, 一 ,.一 一b2椭圆加强为了圆，所以kOP kAB =-t -1） a22问题2、已知椭圆C : 二十22 =1与直线l相切于点P（Xo,yo） ,且点P（Xo,y°）在第一'象限, a b若直线l与X轴、y轴分别交于点B、A ,求线段| AB |的最小值。直线AB的方程设为y =kX+m,A

10、（O,m）, B（-m,O）,则根据两点间的距离公式可得 k2_ 2 m 22222. 一一| AB| =+m ,又因为前面根据直线和椭圆相切已求出m =a k + b （*）,代入可得k_ 2| AB| =k22, 2,22 b=a k b a 丁 =k222 2 ba b (a k2) _a b 2ab = (a b)k，线段| AB |的最小值为a +b.当且仅当a2k2= -b2= kk24 b2=k2=-时，取到“=”a卜面再继续讨论"="取到时的条件。由前面已证过的kO Pkb2尸 B-2a2yo2Xob3 二:ab Xo23=a yo= a3(1 -2Xo2

11、-2)b = bXo32 一 2=a -axo = Xo，代入kOP2 yo -2Xob3 /日=-ha2Vob3所以可得到，|PA|222=Xo(yo -m)2 八 、2=Xo(kXo)22b 2= (1 + k )Xo =(1+)Xo ,代入aXo，得 |PA|22_二a . |PA|二a,|PB |二b问题3、已知椭圆2 工 b2=1与直线l相切于点P(Xo,y°), 且点P(Xo,y°)在第一象限,若直线l与X轴、y轴分别交于点 B、A.若过原点O的直线li与l垂直交与点D,证明:| PD | | AB尸定值.22B、a4 . b422XoyoA,b- a所以 A(

12、0,),B(一,0)，则 |AB 尸yoXo由于直线li过原点O且与l垂直，故直线li的方程为x+ ky=0,所以点P到直线li的距离 pd |kyo +Xo I；k2 1, 前 面 已 证 过 k = -b2Xoa V。|PD| =I ky°_xo I,k2 1I -耍 XoI a仁1g 12222.|PD | |AB|=|a2 b2| = a2 -b22222,_ |a x°yo -b x°yo | _ |a -b |.a4yo2 b4xo2a4b4'.xo2 ' yo2=不=定值（c为椭圆的半焦距）22问题4、如图，设椭圆C:三=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点 巳 且 a b点P在第一象限.若过原点O的直线11与l垂直，证明：点P到直线11的距离的最大值为a-b.证明：方法由于直线1i过原点。且与1垂直，故直线1i的方程为x+ ky=0,所以点P到直线1i的距离d = a2kb2kJb2+ a2k2 而+ a2k2整理得d=V1+ k2a2- b2b2+a2+a2k2